2021年北京朝阳区未来学校高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区未来学校高二上学期期末数学试卷，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 直线 2x−3y=6 在 y 轴上的截距为
A. 3B. 2C. −2D. −3

2. 双曲线 x2−y23=1 的渐近线方程为
A. y=±13xB. y=±33xC. y=±3xD. y=±3x

3. 将圆 x2+y2−2x−4y+1=0 平分的直线是
A. x+y−1=0B. x+y+3=0C. x−y+1=0D. x−y+3=0

4. “m<0”是“x2m−y2m−1=1 表示的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线”的
A. 必要不充分条件B. 充要条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件

5. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是
A. 2B. 4C. 6D. 8

6. 椭圆 x225+y29=1 上的一点 M 到左焦点 F1 的距离为 2，N 是 MF1 的中点，则 ∣ON∣ 等于
A. 2B. 4C. 8D. 32

7. 已知 m，n 为空间两条不同直线，α，β，γ 为不同的平面，则下列命题正确的是
A. 若 α⊥β，a⊂α，则 a⊥β
B. 若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β
C. 若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a∥b
D. 若 m⊥α，m∥n，n∥β，则 α⊥β

8. 给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直．
其中正确命题的个数是
A. 0B. 1C. 2D. 3

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 设直线 l 的倾斜角是直线 y=−3x+1 的斜率角的 12，且与 y 轴的交点到 x 轴的距离是 3，则直线 l 的方程是 ．

10. 已知抛物线的焦点坐标是 0,−3，则抛物线的标准方程是 ．

11. 直线 x−y+5=0 被圆 x2+y2−2x−4y−4=0 所截得的弦长等于 ．

12. 双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a= ．

13. 设三棱锥 P−ABC 的顶点 P 在平面 ABC 上的射影是 H，给出以下说法：
①若 PA⊥BC，PB⊥AC，则 H 是 △ABC 垂心；
②若 PA，PB，PC 两两互相垂直，则 H 是 △ABC 垂心；
③若 ∠ABC=90∘，H 是 AC 的中点，则 PA=PB=PC；
④若 PA=PB=PC，则 H 是 △ABC 的外心．
其中正确说法的序号依次是 ．

14. 已知 p：曲线 C 上的点的坐标都是方程 Fx,y=0 的解，q：曲线 C 是方程 Fx,y=0 的曲线，则 p 成立是 q 成立的 条件．

三、解答题（共4小题；共52分）
15. 已知圆 C 经过点 0,1，且圆心为 C1,2．
（1）写出圆 C 的标准方程．
（2）过点 P2,−1 作圆 C 的切线，求该切线的方程及切线长．

16. 如图，在三棱锥 A−BCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点 E，F（E 与 A，D 不重合）分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥AD．求证：
（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC．

17. 如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，侧棱 AA1⊥底面ABC，AB=AC=1，AA1=2，∠B1A1C1=90∘，D 为 BB1 的中点．求证：AD⊥平面A1DC1．

