2021年北京房山区北京十三中青龙湖分校九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京房山区北京十三中青龙湖分校九年级上期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. tan45∘ 的值等于
A. 12B. 22C. 1D. 3

2. 下列图形中，是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 如图，在 ⊙O 中，OA⊥BC，∠AOB=48∘，D 为 ⊙O 上一点，则 ∠ADC 的度数是
A. 24∘B. 42∘C. 48∘D. 12∘

4. 如图所示的主视图和俯视图对应的几何体（阴影所示为右）是
A. B.
C. D.

5. 如图，线段 AB 经过平移得到线段 AʹBʹ 其中点 A，B 的对应点分别为点 Aʹ，B′，这四个点都在格点上．若线段 AB 上有一个点 Pa,b 则点 P 在 A′B′ 上的对应点 P′ 的坐标为
A. a−2,b+3B. a−2,b−3
C. a+2,b+3D. a+2,b−3

6. 已知二次函数的图象 0≤x≤3 如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是
A. 有最小值 0，有最大值 3B. 有最小值 −1，有最大值 0
C. 有最小值 −1，有最大值 3D. 有最小值 −1，无最大值

7. 下列图形可看作由下方图形绕其一顶点顺时针旋转 90∘ 而形成的图形的是
A. B.
C. D.

8. 二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表：
x⋯−2−1012⋯y=ax2+bx+c⋯tm−2−2n⋯
且当 x=−12 时，与其对应的函数值 y>0．有下列结论：
① abc>0；
② −2 和 3 是关于 x 的方程 ax2+bx+c=t 的两个根；
③ 0其中，正确结论的个数是
A. 0B. 1C. 2D. 3

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 沿着 x 轴正方向看，如果抛物线 y=a−2x2 在对称轴左侧的部分是下降的，那么 a 的取值范围是 ．

10. 把图 1 中长和宽分别 6 和 4 的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图 2 的正方形，则图 2 中小正方形 ABCD 的面积为 ．

11. 如图，△ABC 是 ⊙O 的内接三角形，∠BAC=60∘，BC 的长是 4π3，则 ⊙O 的半径是 ．

12. 如图，在 Rt△ABC 中，AC=2，BC=1，则 tanα= ．

13. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，PA，PC 分别与 ⊙O 相切于点 A，点 C，若 ∠P=60∘，PA=23，则 AB 的长为 ．

14. 如图，线段 CD 两个端点的坐标分别为 C1,2，D2,0，以原点为位似中心，将线段 CD 放大得到线段 AB，若点 B 的坐标为 5,0，则点 A 的坐标为 ．

15. ⊙O 的直径为 10，弦 AB=6，P 是弦 AB 上一动点，则 OP 的取值范围是 ．

16. 如图，抛物线 y=−x2−2x+3 与 x 轴交于点 A，B，把抛物线在 x 轴及其上方的部分记作 C1，将 C1 关于点 B 的中心对称图形记为 C2，C2 与 x 轴交于另一点 C，将 C2 关于点 C 的中心对称图形记为 C3，连接 C1 与 C3 的顶点，则图中阴影部分的面积为 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：sin30∘−2sin60∘+3tan45∘+cs245∘．

18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=4，AB=42，解这个直角三角形．

19. 已知二次函数 y=−x2+x+c 的图象与 x 轴只一个交点．
（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小．

20. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O 及 ⊙O 上一点 P．
求作：过点 P 的 ⊙O 的切线．
作法：如图，
①作射线 OP；
②在直线 OP 外任取一点 A，以点 A 为圆心，AP 为半径作 ⊙A，与射线 OP 交于另一点 B；
③连接并延长 BA 与 ⊙A 交于点 C；
④作直线 PC；
则直线 PC 即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵BC 是 ⊙A 的直径，
∴∠BPC=90∘（ ）（填推理的依据）．
∴OP⊥PC．
又 ∵OP 是 ⊙O 的半径，
∴PC 是 ⊙O 的切线（ ）（填推理的依据）．

21. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，E 是 AC 上一点，AE，DC 的延长线相交于点 F．
求证：∠AED=∠CEF．

22. 一农民带上若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出的土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题．
（1）农民自带的零钱是多少?
（2）若降价前 y，x 满足 y=kx+b，试求 y 与 x 之间的关系式．
（3）由表达式你能看出降价前每千克的土豆价格是多少吗?

23. 如图，有两条公路 OM，ON 相交成 30∘ 角，沿公路 OM 方向离 O 点 80 米处有一所学校 A．当重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶时，在以 P 为圆心 50 米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车 P 与学校 A 的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶的速度为 18 千米/时．
（1）求对学校 A 的噪声影响最大时卡车 P 与学校 A 的距离；
（2）求卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间．

24. 如图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是 1 m，拱桥的跨度为 10 m，桥洞与水面的最大距离是 5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4 m 的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求两盏景观灯之间的水平距离．

25. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠BAC 的角平分线交 BC 于点 O，OC=1，以点 O 为圆心 OC 为半径作圆．
（1）求证：AB 为 ⊙O 的切线；
（2）如果 tan∠CAO=13，求 csB 的值．

