2019-2020学年北京市房山区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市房山区九上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列函数中是反比例函数的是
A. y=x3B. y=3x+1C. y=x22D. y=32x

2. 已知：⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离为 d．如果 d≥r，那么 P 点
A. 在圆外B. 在圆外或圆上C. 在圆内或圆上D. 在圆内

3. 已知，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=5，BC=3，则 sinA 的值是
A. 35B. 53C. 45D. 34

4. 三角形内切圆的圆心为
A. 三条高的交点B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三条中线的交点

5. 在同一平面直角坐标系中，函数 y=kx2+k 与 y=kx 的图象可能是
A. B.
C. D.

6. 同时抛掷两枚质量均匀的硬币，恰好一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率是
A. 1B. 12C. 13D. 14

7. 已知 Ax1,y1，Bx2,y2 是函数 y=−2x2+m（m 是常数）图象上的两个点，如果 x1A. y1>y2B. y1=y2
C. y1
8. 已知：A，B，C 是 ⊙O 上的三个点，且 ∠AOB=60∘，那么 ∠ACB 的度数是
A. 30∘B. 120∘C. 150∘D. 30∘ 或 150∘

9. 在同一坐标系下，抛物线 y1=−x2+4x 和直线 y2=2x 的图象如图所示，那么不等式 −x2+4x>2x 的解集是
A. x<0B. 02D. x<0 或 x>2

10. 如图甲，A，B 是半径为 1 的 ⊙O 上两点，且 OA⊥OB，点 P 从 A 出发，在 ⊙O 上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点 A 运动结束．设运动时间为 x，弦 BP 的长度为 y，那么如图乙图象中可能表示 y 与 x 的函数关系的是
A. ①B. ④C. ①或③D. ②或④

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 函数 y=xx−1 的自变量 x 的取值范围是 ．

12. 在圆中，如果 75∘ 的圆心角所对的弧长为 2.5π cm，那么这个圆的半径是 ．

13. 如果一个等腰三角形的三条边长分别为 1，1，3，那么这个等腰三角形底角的度数为 ．

14. 如图，正 △ABC 内接于半径是 2 的圆，那么阴影部分的面积是 ．

15. 某商店销售一种进价为 50 元/件的商品，当售价为 60 元 / 件时，一天可卖出 200 件；经调查发现，如果商品的单价每上涨 1 元，一天就会少卖出 10 件．设商品的售价上涨了 x 元 /件（x 是正整数），销售该商品一天的利润为 y 元，那么 y 与 x 的函数关系的表达式为 ．（不写出 x 的取值范围）

16. 在数学课上，老师请同学思考如下问题：
已知：在 △ABC 中，∠A=90∘，
求作：⊙P，使得点 P 在 AC 上，且 ⊙P 与 AB，BC 都相切．
小轩的作法如下：
（1）作 ∠ABC 的平分线 BF，与 AC 交于点 P；
（2）以点 P 为圆心，AP 长为半径作 ⊙P，⊙P 即为所求．
老师说：“小轩的作法正确．”
请回答：⊙P 与 BC 相切的依据是 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算：2cs45∘−tan60∘+sin30∘−12tan45∘．

18. 已知二次函数的表达式为：y=x2−6x+5，
（1）利用配方法将表达式化成 y=ax−h2+k 的形式；
（2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标．

19. 在 Rt△ABC 中，已知 ∠B=90∘，AB=2，AC=22，解这个直角三角形．

20. 已知：二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示．请你根据图象提供的信息，求出这条抛物线的表达式．

21. 如图，有四张背面相同的纸牌 A，B，C，D，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色．小明将这 4 张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余 3 张洗匀后再摸出一张．请用画树状图或列表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率．

22. 已知：二次函数 y=x2+2m+1x+m2−1 与 x 轴有两个交点．
（1）求 m 的取值范围；
（2）写出一个满足条件的 m 的值，并求此时二次函数与 x 轴的交点．

23. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P 是反比例函数 y=12xx>0 图象上任意一点，以 P 为圆心，PO 为半径的圆与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，连接 AB．
（1）求证：P 为线段 AB 的中点；
（2）求 △AOB 的面积．

24. 如图，已知：△ABC 中，∠BAC=30∘，AB=AC=4．将 △ABC 沿 AC 翻折，点 B 落在 Bʹ 点，连接并延长 ABʹ 与线段 BC 的延长线相交于点 D，求 AD 的长．

25. 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段 AB 的最小覆盖圆就是以线段 AB 为直径的圆（图 1）．
（1）在图 2 中作出锐角 △ABC 的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）图 3 中，△ABC 是直角三角形，且 ∠C=90∘，请说明 △ABC 的最小覆盖圆圆心所在位置；
（3）请在图 4 中对钝角 △ABC 的最小覆盖圆进行探究，并结合（1），（2）的结论，写出关于任意 △ABC 的最小覆盖圆的规律．

