苏教版 (2019)选择性必修第二册6.3空间向量的应用课后复习题

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第二册6.3空间向量的应用课后复习题，共16页。试卷主要包含了3　空间向量的应用等内容，欢迎下载使用。

6.3.4 空间距离的计算
基础过关练
题组一 点到平面的距离
1.(2020陕西西安高二期末)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为BB1的中点,则点C到平面A1D1E的距离为( )

A.55B.52
C.53D.35
2.(2021江苏苏州常熟中学高二月考)空间四点A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(3,1,0),则点D到平面ABC的距离是 .
3.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=22,点E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED间的距离为 .
4.(2021江苏扬州高三月考)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD间的距离为 .
5.(2020江西景德镇高二期末)如图,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD为矩形,EF∥平面ABCD,EA=ED=AD=EF=2,AB=4,M为BC的中点.
(1)求证:FM∥平面BDE;
(2)若平面ADE⊥平面ABCD,求点F到平面BDE的距离.
题组二 点到直线的距离
6.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为( )
A.13B.33
C.53D.63
7.已知直线l的一个方向向量为m=(1,2,-1),若点P(-1,1,-1)为直线l外一点,A(4,1,-2)为直线l上一点,则点P到直线l的距离为 .
8.(2020山东济南第二中学高二上月考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,N是棱AD的中点,M是棱CC1上的点,且CC1=3CM,求直线BM与直线B1N之间的距离.
能力提升练
题组一 点到平面的距离
1.(2020安徽合肥高二月考,)如图所示,在多面体ABCDFC1E中,底面ABCD是矩形,且D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).若四边形AEC1F为平行四边形,则点C到平面AEC1F的距离为( )

A.41133B.433C.43333D.43311
2.(2021湖北高三三模,)在棱长为1的正四面体ABCD中,M为AD上的一点,且AM=13AD,N为AC的中点,则点A到平面BMN的距离为( )
A.105B.55C.1010D.510
3.(2021江西南昌二中高二月考,)棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A在平面α内,平面ABCD与平面α所成的二面角为30°,则顶点C1到平面α的距离的最大值是( )
A.3+22B.23+22
C.23+32D.2+23
4.(2020重庆西南大学附中高二期末,)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧面PAD为正三角形,AD=2,AB=3,平面PAD⊥平面ABCD,E为棱PB上一点(不与P、B重合),平面ADE交棱PC于点F.
(1)求证:AD∥EF;
(2)若二面角B-AC-E的余弦值为33020,求点B到平面AEC的距离.
5.(2021江苏宿迁高三第二次调研,)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,BC=2AD=2,E为CD的中点,PB⊥AE.
(1)证明:平面PBD⊥平面ABCD;
(2)若PB=PD,PC与平面ABCD所成的角为π4,试问在侧面PCD内是否存在一点N,使得BN⊥平面PCD?若存在,求出点N到平面ABCD的距离;若不存在,请说明理由.
题组二 点到直线的距离
6.(2021江苏南京航空航天大学附属中学高二月考,)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则空间中到三条棱AB,CC1,A1D1所在直线的距离相等的点有( )
A.0个B.2个C.3个D.无数个
7.(2021江苏常州前黄高级中学、溧阳中学高三期末,)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=CC1=22,M是BC1的中点,N是MC1的中点,若异面直线AN与CM所成的角为θ,距离为d,则dsin θ= .
答案全解全析
第6章 空间向量与立体几何
6.3 空间向量的应用
6.3.4 空间距离的计算
基础过关练
1.A 如图所示,以A为原点,AB,AD,AA1方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A1(0,0,1),D1(0,1,1),E1,0,12,C(1,1,0),因此A1D1=(0,1,0),A1E=1,0,-12,A1C=(1,1,-1).设平面A1D1E的法向量为m=(x1,y1,z1),则m·A1D1=y1=0,m·A1E=x1-12z1=0,令x1=1,则z1=2,此时m=(1,0,2),所以点C到平面A1D1E的距离为|A1C·m||m|=|-1|5=55.故选A.
方法总结
求点A到平面BCD的距离,方法如下:(1)等体积法:先计算出四面体ABCD的体积,然后计算出△BCD的面积,利用锥体的体积公式可计算出点A到平面BCD的距离;(2)空间向量法:先计算出平面BCD的一个法向量n的坐标,进而可得出点A到平面BCD的距离d=|AB·n||n|.
2.答案 1717
解析 由已知,得AB=(2,-2,1),AC=(4,0,6),AD=(1,-2,-1),设平面ABC的法向量是n=(x,y,z),
则n·AB=2x-2y+z=0,n·AC=4x+6z=0,
令x=3,则z=-2,y=2,∴n=(3,2,-2),
∴点D到平面ABC的距离为|AD·n||n|=|3-4+2|32+22+(-2)2=1717.
3.答案 1
解析 如图,连接AC,交BD于点O,连接OE,以D为原点,建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),E(0,2,2),所以DB=(2,2,0),DE=(0,2,2),DA=(2,0,0),
易知AC1∥平面BED.
