新教材(辅导班)高一数学寒假讲义05《三角函数》出门测(教师版)

这是一份新教材(辅导班)高一数学寒假讲义05《三角函数》出门测(教师版)，共4页。试卷主要包含了已知函数f＝a＋b.等内容，欢迎下载使用。

1．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [设扇形的半径为r，中心角为α，
根据扇形面积公式S＝eq \f(1,2)lr得6＝eq \f(1,2)×6×r，所以r＝2，所以α＝eq \f(l,r)＝eq \f(6,2)＝3.]
2．将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移eq \f(π,3)个单位，得到的图象对应的解析式为( )
A．y＝sineq \f(1,2)x B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,2)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))
C [函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3)))，再将所得的图象向左平移eq \f(π,3)个单位，得到函数y＝sineq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)－eq \f(π,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6))).]
3．函数y＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))－1是( )
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为2π的偶函数
C [y＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))),2)＋eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))),2)－1＝eq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－eq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs 2xcs\f(π,6)＋sin 2xsin\f(π,6)－cs 2xcs\f(π,6)))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(＋sin 2xsin\f(π,6)))＝eq \f(1,2)sin 2x，
∴f(x)是最小正周期为π的奇函数．]
4．函数f(x)＝cs(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(1,4)，kπ＋\f(3,4)))，k∈Z B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(1,4)，2kπ＋\f(3,4)))，k∈Z
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k－\f(1,4)，k＋\f(3,4)))，k∈Z D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2k－\f(1,4)，2k＋\f(3,4)))，k∈Z
D [由图象知，周期T＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)－\f(1,4)))＝2，∴eq \f(2π,ω)＝2，∴ω＝π.
由π×eq \f(1,4)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝eq \f(π,4)，∴f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx＋\f(π,4))).
由2kπ<πx＋eq \f(π,4)<2kπ＋π，得2k－eq \f(1,4)∴f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2k－\f(1,4)，2k＋\f(3,4)))，k∈Z.故选D.]
5．已知sin α＝eq \f(1,3)，且α是第二象限角，那么cs(3π－α)的值为________．
eq \f(2\r(2),3) [cs(3π－α)＝－cs α＝－(－eq \r(1－sin2α))＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝eq \f(2\r(2),3).]
6．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________.
4 [观察图象可知
函数y＝sin(ωx＋φ)的半个周期为eq \f(π,4)，所以eq \f(2π,ω)＝eq \f(π,2)，ω＝4.]
7．若α、β为锐角，且满足cs α＝eq \f(4,5)，cs(α＋β)＝eq \f(5,13)，则sin β＝________.
eq \f(33,65) [∵α、β为锐角，∴α＋β∈(0，π)．
由cs α＝eq \f(4,5)，求得sin α＝eq \f(3,5)，由cs(α＋β)＝eq \f(5,13)求得sin(α＋β)＝eq \f(12,13)，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cs α－cs(α＋β)sin α
＝eq \f(12,13)×eq \f(4,5)－eq \f(5,13)×eq \f(3,5)＝eq \f(33,65).]
8．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋1
(1)求函数f(x)的最大值，并求取得最大值时x的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
[解] (1)当2x＋eq \f(π,3)＝2kπ＋eq \f(π,2)，取x＝kπ＋eq \f(π,12)(k∈Z)时，f(x)max＝3.
(2)当2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，
即kπ－eq \f(5π,12)≤x≤kπ＋eq \f(π,12)时，函数f(x)为增函数．
故函数f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)．
9．已知函数f(x)＝sin x·(2cs x－sin x)＋cs2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若eq \f(π,4)＜α＜eq \f(π,2)，且f(α)＝－eq \f(5\r(2),13)，求sin 2α的值．
[解] (1)因为f(x)＝sin x·(2cs x－sin x)＋cs2x，
所以f(x)＝sin 2x－sin2x＋cs2x＝sin 2x＋cs 2x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，
所以函数f(x)的最小正周期是π.
(2)f(α)＝－eq \f(5\r(2),13)，即eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝－eq \f(5\r(2),13)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝－eq \f(5,13).
因为eq \f(π,4)＜α＜eq \f(π,2)，所以eq \f(3π,4)＜2α＋eq \f(π,4)＜eq \f(5π,4)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝－eq \f(12,13)，
所以sin 2α＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))
＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))－eq \f(\r(2),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))－eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＝eq \f(7\r(2),26).
10．已知函数f(x)＝a(cs2x＋sin xcs x)＋b.
(1)当a＞0时，求f(x)的单调递增区间；
(2)当a＜0且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的值域是[3,4]，求a，b的值．
[解] f(x)＝a·eq \f(1＋cs 2x,2)＋a·eq \f(1,2)sin 2x＋b＝eq \f(\r(2)a,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋eq \f(a,2)＋b.
(1)2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，kπ－eq \f(3π,8)≤x≤kπ＋eq \f(π,8)(k∈Z)，
即x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3π,8)，kπ＋\f(π,8)))，k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3π,8)，kπ＋\f(π,8)))，k∈Z.
(2)0≤x≤eq \f(π,2)，eq \f(π,4)≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，－eq \f(\r(2),2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))≤1，
f(x)min＝eq \f(1＋\r(2),2)a＋b＝3，f(x)max＝b＝4，
∴a＝2－2eq \r(2)，b＝4.