26. 已知二次函数 y=−x2+2x+3．
（1）求函数图象的顶点坐标，并画出这个函数的图象．
（2）根据图象，直接写出︰
①当函数值 y 为正数时，自变量 x 的取值范围．
②当 −2③若经过点 0,k 且与 x 轴平行的直线 l 与 y=−x2+2x+3 的图象有公共点，求 k 的取值范围．

27. 解答下列问题．
（1）如图（1），△ABC 和 △CDE 都是等边三角形，且 B，C，D 三点共线，连接 AD，BE 交于点 P，求证：BE=AD；
（2）如图（2），在 △BCD 中，∠BCD<120∘，分别以 BC，CD 和 BD 为边在 △BCD 外部作等边 △ABC，等边 △CDE 和等边 △BDF，连接 AD，BE 和 CF 交于点 P，下列结论中正确的是 （填序号）；
① AD=BE=CF；② ∠BEC=∠ADC；③ ∠DPE=∠EPC=∠CPA=60∘．
（3）如图（2），在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE．

28. 对于平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A−2,0 和点 B3,0，线段 AB 和线段 AB 外的一点 P，给出如下定义：若 45∘≤∠APB≤90∘ 时，则称点 P 为线段 AB 的可视点，且当 PA=PB 时，称点 P 为线段 AB 的正可视点．
（1）①如图 1，在点 P13,6，P2−2,−5，P32,2 中，线段 AB 的可视点是 ；
②若点 P 在 y 轴正半轴上，写出一个满足条件的点 P 的坐标： ．
（2）在直线 y=x+b 上存在线段 AB 的可视点，求 b 的取值范围；
（3）在直线 y=−x+m 上存在线段 AB 的正可视点，直接写出 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. C【解析】tan45∘=1．
2. D
3. A【解析】∵OA⊥BC，
∴AC=AB，
∴∠ADC=12∠AOB=12×48∘=24∘．
4. B【解析】观察选项中的几何体，可知B选项中的几何体的主视图和俯视图与题图相符．
5. A
【解析】本题考查图形的平移．由图形可知点 A 的坐标为 1,−1，点 A′ 的坐标为 −1,2，∴ 点 A′ 可看作点 A 先向左平移 2 个单位，再问上平移 3 个单位得到的，∵ 点 P 的坐标为 a,b，点 P′ 的坐标为 a−2,b+3．
6. C
7. B
8. C【解析】当 x=0 时，c=−2；
当 x=1 时，a+b−2=−2．
∴a+b=0，
∴y=ax2−ax−2，
∴abc>0，①正确；
x=12 是对称轴，
x=−2 时 y=t，则 x=3 时，y=t，
∴−2 和 3 是关于 x 的方程 ax2+bx+c=t 的两个根，②正确；
m=a+a−2，n=4a−2a−2，
∴m=n=2a−2，
∴m+n=4a−4，
∵ 当 x=−12 时，y>0，
∴a>83，
∴m+n>203，③错误．
第二部分
9. a>2
10. 4
【解析】6−4=2，2×2=4．
故图 2 中小正方形 ABCD 的面积为 4．
11. 2
12. 12
13. 4
14. 52,5
【解析】如图 △COD∽△AOB，相似比为 25，
过 C 点作 CE⊥x，AF⊥x 轴，
CEAF=25，OEOF=25，C1,2，F52,5．
15. 4≤OP≤5
【解析】当 OP⊥AB 时，OP 有最小值 4 .
16. 32
第三部分
17. 原式=12−2×32+3×1+222=12−3+3+12=1.
18. BC=AB2−AC2=4，
∴AC=BC，
∴∠A=∠B=45∘．
19. （1） 由题意得 Δ=1+4c=0，
∴c=−14，
∴y=−x2+x−14，
∵ 当 x=−b2a=12 时，y=0，
∴ 顶点坐标为 12,0．
（2） ∵a=−1<0，开口向下，
∴ 当 x≥12 时，y 随 x 的增大而减小．
20. （1） 补全的图形如图所示：
（2） 直径所对的圆周角是直角；
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
21. 如图，连接 AD．
∵AB 是 ⊙O 的直径，CD⊥AB，
∴AD=AC，
∴∠ADC=∠AED．
∵∠AEC+∠ADC=180∘，∠AEC+∠CEF=180∘，
∴∠CEF=∠ADC，
∴∠AED=∠CEF．
22. （1） 5 元．
（2） y=0.5x+5．
（3） 0.5 元．
23. （1） 过点 A 作 AD⊥ON 于点 D，
∵∠NOM=30∘，AO=80 m，
∴AD=40 m，
即对学校 A 的噪声影响最大时卡车 P 与学校 A 的距离为 40 米．
（2）
如图：
在 Rt△ABD 中，AB=50，AD=40，由勾股定理得 BD=AB2−AD2=502−402=30 m，
故 BC=2×30=60 米，即重型运输卡车在经过 BC 时对学校产生影响．
∵ 重型运输卡车的速度为 18 千米/小时，即 1800060=300 米/分钟，
∴ 重型运输卡车经过 BD 时需要 60÷300=0.2（分钟）．
答：卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间为 0.2 分钟．