18. 已知椭圆 W：x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 32，且经过点 C2,3．
（1）求椭圆 W 的方程及其长轴长．
（2）A，B 分别为椭圆 W 的左、右顶点，点 D 在椭圆 W 上，且位于 x 轴下方，直线 CD 交 x 轴于点 Q，若 △ACQ 的面积比 △BDQ 的面积大 23，求点 D 的坐标．
答案
第一部分
1. C
2. C
3. C【解析】圆心坐标为 1,2 将圆平分的直线必经过圆心．
4. B
5. C
6. B【解析】如图，F2 为椭圆的右焦点，连接 MF2，
则 ON 是 △F1MF2 的中位线，
所以 ∣ON∣=12∣MF2∣，
又 ∣MF1∣=2，
∣MF1∣＋∣MF2∣=2a=10，
所以 ∣MF2∣=8，
所以 ∣ON∣=4．
7. D【解析】对于 A，只有和交线垂直，才能得线面垂直，故错；
对于 B，因为 α⊥β，β⊥γ，α 与 γ 即可以平行，也可以相交，故错；
对于 C，若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a，b 平行或异面，故不正确；
对于 D，若 m⊥α，m∥n，n∥β，面 β 内一定存在直线与直线 m 平行，则 α⊥β，正确．
8. D
第二部分
9. y=3x±3
【解析】因为已知直线的倾斜角是 120∘，所以直线 l 的倾斜角是 60∘，又直线 l 在 y 轴上的截距 b=±3，所以直线 l 的方程为 y=3x±3．
10. x2=−12y
11. 2
【解析】x2+y2−2x−4y−4=0 可变为 x−12+y−22=9，
故圆心坐标为 1,2，半径为 3．
圆心到直线 x−y+5=0 的距离是 1−2+52=22．
故弦长的一半是 9−8=1，所以弦长为 2．
12. 2
【解析】因为两条渐近线是正方形 OABC 的相邻两边，
所以夹角为 90∘，可知渐近线的斜率为 ±1．
所以 ±ba=±1，a=b．
因为 B 为该双曲线的焦点，
所以 c=22，由 a2+b2=c2=8，a=b 可得 a=2．
13. ①②③④
14. 必要不充分
【解析】若曲线 C 是方程 Fx,y=0 的曲线，
则曲线 C 上的点的坐标都是方程 Fx,y=0 的解，即充分性成立；
若曲线 C 上的点的坐标都是方程 Fx,y=0 的解，
则曲线不一定是方程的曲线，即充分性不成立．
比如：曲线 y=xx≥0 上的点的坐标都满足方程 x−y=0，
而方程 x−y=0 对应的曲线为直线 y=x．
则 p 成立是 q 成立的必要不充分条件．
第三部分
15. （1） 由题意知，圆 C 的半径 r=1−02+2−12=2，
所以圆 C 的标准方程为 x−12+y−22=2．
（2） 由题意知切线斜率存在，
故设过点 P2,−1 的切线方程为 y+1=kx−2，
即 kx−y−2k−1=0，则 ∣−k−3∣1+k2=2，
所以 k2−6k−7=0，解得 k=7 或 k=−1，
故所求切线的方程为 7x−y−15=0 或 x+y−1=0．
由圆的性质易得所求切线长为 PC2−r2=2−12+−1−22−2=22．
16. （1） 因为 AB⊥AD，EF⊥AD，且 A，B，E，F 四点共面，
所以 AB∥EF，
又因为 EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC．
（2） 因为 平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，BC 在平面 ABC 内，BC⊥BD，
所以 BC⊥平面ABD，
因为 AD 在平面 ABD 内，所以 BC⊥AD，
又 AB⊥AD，BC∩AB=B，AB，BC 在平面 ABC 内，
所以 AD⊥平面ABC，
又 AC 在平面 ABC 内，所以 AD⊥AC．
17. 因为 AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，
所以 AA1⊥平面A1B1C1，
又 A1C1⊂平面A1B1C1，
所以 A1C1⊥AA1．
又 ∠B1A1C1=90∘，
所以 A1C1⊥A1B1，
又 A1B1∩AA1=A1，
所以 A1C1⊥平面AA1B1B，
因为 AD⊂平面AA1B1B，
所以 A1C1⊥AD．
因为 AD=2，A1D=2，AA1=2，
所以 AD2+A1D2=AA12，
所以 A1D⊥AD．
又 A1C1∩A1D=A1，
所以 AD⊥平面A1DC1．
18. （1） 因为椭圆 W 经过点 C2,3，
所以 4a2+3b2=1．
因为椭圆 W 的离心率为 32，
所以 ca=32，其中 a2=b2+c2．
所以 a=4,b=2.
所以椭圆 W 的方程为 x216+y24=1，长轴长 2a=8．
（2） 当直线 CD 的斜率不存在时，由题意可知 D2,−3，Q2,0．
由（Ⅰ）可知 A−4,0，B4,0．
所以 △ACQ 的面积为 12×6×3=33，△BDQ 的面积为 12×2×3=3．
显然 △ACQ 的面积比 △BDQ 的面积大 23．
当直线 CD 的斜率存在时，由题意可设直线 CD 的方程为 y−3=kx−2，且 k≠0．
令 y=0，得 x=2−3k，
所以 Q2−3k,0．
由 y−3=kx−2,x216+y24=1 得 1k2+4y2+4k−23k2y+3k2−43k−12=0．
依题意可得点 D 的纵坐标 yD=23−4k1+4k2−3=−43k2−4k+31+4k2．
因为点 D 在 x 轴下方，
所以 yD<0，即 −4<2−3k<4．
所以 △ACQ 的面积为 12∣AQ∣⋅∣yC∣=122−3k+4⋅3=326−3k，
△BDQ 的面积为
12∣BQ∣⋅∣yD∣=124−2+3k∣yD∣=122+3k∣yD∣=122+3k−−43k2−4k+31+4k2=122+3k43k2+4k−31+4k2.
因为 △ACQ 的面积比 △BDQ 的面积大 23，
所以 326−3k−122+3k43k2+4k−31+4k2=23．
此原方程无解．
综上所述，点 D 的坐标为 2,−3．
方法二：
因为点 D 在 x 轴下方，所以点 Q 在线段 AB（不包括端点）上．
由（Ⅰ）可知 A−4,0，B4,0．
所以 △AOC 的面积为 12×4×3=23．
因为 △ACQ 的面积比 △BDQ 的面积大 23，
所以点 Q 在线段 OB（不包括端点）上，且 △OCQ 的面积等于 △BDQ 的面积．
所以 △OCB 的面积等于 △BCD 的面积．
所以 OD∥BC．
设 Dm,n，n<0，
则 nm=0−34−2=−32．
因为点 D 在椭圆 W 上，
所以 m216+n24=1．
所以 m=2,n=−3.
所以点 D 的坐标为 2,−3．