人教A版（2019）高中数学必修第二册公式大全

人教A版高中数学必修二必背基本公式

复数

一．复数的概念及其几何意义

1．形如的数叫复数，其中叫做复数的虚数单位，且，叫做复数的实部，叫做复数的虚部．复数集用集合表示．

2．复数的分类：对于复数

① 当时，是实数；       ② 当时，是虚数；      ③ 当且时，是纯虚数．

3．复数相等：若，，则的充要条件是且．

特别地：若的充要条件是．

4．共轭复数：实部相等，虚部互为相反数．若，则它的共轭复数．

5．复数与复平面内的点一一对应．

复数与复平面内所有以原点O为起点的向量一一对应．，与它的共轭复数对应的点关于x轴对称．复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．

6．复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，且．

二．复数四则运算

1.复数的加法、减法、乘法、除法运算：

加法、减法法则：；

乘法法则：；

除法法则：．

三角函数和解三角形

一．扇形面积公式

（1）弧度制下：弧长l＝|α|·r，扇形面积

二．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．    (2)商数关系：tan α＝

三．三角函数的图象和性质

正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质

四．两角和与差的三角函数公式的应用

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；  C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sinαsinβ；

S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；  S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；

T(α＋β)：tan(α＋β)＝；       T(α－β)：tan(α－β)＝.

五．辅助角公式：函数 （注意：保证为正）

六．二倍角的正弦、余弦、正切公式：

S2α：sin 2α＝2sinαcosα；

C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

T2α：tan 2α＝.

解三角形：正弦定理

1.正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．(提问学生，什么时候用正弦定理解三角形：已知两角一边，或两边及其中一边所对角，或把边转化为角度的正弦表示，或把角度转化为边来表示）

由正弦定理可以变形为：

①a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；

②a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

③sin A＝，sin B＝，sin C＝

2.面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B

二．余弦定理

余弦定理： ， ， .

（提问学生，什么时候用余弦定理解三角形：已知三边，或两边一角，或一边一角度可找出另外两边关系，或把角度的余弦转化为边表示。）

平面向量

一、平面向量的有关概念

1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．

2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．

3．单位向量：长度等于1个单位的向量．

4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．

二、平面向量的线性运算

1.向量的线性运算

2.向量的数乘运算及其几何意义

（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

（2）运算律：设λ，μ是两个实数，则：

①；②；③.

三、共线向量定理及其应用

1.共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.

2.“鸡爪定理”是什么？

四、平面向量基本定理及其应用

1.平面向量基本定理：如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2.作用是什么？(转化所求向量为已知向量表示)

五、平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算

1.设 ，则

2.若，则；

3.若，则．

六、平面向量数量积的运算

（一）两个向量的夹角

1．定义

已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．

2．范围

向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.

3．向量垂直

如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.

（二）平面向量的数量积

1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.

（三）数量积的运算律

1．交换律：a·b＝b·a.

2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．

七、向量数量积的性质

（一）向量数量积的性质

2．a⊥ba·b＝0.

3．a·a＝|a|2，.

4．cos θ＝.(θ为a与b的夹角)

5．|a·b|≤|a||b|.

（二）数量积的坐标运算

设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：

1．a·b＝a1b1＋a2b2.

2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0.

3．|a|＝.

4．cosθ＝＝.(θ为a与b的夹角)

空间几何体的表面积、体积

一、空间几何体的结构特征

1.多面体的结构特征

2.旋转体的形成

二．几何体的表面积和体积

1. .柱体、锥体、台体和球的表面积与体积

(1)表面积公式                              (2)体积公式

①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；                ①柱体的体积V＝Sh；

②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；                 ②锥体的体积V＝Sh；

③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；      ③台体的体积V＝(S′＋＋S)h；

④球的表面积S＝4πR2                                    ④球的体积V＝πR

立体几何点线面位置关系

一、空间点、线、面的位置关系:平行

1..线面平行判定定理：若a∥b，a⊄α，b⊂α，则a∥α.