设平面BDE的法向量是n=(x,y,z),
则n·DB=2x+2y=0,n·DE=2y+2z=0,
令y=1,则x=-1,z=-2,
所以n=(-1,1,-2).
又因为DA=(2,0,0),
所以点A到平面BDE的距离为
|n·DA||n|=|-2|(-1)2+12+(-2)2=1,
故直线AC1到平面BED的距离为1.
4.答案 83
解析 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系D-xyz,
则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4),∴EF=(2,2,0),MN=(2,2,0),AM=(-2,0,4),BF=(-2,0,4),∴EF=MN,BF=AM,∴EF∥MN,BF∥AM,又EF∩BF=F,MN∩AM=M,EF,BF⊂平面EFBD,MN,AM⊂平面AMN,∴平面AMN∥平面EFBD.
设平面AMN的法向量是n=(x,y,z),
则n·MN=2x+2y=0,n·AM=-2x+4z=0,即x=2z,y=-2z.
令z=1,则x=2,y=-2,∴n=(2,-2,1).
∵AB=(0,4,0),∴平面AMN与平面EFBD间的距离d=|n·AB||n|=83.
方法总结
空间中两条平行直线间的距离,一条直线到与它平行的平面的距离,两个平行平面间的距离都可以转化为点到直线的距离进行求解.
5.解析 (1)证明:取BD的中点N,连接MN,EN.
因为M为BC的中点,所以MN∥CD且MN=12CD,因为EF∥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,EF=2,AB=CD=4,所以EF∥CD且EF=12CD,
所以MN∥EF且MN=EF,
所以四边形EFMN为平行四边形,
所以FM∥EN,又FM⊄平面BDE,EN⊂平面BDE,
所以FM∥平面BDE.
(2)以AD的中点O为坐标原点,OA,OM,OE所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则E(0,0,3),D(-1,0,0),B(1,4,0),F(0,2,3),
所以DE=(1,0,3),DB=(2,4,0),EF=(0,2,0).
设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),
则DE·n=0,DB·n=0,即x+3z=0,2x+4y=0,令x=1,则y=-12,z=-33,所以n=1,-12,-33,
则点F到平面BDE的距离d=|EF·n||n|=25719.
6.C 建立空间直角坐标系,如图,
则C(1,1,0),C1(1,1,1),E0,12,1,所以EC=1,12,-1,CC1=(0,0,1),
所以点C1到直线CE的距离d=|CC1|2-|CC1·EC||EC|2=1-49=53.
故选C.
7.答案 17
解析 ∵P(-1,1,-1),A(4,1,-2),
∴PA=(5,0,-1),又m=(1,2,-1),
∴cs=m·PA|m|·|PA|=5+1226=326,
∴sin=1726,
又∵|PA|=26,
∴点P到直线l的距离为
|PA|sin=26×1726=17.
8.解析 设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系,
则B(1,1,0),B1(1,1,1),M0,1,13,N12,0,0,∴BB1=(0,0,1),BM=-1,0,13,B1N=-12,-1,-1.
设直线BM与B1N的公垂线方向上的向量为n=(x,y,z),
由n·BM=0,n·B1N=0, 得-x+13z=0,-12x-y-z=0,
令x=2,则z=6,y=-7,∴n=(2,-7,6).
设直线BM与B1N之间的距离为d,则d=|BB1·n||n|=689=68989.
能力提升练
1.D 由题知AE=(0,4,1),EC1=(-2,0,2),设F(0,0,z),则AF=(-2,0,z),∵四边形AEC1F为平行四边形,∴AF=EC1,即(-2,0,z)=(-2,0,2),∴z=2,∴F(0,0,2),AF=(-2,0,2).设n为平面AEC1F的一个法向量,显然n不垂直于平面ADF,故可设n=(x,y,1),则n·AE=0,n·AF=0,即4y+1=0,-2x+2=0,
∴x=1,y=-14,∴n=1,-14,1,又CC1=(0,0,3),∴点C到平面AEC1F的距离为|CC1·n||n|=312+-142+12=43311.故选D.
2.C 取BC的中点E,连接AE交BN于点O,连接DO.∵四面体ABCD为正四面体,N,E分别为AC,BC的中点,∴O为等边三角形ABC的中心,且DO⊥平面ABC,以N为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,其中DO∥z轴,∵正四面体ABCD的棱长为1,∴AO=23AE=23×1-14=33,∴DO=1-13=63,则A0,-12,0,D36,0,63,B32,0,0,N(0,0,0),∴NB=32,0,0,
∵AM=13AD,即AM=13AD,
∴M318,-13,69,
∴NM=318,-13,69,设平面BMN的法向量为n=(x,y,z),
则n·NB=32x=0,n·NM=318x-13y+69z=0,
令z=3,则x=0,y=6,∴n=(0,6,3),
又AN=0,12,0,∴点A到平面BMN的距离d=|AN·n||n|=626+9=1010.
