2021年北京朝阳区京西国际学校高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区京西国际学校高二上学期期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 顺次连接 A−4,3，B2,5，C6,3，D−3,0 四点所构成的图形是
A. 平行四边形B. 直角梯形C. 等腰梯形D. 以上都不对

2. 已知向量 a=2,4,x，b=2,y,2，若 a=6，a⊥b，则 x+y 的值是
A. −3 或 1B. 3 或 −1C. −3D. 1

3. 下列说法正确的是
A. 如果一事件发生的概率为十万分之一，说明此事件不可能发生
B. 如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件
C. 概率的大小与不确定事件有关
D. 如果一事件发生的概率为 99.999%，说明此事件必然发生

4. 已知 F1 、 F2 为椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点，M 为椭圆上一点，MF1 垂直于 x 轴，且 ∠F1MF2=60∘，则椭圆的离心率为
A. 12B. 22C. 33D. 32

5. 已知双曲线方程 x2−y23=1，则下列叙述正确的是
A. 焦点 0,±2B. 渐近线方程：y=±3x
C. 实轴长为 23D. 离心率为 233

6. 在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中，设 AB=a，AD=b，AA1=c，F1 为 B1D1 的中点，若 DF1=xa+yb+zc，则 x+y+z=
A. −1B. 2C. 1D. 13

7. 已知数据 x1，x2，x3，⋯，x50，500（单位：公斤），其中 x1，x2，x3，⋯，x50 是某班 50 个学生的体重，设这 50 个学生体重的平均数为 x，中位数为 y，则 x1，x2，x3，⋯，x50，500 这 51 个数据的平均数、中位数分别与 x，y 比较，下列说法正确的是
A. 平均数增大，中位数一定变大B. 平均数增大，中位数可能不变
C. 平均数可能不变，中位数可能不变D. 平均数可能不变，中位数可能变小

8. 已知 A1,4，B−3,2，直线 l：ax+y+2=0，若直线 l 过线段 AB 的中点，则 a 等于
A. −5B. 5C. −4D. 4

9. 过点 M−2,4 作圆 C:x−22+y−12=25 的切线 l，且直线 l1:ax+3y+2a=0 与 l 平行，则 l1 与 l 之间的距离是
A. 85B. 25C. 285D. 125

10. 已知正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中，AB=2，CC1=22，E 为 CC1 的中点，则直线 AC1 到平面 BDE 的距离为
A. 2B. 3C. 2D. 1

二、填空题（共5小题；共25分）
11. 已知向量 a=2,−3,0 ， b=k,0,3 ，若 a 与 b 成 120∘ 角，则 k= ．

12. 若抛物线 C:y2=2px 的焦点在直线 x+y−3=0 上，则实数 p= ；抛物线 C 的准线方程为 ．

13. 某校为了解学生的睡眠情况，随机调查了 50 名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这 50 名学生这一天平均每人的睡眠时间为 ．

14. 在 △ABC 中，AC=3，sinC=ksinAk≥2，则 △ABC 的面积最大值为 ．

15. 若点 P 是以 F1，F2 为左、右焦点的椭圆上一点，过焦点 F2 作 ∠F1PF2 外角平分线的垂线，垂足为 M，则点 M 的轨迹方程是 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
16. 某校高一、高二两个年级共 336 名学生同时参与了跳绳、踢毽两项健身活动，为了了解学生的运动状况，采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从高一、高二两个年级的学生中分别抽取 7 名和 5 名学生进行测试，如表是高二年级的 5 名学生的测试数据（单位：个/分钟）
学生编号12345跳绳个数179181170177183踢毽个数8276797380
（1）求高一、高二两个年级各有多少人?
（2）从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生每分钟跳绳个数超过 175 且踢毽个数超过 75 的概率；
（3）高二年级学生的两项运动的成绩哪项更稳定?

17. 如图，三棱柱 ABC−A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱与底面垂直，且长为 3，D 是 AC 的中点．
（1）求证：B1C∥平面A1BD；
（2）求点 A 到平面 A1BD 的距离．

18. 一盒中共装有除颜色外其余均相同的小球 12 个，其中有 5 个红球，4 个黑球，2 个白球，1 个绿球．从中随机取出 1 个球．
（1）求取出的 1 个球是红球或黑球的概率；
（2）求取出的 1 个球是红球或黑球或白球的概率．

19. 如图所示，AB 为抛物线 y=x2 上的动弦，且 AB=a（a 为常数且 a≥1），求弦 AB 的中点 M 离 x 轴的最近距离．

20. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22，PA=2，E 是 PC 上的一点，PE=2EC．
（1）证明：PC⊥平面BED；
（2）设二面角 A−PB−C 为 90∘，求 DP 与平面 PBC 所成的角的大小．

21. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左､右顶点分别为点 A，B，且 AB=4，椭圆 C 离心率为 12．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过椭圆 C 的右焦点，且斜率不为 0 的直线 l 交椭圆 C 于 M，N 两点，直线 AM，BN 的交于点 Q，求证：点 Q 在直线 x=4 上．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. C
4. C【解析】如图，在 Rt△F1MF2 中，∠F1MF2=60∘，因此 ∣MF2∣:∣MF1∣:∣F1F2∣=2:1:3．
而由椭圆的定义知 ∣MF2∣+∣MF1∣=2a，∣F1F2∣=2c，
所以 e=ca=∣F1F2∣∣MF2∣+∣MF1∣=33．
5. B
【解析】双曲线 x2−y23=1，a=1，b=3，c=1+3=2，
对于A选项：焦点为 ±2,0，故A选项不正确；
对于B选项：渐近线方程为 y=±bax=±3x，故B选项正确；
对于C选项：实轴长为 2a=2，故C选项不正确；
对于D选项：离心率为 e=ca=2，故D选项不正确．
故选B．
6. C
7. B【解析】由题意，显然该班 50 个学生体重的平均数 x<500，所以这 51 个数据的平均数 x=50x+50051>50x+x51=x．而中位数可能不变．
8. B
9. D【解析】因为点 M−2,4 在圆 C 上，
所以切线 l 的方程为 −2−2⋅x−2+4−1y−1=25，即 4x−3y+20=0．
因为直线 l 与直线 l1 平行，
所以 −a3=43，即 a=−4，
所以直线 l1 的方程是 −4x+3y−8=0，即 4x−3y+8=0，
所以直线 l1 与直线 l 之间的距离为 ∣20−8∣42+−32=125．
10. D
【解析】以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图），
则 D0,0,0，A2,0,0，B2,2,0，C0,2,0，C10,2,22，E0,2,2，易知 AC1∥平面BDE．
设 n=x,y,z 是平面 BDE 的法向量，
则 n⋅DB=2x+2y=0,n⋅DE=2y+2z=0.
取 y=1，则 n=−1,1,−2 为平面 BDE 的一个法向量，
又 DA=2,0,0，
所以点 A 到平面 BDE 的距离是 d=∣n⋅DA∣∣n∣=∣−1×2+0+0∣−12+12+−22=1．
故直线 AC1 到平面 BDE 的距离为 1．
第二部分
11. −39
12. 6，x=−3
13. 6.4
14. 3
【解析】由正弦定理将 sinC=ksinA 变形为 c=ka，其中 c=AB，a=BC，
以线段 AC 所在直线为 x 轴，以 AC 的中点 O 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 A−32,0，C32,0，Bx,y，
由 c=ka 得 x+322+y2=kx−322+y2，
两边平方整理得 k2−1x2+k2−1y2−3k2+3x+94k2−1=0，
因为 k≥2，
所以上述方程可化为 x2+y2−3k2+3k2−1x+94=0，
由此可知点 B 的轨迹是以 3k2+12k2−1,0 为圆心，以 r=3kk2−1 为半径的圆，
所以当点 B 在圆上运动时，点 B 到 x 轴的最大距离为半径 r=3kk2−1，
所以 △ABC 的面积 S=12×3×3kk2−1=92×1k−1k 在 k≥2 上单调递减，
所以 Smax=92×12−12=3．
15. x2+y2=a2
【解析】如图，延长 F2M 交 F1P 的延长线于点 N．
由题意知 PF2=PN，所以 F1N=2a．
连接 OM，在 △NF1F2 中，OM 为中位线，
所以 OM=12F1N=a，
所以点 M 的轨迹方程是 x2+y2=a2．
第三部分
16. （1） 高一年级的学生人数为 336×712=196．高二年级的学生人数为 336×512=140．
（2） 设“该学生每分钟跳绳个数超过 175 且踢毽个数超过 75”为事件 A，
由表中的数据可知：高二年级选出的 5 名学生中每分钟跳绳个数超过 175 且踢毽个数超过 75 的共有 3 人，
所以从 5 人中任选一人，事件 A 发生的概率为 35，
由此估计从高二年级的学生中任选一人，事件 A 发生的概率为 35．
（3） 由表中的数据可以估计：
高二年级的学生每分钟跳绳的个数的平均数为 15×179+181+170+177+183=178．
高二年级的学生每分钟跳绳的个数的方差为 s12=15×179−1782+181−1782+170−1782+177−1782+183−1782=20．
高二年级的学生每分钟踢毽的个数的平均数为 15×82+76+79+73+80=78．
高二年级的学生每分钟踢毽的个数的方差为 s22=15×82−782+76−782+79−782+73−182+80−782=10，
