湘教版（2019）必修 第二册4.3 直线与直线、直线与平面的位置关系第2课时一课一练

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题组一 空间两条直线垂直
1.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c( )
A.一定平行B.一定垂直
C.一定是异面直线D.一定相交
2.(2020安徽铜陵高二上期末)若a是空间中的一条直线,则在平面α内一定存在直线b与直线a( )
A.平行B.相交
C.垂直D.异面
3.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论中不成立的是( )
A.EF与BB1垂直B.EF与BD垂直
C.EF与CD异面D.EF与A1C1异面
4.(2020河南顶级名校高三联考)已知空间三条直线l,m,n,若l与m垂直,l与n垂直,则( )
A.m与n异面
B.m与n相交
C.m与n平行
D.m与n平行、相交、异面均有可能
5.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M,N,P,Q,判断四边形MNPQ的形状.
题组二 求异面直线所成的角
6.如图所示,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,l⊂平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列一定不成立的是( )
A.l与AD平行
B.l与AB异面
C.l与CD所成的角为30°
D.l与BD垂直
7.在正四面体A-BCD中,E、F分别为AB、CD的中点,则下列命题不正确的是( )
A.EF⊥AB
B.EF⊥CD
C.EF与AC所成的角为π4
D.EF与BD所成的角为π3
8.(2020安徽马鞍山高二上期中)如图,在空间四边形ABCD中,M、N分别是对角线AC、BD的中点,AB=CD=2,MN=3,则异面直线AB与CD所成的角为( )
A.30°B.60°
C.90°D.120°
9.(2020湖南长沙第一中学高一上期中)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=4,BB1=1,AC=25,则异面直线BD与AC所成的角为( )
A.30°B.45°
C.60°D.90°
10.(2020山西大同一中高二上月考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.
(1)求直线DA1与BC所成的角;
(2)求直线D1A与BA1所成的角.
11.如图所示,已知多面体ABCD-A1B1C1D1为正方体.
(1)求A1C1与B1C所成角的大小;
(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.
题组三 空间两条直线所成角的应用
12.(2020河南开封高一上期末)如图,在底面边长为1的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点E为AA1的中点,异面直线BE与CD1所成角的正弦值为1010,则侧棱AA1的长度为 .
13.如图所示,已知空间四边形ABCD的两条对角线的长分别为AC=6,BD=8,AC与BD所成的角为30°,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,求四边形EFGH的面积.
14.(2020广西柳州第二中学高一上月考)如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=23,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角为90°,试求AA1的长.
答案全解全析
基础过关练
1.B ∵a⊥b,b∥c,∴a⊥c.
2.C 如图所示的正方体中,取平面α为平面ABCD,
直线a与平面α的位置关系有三种,
(1)取直线AB为a,在平面α内,显然存在直线BC⊥a,但不存在直线与a异面;
(2)取直线A1B1为a,在平面α内,显然存在直线BC⊥a,但不存在直线与a相交;
(3)取直线AA1为a,在平面α内,显然存在直线BC⊥a,但不存在直线与a平行.
故选C.
3.D 如图所示,连接A1B,易知点E为A1B的中点,由三角形中位线定理可得EF∥A1C1,所以EF,A1C1确定一个平面;显然EF与CD异面;连接B1D1,则A1C1⊥B1D1,易知BD∥B1D1,所以A1C1⊥BD,又知EF∥A1C1,所以EF⊥BD.故只有选项D中的结论不成立.故选D.
4.D ∵m⊥l,n⊥l,∴m与n既可以相交,也可以异面,还可以平行.如图.
5.解析 如图所示.
∵点M,N,P,Q分别是空间四边形ABCD四条边的中点,
∴MN∥AC,且MN=12AC,PQ∥AC且PQ=12AC,
∴MN∥PQ且MN=PQ,
∴四边形MNPQ是平行四边形.