24. （1） y=−425x−52+50≤x≤10．
（2） 5 米．
25. （1）
作 OD⊥AB 于点 D．
∵ AO 平分 ∠CAB，OC⊥AC，
∴ OD=OC．
∵ OC 是 ⊙O 的半径，
∴ AB 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵ ∠ACB=90∘，
∴AC=AD．
在 Rt△ABC 和 Rt△OBD 中，
∵ ∠ABC=∠OBD，
∴ △ABC∽△OBD，
∴ OBAB=ODAC=OCAC=tan∠CAO=13．
∵ OC=OD=1，
∴ AC=AD=3，
设 OB 为 x，则 AB=3x，
∴ BD=AB−AD=3x−3．
在 Rt△ODB 中，
OB2=OD2+DB2，
即 x2=12+3x−32，
解得 x1=54，x2=1 （不合题意，舍去）．
∵ DB=34，
∴ csB=DBOB=35．
26. （1） ∵y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴ 函数图象的顶点坐标 1,4，
函数的图象如图：
（2） ①根据图象可知：当 −1②根据图象可知：当 −2③根据图象可知：k≤4．
27. （1） ∵△ABC 和 △CDE 都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60∘．
∴∠BCE=∠ACD．
在 △BCE 和 △ACD 中，
∵BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD，
∴△BCE≌△ACDSAS．
∴BE=AD．
（2） ①②③；
【解析】∵△ABC 和 △CDE 都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60∘．
∴∠BCE=∠ACD．
∴△BCE≌△ACDSAS．
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC．
∴ ②正确．
同理 △FDC≌△BDE，
∴BE=CF．
∴BE=AD=CF，
∴ ①正确．
∵△BCE≌△ACD．
∴∠CEP=∠CDA，
∵∠CED=∠CDE=60∘，
∴∠DEP+∠CEP=∠CED=60∘=∠CDP+∠DEP，
∴∠DPE=180∘−60∘−60∘=60∘．
同理 ∠EPC=∠CPA=60∘，即 ∠DPE=∠EPC=∠CPA=60∘．
∴ ③正确．
（3） 在 PE 上截取 PM=PC，连接 CM．
由（1）可知，△BCE≌△ACDSAS，
∴∠CEB=∠CDA．
设 CD 与 BE 交于点 G，
∵∠CGE=∠PGD，
∴∠DPG=∠ECG=60∘．
同理 ∠CPE=60∘，
∴△CPM 是等边三角形．
∴CP=CM，∠PMC=60∘．
∴∠CPD=∠CME=120∘．
∴△CPD≌△CMEAAS，
∴PD=ME．
∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD，即 PB+PC+PD=BE．
28. （1） ① P2，P3
② P0,3（答案不唯一，纵坐标 yP 范围：6≤yP≤6）
【解析】①如图 1，以 AB 为直径作圆 G，
则点 P 在圆上，则 ∠APB=90∘，若点 P 在圆内，则 ∠APB>90∘，
以 C12,52 为圆心，AC 为半径作圆，在点 P 优弧 AEB 上时，∠APB=45∘，
点 P 在优弧 AEB 内，圆 G 外时，45∘<∠APB<90∘；
以 D12,−52 为圆心，AD 为半径作圆，在点 P 优弧 AFB 上时，∠APB=45∘，
点 P 在优弧 AFB 内，圆 G 外时，45∘<∠APB<90∘；
∵ 点 P13,6，P2−2,−5，P32,2，
∴P1C=742>522=AC，则点 P1 在圆 C 外，则 ∠AP1B<45∘，
P2D=522=AC，则点 P2 在圆 D 上，则 ∠AP2B=45∘，
P3G=52=BG，点 P3 在圆 G 上，则 ∠AP3B=90∘，
∴ 线段 AB 的可视点是 P2，P3．
②由图 1 可得，点 P 的坐标：P0,3（答案不唯一，纵坐标 yP 范围：6≤yP≤6）．
（2） 如图 2，设直线 y=x+b 与圆 C 相切于点 H，交 x 轴于点 N，连接 BH．
∵∠HNB=∠HBN=45∘，
∴NH=BH，∠NHB=90∘，且 NH 是切线，
∴BH 是直径，
∴BH=52，
∴BN=10，
∴ON=7，
∴ 点 N−7,0，
∴0=−7+b，
∴b=7，
当直线 y=x+b 与圆 D 相切，同理可求：b=−8，
∴−8≤b≤7．
（3） −522−2≤m≤−2 或 3≤m≤522+3．
【解析】如图 3，作 AB 的中垂线，交 ⊙C 于点 Q，交 ⊙D 于点 W．
∵ 直线 y=−x+m 上存在线段 AB 的正可视点，
∴ 线段 CQ 和线段 DW 上的点为线段 AB 的正可视点．
∵ 点 C12,52，点 D12,−52，点 Q12,52+552，点 W12,−52−522，
分别代入解析式可得：
∴m=3，m=522+3，m=−2，m=−2−522，
∴m 的取值范围：−522−2≤m≤−2 或 3≤m≤522+3．