2021年北京房山区北京市房山区燕山向阳中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京房山区北京市房山区燕山向阳中学九年级上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 由一些大小相同的小正方形搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是
A. 6B. 5C. 4D. 3

2. 在 △ABC 中，∠C=90∘，BC=6，sinA=35，则 AB=
A. 8B. 9C. 10D. 12

3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 已知 E，F，G 为圆上的三点，∠FEG=50∘，则下列四个选项中，P 点可能是圆心的是
A. B.
C. D.

5. 如图，下列四个选项中不一定成立的是
A. △COD∽△AOBB. △AOC∽△BOD
C. △DCA∽△BACD. △PCA∽△PBD

6. 已知矩形的面积为 36 cm2，相邻的两条边长为 x cm 和 y cm，则 y 与 x 之间的函数图象大致是
A. B.
C. D.

7. 若一个扇形的半径是 18 cm，且它的弧长是 12π cm，则此扇形的圆心角等于
A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘

8. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y=−x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是
A. 4 米B. 3 米C. 2 米D. 1 米

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，AB，AC 是 ⊙O 的弦，∠BAC=90∘，点 D，E 分别是弦 AB，AC 的中点，连接 OD，OE．若 BD=3，CE=4，则四边形 ADOE 的面积为 ．

10. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为 A2,−1，B1,−3，C4,−4，△ABC 与 △A1B1C1 关于原点 O 对称，则点 A1，B1，C1 的坐标 ．

11. 在平面直角坐标系中，点 A−2,1，B3,2，C−6,m 分别在三个不同的象限．若反比例函数 y=kxk≠0 的图象经过其中两点，则 m 的值为 ．

12. 如图，D 是 △ABC 的边 AB 上一点，添加一个条件 后，可使 △ABC∽△ACD．

13. sinA+csA=32 ，且 ∠A 为锐角，则 sinA⋅csA= ．

14. 如图，小芸用灯泡 O 照射一个矩形相框 ABCD，在墙上形成影子 AʹBʹCʹDʹ．现测得 OA=20 cm，OAʹ=50 cm，相框 ABCD 的面积为 80 cm2，则影子 AʹBʹCʹDʹ 的面积为 cm2．

15. 某种商品每件进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元（20≤x≤30，且 x 为整数）出售，可卖出 30−x 件．若使利润最大，每件的售价应为 元．

16. 假设口袋中有白球 x 个，黑球 8 个，则从口袋中任取一球是黑球的概率为 ．若经过多次试验得出从口袋中任取一球是黑球的频率为 P，则解方程 就可以求出白球的数量．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=2，AC=6，求 ∠A，∠B 的度数．

18. 如图，△ABC 中，BD 平分 ∠ABC，E 为 BC 上一点，∠BDE=∠BAD=90∘．
（1）求证：BD2=BA⋅BE；
（2）若 AB=6，BE=8，求 CD 的长．

19. 如图，△ABC 的三个顶点都在边长为 1 的小正方形组成的网格的格点上，以点 O 为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题：
（1）将 △ABC 绕原点 O 旋转 180∘ 得到 △A1B1C1，在表格中画出 △A1B1C1；
（2）已知点 A 的坐标为 −4,−1，则点 A1 的坐标为 ．

20. 下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O 及 ⊙O 外一点 P．
求作：⊙O 的一条切线，使这条切线经过点 P．
作法：
①连接 OP，作 OP 的垂直平分线 l，交 OP 于点 A；
②以 A 为圆心，AO 长为半径作圆，交 ⊙O 于点 M；
③作直线 PM，则直线 PM 即为 ⊙O 的切线．
根据小芸设计的尺规作图过程．
（1）用直尺和圆规，在下图中补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成证明．

21. 经过某路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有甲、乙、丙三辆汽车经过这个路口．
（1）求甲、乙两辆汽车向同一方向行驶的概率；
（2）甲、乙、丙三辆汽车向同一方向行驶的概率是 .

22. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，D 为 BC 上一点，AB=5，BD=1，tanB=34．
（1）求 AD 的长；
（2）求 sinα 的值．

23. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在 O 点正上方 1 m 的 P 处发出一球，羽毛球飞行的高度 ym 与水平距离 xm 之间满足函数表达式 y=ax−42+h．已知点 O 与球网的水平距离为 5 m，球网的高度为 1.55 m．
（1）当 a=−124 时，①求 h 的值；②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点 O 的水平距离为 7 m，离地面的高度为 125 m 的 Q 处时，乙扣球成功，求 a 的值．