易知BD∥MQ,又AC⊥BD,∴AC⊥MQ,
∴MN⊥MQ,
∴平行四边形MNPQ是矩形.
6.A 假设l∥AD,则由AD∥BC∥B1C1,可得l∥B1C1,这与“l与B1C1不平行”矛盾,所以l与AD不平行.易证B、C、D成立,故选A.
7.D 如图所示,
将正四面体A-BCD放入正方体中,则正四面体的每一条棱都是正方体的面对角线,E、F分别是上、下底面的中心,∴EF与正方体垂直于底面的棱平行,
∴EF⊥AB,EF⊥CD成立,且EF与AC、BD所成的角都是π4.
故选D.
8.B 取BC的中点P,连接MP,NP,因为M、N分别是对角线AC、BD的中点,所以MP∥AB,NP∥CD,且MP=12AB=1,NP=12CD=1,所以∠MPN是异面直线AB与CD所成的角(或其补角),由余弦定理可知cs∠MPN=MP2+NP2-MN22MP·NP=-12,
所以∠MPN=120°,
所以异面直线AB与CD所成的角为60°.
故选B.
9.C 如图,取B1C1的中点E,连接DE,BE,
则DE∥A1C1∥AC,
故∠BDE为异面直线BD与AC所成的角(或其补角).
由题意可得,BD=BE=5,DE=12AC=5,
∴△DEB为等边三角形,
∴∠BDE=60°.
故选C.
10.解析 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,
∴∠ADA1是异面直线DA1与BC所成的角或其补角.
∵AD=AA1,AD⊥AA1,∴∠ADA1=π4,
∴直线DA1与BC所成的角为π4.
(2)连接C1B,A1C1,易知AD1∥C1B,
∴∠C1BA1是异面直线D1A与BA1所成的角或其补角.
易知BA1=A1C1=BC1,∴∠C1BA1=π3,
∴直线D1A与BA1所成的角为π3.
11.解析 (1)连接AC、AB1.
∵多面体ABCD-A1B1C1D1是正方体,
∴易得四边形AA1C1C为平行四边形,
∴AC∥A1C1,
∴∠B1CA(或其补角)就是A1C1与B1C所成的角.
易知△AB1C为正三角形,
∴∠B1CA=60°.
∴A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)连接BD,∵E,F分别为AB,AD的中点,∴EF∥BD.
∵AC∥A1C1,
∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.
易知AC⊥BD,∴AC⊥EF.
∴A1C1与EF所成角的大小为90°.
12.答案 1或2
解析 如图,连接A1B,易知A1B∥CD1,
∴∠A1BE即异面直线BE与CD1所成的角.
过点E作EH⊥A1B于点H,设EH=h,
则BE=EHsin∠A1BE=h1010=10h,AE=BE2-AB2=10h2-1.
易得△A1HE∽△A1AB,
∴EHAB=A1EA1B,
即h1=10h2-11+4(10h2-1),
解得h2=18或h2=15,
∴AE=12或AE=1,
∴AA1=1或AA1=2.
13.解析 ∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
∴FG∥BD,EF∥AC,HG∥AC,且EF=HG=12AC,
∴四边形EFGH为平行四边形.
∵AC∥EF,BD∥FG,∴EF与FG所成的角即为AC与BD所成的角,∴∠EFG(或其补角)为30°,∴S四边形EFGH=EF×FG×sin∠EFG=12AC×12BD×12=3×4×12=6.
14.解析 如图,连接CD1,AC.
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,
∴四边形A1BCD1是平行四边形,∴A1B∥CD1,∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.
∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°,∴∠AD1C=90°.
∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面均为矩形,AD=CD,∴AD1=CD1,∴△ACD1是等腰直角三角形,∴AD1=22AC.
∵底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=23,∠ABC=120°,
∴AC=23×sin 60°×2=6,
∴AD1=22AC=32,
∴AA1=AD12-A1D12
=(32)2-(23)2=6.