由于 s12>s22，
所以高二年级学生的踢毽的成绩更稳定．
17. （1） 连接 DM，
因为三棱柱 ABC−A1B1C1 的侧棱与底面垂直，
所以四边形 AA1B1B 是矩形，
所以 M 为 A1B 的中点．
因为 D 是 AC 的中点，
所以 MD 是三角形 AB1C 的中位线，
所以 MD∥B1C．
因为 MD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，
所以 B1C∥平面A1BD．
（2） 设点 A 到平面 A1BD 的距离为 h，
因为 AA1⊥平面ABC，BD=3，
所以 A1D=2，A1B=7，
所以 A1D⊥BD，
所以 S△A1BD=12BD⋅A1D=3，
由 VA1−BDA=VA−A1BD 得 h=12×3×33=32．
18. （1） 记事件 A1=任取1个球为红球，A2=任取1个球为黑球，
A3=任取1个球为白球，A4=任取1个球为绿球，
则 PA1=512，PA2=13，PA3=16，PA4=112．
据题意知事件 A1，A2，A3，A4 彼此互斥．
PA1+A2=PA1+PA2=512+13=34．
（2） 解法一：
PA1+A2+A3=PA1+PA2+PA3=512+13+16=1112.
解法二：PA1+A2+A3=1−PA4=1−112=1112．
19. 利用抛物线的定义，先求 M 点到准线的最小距离．设弦 AB 的中点 M 纵坐标为 yy>0，F 为抛物线 y=x2 的焦点，l 为该抛物线的准线，过 A，B，M 分别作 l 的垂线 AA1，BB1，MM1，垂足分别为 A1，B1，M1 .
则 MM1=12AA1+BB1=12AF+BF≥12AB=a2，
因为 MM1=y+p2，
所以 y=MM1−p2≥a2−14．
即弦 AB 的中点 M 离 x 轴的最近距离为 a2−14．
20. （1） 以 A 为坐标原点，AC 所在直线为 x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz．
则 C22,0,0，P0,0,2，E423,0,23，
设 D2,b,0b>0，则 B2,−b,0，
于是 PC=22,0,−2，BE=23,b,23，DE=23,−b,23，从而 PC⋅BE=0，PC⋅DE=0，
故 PC⊥BE，PC⊥DE，
又 BE∩DE=E，
所以 PC⊥平面BED．
（2） 由（1）知 AP=0,0,2，AB=2,−b,0，
设平面 PAB 的法向量为 m=x0,y0,z0，则 m⋅AP=0，m⋅AB=0，即 2z0=0 且 2x0−by0=0，
令 x0=b，则 y0=2，故 m=b,2,0．
设平面 PBC 的法向量为 n=p,q,r，则 n⋅PC=0，n⋅BE=0，
即 22p−2r=0 且 2p3+bq+23r=0，
令 p=1，则 r=2，q=−2b，故 n=1,−2b,2，
因为二面角 A−PB−C 为 90∘，
所以 平面PAB⊥平面PBC，
所以 m⋅n=0，则 b−2b=0，解得 b=2，
于是 n=1,−1,2，DP=−2,−2,2，
所以 csn,DP=n⋅DPnDP=12，
所以 n,DP=60∘，
因为 PD 与平面 PBC 所成的角与 n,DP 互余，
所以 DP 与平面 PBC 所成的角为 30∘．
21. （1） 因为 AB=4，椭圆 C 离心率为 12，
所以 2a=4,ca=12,a2=b2+c2, 解得 a2=4，b2=3．
所以椭圆 C 的方程是 x24+y23=1．
（2） ①若直线 l 的斜率不存在时，如图，
因为椭圆 C 的右焦点为 1,0，所以直线 l 的方程是 x=1．
所以点 M 的坐标是 1,32，点 N 的坐标是 1,−32．
所以直线 AM 的方程是 y=12x+2，
直线 BN 的方程是 y=32x−2．
所以直线 AM，BN 的交点 Q 的坐标是 4,3．
所以点 Q 在直线 x=4 上．
②若直线 l 的斜率存在时，如图．
设斜率为 k．所以直线 l 的方程为 y=kx−1．
联立方程组 y=kx−1,x24+y23=1,
消去 y，整理得 3+4k2x−8k2x+4k2−12=0．
显然 Δ>0．不妨设 Mx1,y1，Nx2,y2，
所以 x1+x2=8k23+4k2，x1⋅x2=4k2−123+4k2．
所以直线 AM 的方程是 y=y1x1+2x+2．
令 x=4，得 y=6y1x1+2．
直线 BN 的方程是 y=y2x2−2x−2．
令 x=4，得 y=2y2x2−2．
所以
6y1x1+2−2y2x2−2=6kx1−1x1+2−2kx2−1x2−2=6kx1−1x2−2−2kx1+2x2−1x1+2x2−2.
分子=6kx1−1x2−2−2kx1+2x2−1=2k3x1x2−x2−2x1+2−x1x2−x1+2x2−2=2k2x1x2−5x1+x2+8=2k24k2−123+4k2−5×8k23+4k2+8=2k8k2−24−40k2+24+32k23+4k2=0.
所以点 Q 在直线 x=4 上．