3.B 以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),AC1=(4,4,4),设平面α的法向量为n=(x,y,1),因为平面ABCD与平面α成30°角,所以|cs|=1x2+y2+1=32,可得x2+y2=13,设x=33cs θ,y=33sin θ,则C1到平面α的距离d=|AC1·n||n|=|4x+4y+4|x2+y2+1=23|x+y+1|=22sinθ+π4+3≤2(2+3),故顶点C1到平面α的距离的最大值是2(3+2).
4.解析 (1)证明:∵底面ABCD为矩形,
∴AD∥BC.
∵AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,
∴AD∥平面PBC,
又∵AD⊂平面ADE,平面ADE∩平面PBC=EF,∴AD∥EF.
(2)取AD的中点O,连接PO,过点O作OH∥AB交BC于点H.
∵侧面PAD为正三角形,∴PO⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD,
∴PO⊥平面ABCD.
∵四边形ABCD为矩形,
∴AB⊥AD,∴OH⊥AD.
如图所示,以O为原点,OA,OH,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
则O(0,0,0),P(0,0,3),A(1,0,0),B(1,3,0),C(-1,3,0),
因此AC=(-2,3,0),PB=(1,3,-3).
设E(x,y,z),PE=λPB(0<λ<1),
∴(x,y,z-3)=λ(1,3,-3),
∴E(λ,3λ,3-3λ),
∴AE=(λ-1,3λ,3-3λ),
设平面AEC的法向量为n=(x1,y1,z1),
∴n·AC=0,n·AE=0,
即-2x1+3y1=0,(λ-1)x1+3λy1+(3-3λ)z1=0,
令x1=3,∴y1=2,z1=3(3λ-1)λ-1,
∴n=3,2,3(3λ-1)λ-1.
又易知OP=(0,0,3)是平面ABC的一个法向量,
∴|cs|=|OP·n||OP||n|
=9λ-3λ-13×13+3(3λ-1)2(λ-1)2=33020,
解得λ=23,
∴E23,2,33,n=(3,2,-33),
又B(1,3,0),
∴BE=-13,-1,33,
∴点B到平面AEC的距离为|BE·n||n|=6210=31010.
5.解析 (1)证明:∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB=3,BC=2AD=2,AB⊥BC,
∴DC=2,∠BCD=π3,
∴△BCD是等边三角形,
∴BD=2,DB平分∠ADC.
∵E为CD的中点,
∴DE=AD=1,∴BD⊥AE,
又∵PB⊥AE,PB∩BD=B,PB,BD⊂平面PBD,
∴AE⊥平面PBD.
∵AE⊂平面ABCD,
∴平面PBD⊥平面ABCD.
(2)存在.
在平面PBD内作PO⊥BD于O,连接OC.
∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,
∴PO⊥平面ABCD,∴PO⊥OC,
∴∠PCO即为PC与平面ABCD所成的角,则∠PCO=π4.
∵PB=PD,PO⊥BD,
∴O为BD的中点,OC⊥BD.
易得OP=OC=3,
以O为原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(0,3,0),D(-1,0,0),P(0,0,3),
∴PC=(0,3,-3),PD=(-1,0,-3).
假设在侧面PCD内存在点N,使得BN⊥平面PCD,
设PN=λPD+μPC(λ,μ≥0,λ+μ≤1),易得N(-λ,3μ,-3(λ+μ-1)),
∴BN=(-λ-1,3μ,-3(λ+μ-1)).
则BN·PC=0,BN·PD=0,
即3μ+3(λ+μ-1)=0,λ+1+3(λ+μ-1)=0,解得λ=15,μ=25,满足题意,∴点N到平面ABCD的距离为-3(λ+μ-1)=235 .
6.D 以D为原点,DA,DC,DD1方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
设该正方体的棱长为1,连接B1D,并在B1D上任取一点P,易得DB1=(1,1,1),所以设P(a,a,a),其中0≤a≤1.作PE⊥平面A1D,垂足为E,作EF⊥A1D1,垂足为F,则|PF|是点P到直线A1D1的距离,易知F(a,0,1),所以PF=(0,-a,1-a),所以|PF|=a2+(1-a)2,同理,点P到直线AB,CC1的距离也是a2+(1-a)2,所以B1D上任一点到正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB,CC1,A1D1所在直线的距离都相等,所以空间中到正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB,CC1,A1D1所在直线的距离相等的点有无数个.故选D.
7.答案 45
解析 建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示,
则A(22,0,0),C(0,4,0),M(2,4,2),N22,4,322,于是AN=-322,4,322,
CM=(2,0,2),所以AN·CM=-322,4,322·(2,0,2)=0,即AN⊥CM,所以θ=π2.
设与AN,CM都垂直的一个向量为n=(x,y,1),则n·AN=0,n·CM=0,即-322x+4y+322=0,2x+2=0,
解得x=-1,y=-324,所以n=-1,-324,1,
又AC=(-22,4,0),所以d=|n·AC||n|=2524=45,所以dsin θ=45.