24. 如图，已知点 D 在反比例函数 y=ax 的图象上，过点 D 作 DB⊥y轴，垂足为 B0,3，直线 y=kx+b 经过点 A5,0，与 y 轴交于点 C，且 BD=OC，OC:OA=2:5．
（1）求反比例函数 y=ax 和一次函数 y=kx+b 的表达式．
（2）直接写出关于 x 的不等式 ax>kx+b 的解集．

25. 已知：如图，在 △ABC 中，AB=AC，DE∥BC，点 F 在边 AC 上，DF 与 BE 相交于点 G，且 ∠EDF=∠ABE．
求证：
（1）△DEF∽△BDE；
（2）DG⋅DF=DB⋅EF．

26. M 是正方形 ABCD 的边 AB 上一动点（不与 A，B 重合），BP⊥MC，垂足为 P，将 ∠CPB 绕点 P 旋转，得到 ∠CʹPBʹ，当射线 PCʹ 经过点 D 时，射线 PBʹ 与 BC 交于点 N．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：△BPN∽△CPD；
（3）在点 M 的运动过程中，图中是否存在与 BM 始终保持相等的线段?若存在，请写出这条线段并证明；若不存在，请说明理由．

27. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 Px,y 和 Qx,yʹ，给出如下定义：若 yʹ=y,x≥0−y,x<0，则称点 Q 为点 P 的“可控变点”．
例如：点 1,2 的“可控变点”为点 1,2，点 −1,3 的“可控变点”为点 −1,−3．
（1）点 −5,−2 的“可控变点”坐标为 ．
（2）若点 P 在函数 y=−x2+16 的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标 yʹ 是 7，求“可控变点”Q 的横坐标．
（3）若点 P 在函数 y=−x2+16−5≤x≤a 的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标 yʹ 的取值范围是 −16≤yʹ≤16，直接写出实数 a 的值．

28. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=90∘，∠C=40∘，点 D 是线段 BC 上的动点，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 50∘ 至 ADʹ，连接 BDʹ．已知 AB=2 cm，设 BD 为 x cm，BDʹ 为 y cm．
小明根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）
（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
线段 BDʹ 的长度的最小值约为 cm；
若 BDʹ≥BD，则 BD 的长度 x 的取值范围是 ．
答案
第一部分
1. D
2. C
3. D【解析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180∘，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
轴对称图形的定义为：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义可知：
A选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误；
B选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误；
C选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误；
D选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意，故此选项正确．
4. C【解析】若 P 点为圆心，则 ∠FPG=2∠FEG=100∘．
观察C、D易知C符合题意．
5. C
6. A
7. D
8. A
第二部分
9. 12
10. A1−2,1，B1−1,3，C1−4,4
11. −1
12. ∠ABC=∠ACD（答案不唯一）
13. 58
14. 500
【解析】由题意可得 △AOB∽△AʹOBʹ，
∴AB:AʹBʹ=OA:OAʹ=2:5，
∴ 矩形 ABCD 的面积 : 矩形 AʹBʹCʹDʹ 的面积为 4:25，
又矩形 ABCD 的面积为 80 cm2，则矩形 AʹBʹCʹDʹ 的面积为 500 cm2．
15. 25
【解析】利润 y=30−xx−20=−x2+50x−600=−x−252+25，
因为 20≤25≤30，
所以若使利润最大，每件的售价应为 25 元．
16. 88+x，88+x=P
第三部分
17. ∠A=30∘，∠B=60∘
18. （1） ∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠ABD=∠DBE，
在 △ABD 和 △DBE 中，∠ABD=∠DBE，∠BAD=∠BDE，
∴△ABD∽△DBE，
∴BABD=BDBE，
∴BD2=BA⋅BE．
（2） 过点 E 作 EF⊥AC，交 AC 于点 F，
∵BD2=BA⋅BE，AB=6，BE=8，
∴BD=43，
∴AD=23，DE=4，
∵∠BDE=∠BAD=90∘，
∴∠ADB+∠EDF=90∘，∠ADB+∠DBA=90∘，
∴∠DBA=∠EDF，
在 △DBA 和 △EDF 中，∠DBA=∠EDF，∠BAD=∠DFE，
∴△DBA∽△EDF，
∴DBED=BADF=DAEF，
∵DB=43，ED=4，BA=6，AD=23，
∴434=6DF=23EF，
∴EF=2，DF=23，
在 △BAC 和 △EFC 中，∠BAC=∠EFC，∠C=∠C，
∴△BAC∽△EFC，
∴BAEF=ACFC，
∵BA=6，EF=2，AD=DF=23，
∴62=43+FCFC，
∴FC=23，
∴DC=DF+FC=43．
答：DC 长为 43．
19. （1） 如图，△A1B1C1 即为所求．
（2） 4,1
20. （1） 如图所示：
PM 即为所求作的 ⊙O 的切线．
（2） 如图，连接 OM，
根据作图过程可知，OP 为 ⊙O 的直径，
所以 ∠PMO=90∘，即 OM⊥PM，
又 OM 为 ⊙O 的半径，
所以 PM 为 ⊙O 的切线．
21. （1） 所有可能出现的结果有：（直行，直行）、（直行，左转）、（直行，右转）、（左转，直行）、（左转，左转）、（左转，右转）、（右转，直行）、（右转，左转）、（右转，右转）共 9 种，它们出现的可能性相同．
所有的结果中，满足“甲、乙两辆汽车同一方向行驶”（记为事件 A）的结果有 3 种，
所以 PA=13．
（2） 19
【解析】由题意可得：画树状图如图：
共有 27 中等可能情况，其中三辆汽车朝一个方向行驶的情况有 3 种，
则 P三辆汽车朝一个方向行驶=327=19．
22. （1） 因为 tanB=34，
所以可设 AC=3x，BC=4x，x>0．
因为 AC2+BC2=AB2，
所以 3x2+4x2=52，
所以 x=1，
所以 AC=3，BC=4．
因为 BD=1，
所以 CD=3，
所以 AD=CD2+AC2=32．
（2） 过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，如图所示，
因为 tanB=34，
所以可设 DE=3y，BE=4y，y>0，
因为 BE2+DE2=BD2，
所以 3y2+4y2=12，
所以 y=15，
所以 DE=35，
所以 sinα=DEAD=210．
23. （1） ①当 a=−124 时，
y=−124x−42+h，
将点 P0,1 代入，得：−124×16+h=1，
解得：h=53；
②把 x=5 代入 y=−124x−42+53
得：y=−124×5−42+53=1.625，
∵1.625>1.55，
∴ 此球能过网．
（2） 把 0,1，7,125 代入 y=ax−42+h，
得：
16a+h=1,9a+h=125,
解得：
a=−15,h=215,∴a=−15
．
24. （1） y=−6x，y=25x−2．
（2） 将 y=25x−2 代入 y=−6x，整理得：25x2−2x+6=0，
∵Δ=−22−4×25×6=−285<0，
∴ 一次函数图象与反比例函数图象无交点．
观察图形，可知：当 x<0 时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴ 不等式 ax>kx+b 的解集为 x<0．
25. （1） ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵DE∥BC，
∴∠ABC+∠BDE=180∘，∠ACB+∠CED=180∘，
∴∠BDE=∠CED，
∵∠EDF=∠ABE，
∴△DEF∽△BDE．
（2） 由 △DEF∽△BDE，得 DBDE=DEEF，
∴DE2=DB⋅EF．
由 △DEF∽△BDE，得 ∠BED=∠DFE，
∵∠GDE=∠EDF，
∴△GDE∽△EDF，
∴DGDE=DEDF，
∴DE2=DG⋅DF，
∴DG⋅DF=DB⋅EF．
26. （1） 补全图形如图所示：
（2） 由旋转可得 ∠BPN=∠CPD．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BCD=90∘．
∴∠PCD+∠BCP=90∘．
∵BP⊥MC，
∴∠CPB=90∘．
∴∠PBC+∠PCB=90∘．
∴∠PBC=∠PCD．
∴△BPN∽△PCD．
（3） 答：BM=BN．
证明：
∵BP⊥CM，∠MBC=90∘，
∴∠MBP=∠MCB．
∴△MPB∽△BPC．
∴BMBC=PBPC．
由（2）可知 △PBN∽△PCD．
∴PBPC=BNCD．
∴BMBC=BNCD．
∵BC=CD，
∴BM=BN．
27. （1） −5,2
【解析】∵−5<0，
∴yʹ=−y=2，
即点 −5,−2 的“可控变点”坐标为 −5,2．
（2） 如图 1，
由题意，得 y=−x2+16 的图象上的点 P 的“可控变点”必在函数 yʹ=−x2+16,x≥0x2−16,x<0 图象上，
∵“可控变点”Q 的纵坐标 yʹ 是 7，
∴ 当 −x2+16=7 时，解得 x=3，
当 x2−16=7 时，解得 x=−23，
故答案为：3 或 −23．
（3） 42
【解析】由题意，得 y=−x2+16 的图象上的点 P 的“可控变点”必在函数
yʹ=−x2+16,x≥0x2−16,x<0 的图象上如图 2，
当 x=−5 时，x2−16=9，
∵yʹ=x2−16>−16x<0，
∴yʹ=−16 在 yʹ=−x2+16x≥0 上，
∴−16=−x2+16，
∴x=42，
∴ 实数 a 的值为 42．
28. （1） 0.9
（2） 如图所示．
（3） 0.7；0≤x≤0.9