2..线面平行的性质定理：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b.

3..面面平行的判定定理：若a，b⊂α，a，b相交，且a∥β，b∥β，则α∥β.

4..面面平行的性质定理：

①若α∥β，a⊂α，则a∥β.

②若α∥β，r∩α＝a，r∩β＝b，则a∥b.

5. 如何找线线平行：中位线定理，构造一个平行四边形，公理4，线面平行的性质定理。

6.线面垂直的判定定理：若a⊥b，a⊥c，b，c⊂α，且b与c相交，则a⊥α.

7.线面垂直的性质定理：若a⊥α，b⊥α，则a∥b.

8.面面垂直的性质定理：若a⊥α，则直线a垂直面α内任何一条直线。

8.提问如何找线线垂直：勾股定理逆定理，线面垂直的性质定理，特殊三角形、四边形做辅助线。

二、空间点、线、面的位置关系:空间的角

1.异面直线的定义：不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线

2.异面直线所成的角的范围：．

⑵平移→

3．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.0°≤φ≤90°

4．求二面角的大小

(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．

(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．

5.求线面角度或点到面的距离：找出直线所在的一个向量，和平面的法向量,代入公式.

统计与统计案例

一．抽样方法

1.简单随机抽样：一般地，从元素个数为N的总体中逐个不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．简单随机抽样适用范围是：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小.

2.分层抽样：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不交叉的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样的应用范围是：总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样。

二．频率分布直方图

1. ①频率分布直方图：在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用各长长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1．

2．频率分布直方图的步骤如下：(ⅰ)求极差；(ⅱ)确定组距和组数；(ⅲ)将数据分组；(ⅳ)列频率分布表；(ⅴ)画频率分布直方图．频率分布直方图能很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状．

3.如何求频率分布直方图的平均数：每一组的中间数乘以每一组的频率，再相加。

4.如何求频率分布直方图的中位数：整个小长方形面积一半的分界点。

5.如何求频率分布直方图的方差：每一组的中间数减去平均数再整体的平方，乘以每一组的频率再相加。

6.如何求频率分布直方图的百分位数：找面积对应的刻度(与找中位数的方法一致)

概率

一、 随机事件的概率

1．随机事件和确定事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.

(1)在条件下，一定会发生的事件叫做相对于条件的必然事件．

(2)在条件下，一定不会发生的事件叫做相对于条件的不可能事件．

(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．

(4)在条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．

(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母表示．

2．频率与概率

(1)在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率．

(2)对于给定的随机事件，如果随着试验次数的增加，事件发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作，称为事件的概率，简称为的概率．

3．互斥事件与对立事件

互斥事件的定义：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.即为不可能事件()，则称事件与事件互斥，其含义是：事件与事件在任何一次试验中不会同时发生．

一般地，如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥.

对立事件：若不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；即为不可能事件，而为必然事件，那么事件与事件互为对立事件，其含义是：事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生．

互斥事件和对立事件的区别和联系：对立事件是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件.两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件.

4.事件的关系与运算

5.随机事件的概率

事件的概率：在大量重复进行同一试验时,事件发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率,记作.

由定义可知，显然必然事件的概率是，不可能事件的概率是.

5．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：.

(2)必然事件的概率：.

(3)不可能事件的概率：.

(4)互斥事件的概率加法公式：

①(互斥)，且有．

② (彼此互斥)．

(5)对立事件的概率：．

二、古典概型

1. 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是.如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P（A）=.

基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的．

(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)．

2.古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．

②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．

概率公式：=.

[常用结论]

1．频率与概率

频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是频率的稳定值，反映了随机事件发生的可能性的大小．

2．互斥与对立

对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立．

3．概率加法公式的注意点

(1)要确定A，B互斥方可运用公式．

(2)A，B为对立事件时并不一定A与B发生的可能性相同，即P(A)＝P(B)可能不成立．