26. “昊天塔”又称多宝佛塔，是北京地区唯一的楼阁式空心砖塔，位于良乡东北 1 公里的燎石岗上．此塔始建于隋，唐朝曾重修，现存塔是辽代修建的，已历经一千多年．某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量它的高度．他们的测量工具有：高度为 1.5 m 的测角仪（测量仰角、俯角的仪器）、皮尺．请你帮他们设计一种测量方案，求出昊天塔的塔顶到地面的高度 AB，注意：因为有护栏，他们不能到达塔的底部．
要求：
（1）画出测量方案的示意图，标出字母，写出图中需要并且能测量的角与线段（用图中的字母表示）；
（2）结合示意图，简要说明你测量与计算的思路（不必写出结果）．

27. 如图，已知：△ABC 中 ∠ACB=90∘，E 在 AB 上，以 AE 为直径的 ⊙O 与 BC 相切于点 D，与 AC 相交于点 F，连接 AD．
（1）求证：AD 平分 ∠BAC；
（2）连接 OC，如果 ∠B=30∘，CF=1，求 OC 的长．

28. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=x2−2x+n−1 与 y 轴交于点 A，其对称轴与 x 轴交于点 B．
（1）当 △OAB 是等腰直角三角形时，求 n 的值；
（2）点 C 的坐标为 3,0，若该抛物线与线段 OC 有且只有一个公共点，结合函数的图象求 n 的取值范围．

29. 若抛物线 L:y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，且 abc≠0）与直线 l 都经过 y 轴上的同一点，且抛物线 L 的顶点在直线 l 上，则称此抛物线 L 与直线 l 具有“一带一路”关系，并且将直线 l 叫做抛物线 L 的“路线”，抛物线 L 叫做直线 l 的“带线”．
（1）若“路线”l 的表达式为 y=2x−4，它的“带线”L 的顶点在反比例函数 y=6xx<0 的图象上，求“带线”L 的表达式；
（2）如果抛物线 y=mx2−2mx+m−1 与直线 y=nx+1 具有“一带一路”关系，求 m，n 的值；
（3）设（2）中的“带线”L 与它的“路线”l 在 y 轴上的交点为 A．已知点 P 为“带线”L 上的点，当以点 P 为圆心的圆与“路线”l 相切于点 A 时，求出点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. A
4. C
5. A
6. B
7. C
8. D
9. B
10. C
第二部分
11. x≠1
12. 6 cm
13. 30∘
14. 4π−33
15. y=−10x2+100x+2000
16. 角平分线上的点到角两边距离相等；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（或：如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线与圆相切）．
第三部分
17. 原式=2×22−3+12−12×1=2−3．
18. （1） y=x2−6x+9−9+5=x−32−4，即 y=x−32−4．
（2） 由（1）知，抛物线解析式为 y=x−32−4，
所以抛物线的对称轴为：直线 x=3，顶点坐标为 3,−4．
19. ∵ 在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，AB=2，AC=22，
∴ BC2=AC2−AB2=222−22=4．
即 BC=2，
∵ sinA=BCAC=22，
∴ ∠A=45∘，
∴ ∠C=45∘．
答：在这个三角形中 BC=2，∠A=∠C=45∘．
20. 由图象可知：抛物线的对称轴为直线 x=1，
设抛物线的表达式为：y=ax−12+k．
∵ 抛物线经过点 −1,0 和 0,−3，
∴ 0=4a+k,−3=a+k,
解得 a=1,k=−4.
∴ 抛物线的表达式为：y=x−12−4，即 y=x2−2x−3．
21. 列表法：
ABCDAABACADBABBCBDCACCBCDDADDBDCP=212=16
．
22. （1） ∵ 二次函数 y=x2+2m+1x+m2−1 与 x 轴有两个交点，
∴2m+12−4m2−1=4m+5>0，
∴m>−54．
（2） m 取 1，则抛物线解析式为 y=x2+3x，
当 y=0 时，x2+3x=0，解得 x1=0，x2=−3，
∴ 抛物线与 x 轴的交点坐标为 0,0，−3,0．
（答案不唯一）
23. （1） ∵ 点 A，O，B 在 ⊙P 上，且 ∠AOB=90∘，
∴ AB 为 ⊙P 的直径，即 P 为 AB 中点．
（2） 设点 P 的坐标为 m,n，则 mn=12，
过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，PN⊥y 轴于点 N，
∴ M 的坐标为 m,0，N 的坐标为 0,n，且 OM=m，ON=n，
∵ 点 A，O，B 在 ⊙P 上，
∴ BP=OP=AP，
∴ M 为 OA 中点，OA=2m；N 为 OB 中点，OB=2n，
∴ S△AOB=12OA⋅OB=2mn=24．
24. 过点 B 作 BE⊥AD 于 点 E，如图，
∵△ABC 中，AB=AC，∠BAC=30∘，
∴∠ABC=75∘，
∵△ABC 沿 AC 翻折，
∴∠BABʹ=2∠BAC=60∘，
∴∠D=180∘−∠BABʹ−∠ABC=180∘−60∘−75∘=45∘，
在 Rt△ABE 中，∠AEB=90∘，AB=4，∠BAE=60∘，
∴AE=2，BE=23，
在 Rt△BED 中，∠BED=90∘，∠D=45∘，BE=23，
∴ED=23，
∴AD=AE+ED=2+23．
25. （1） 锐角 △ABC 的最小覆盖圆是它的外接圆．如图所示．
（2） 直角 △ABC 最小覆盖圆的圆心是斜边中点．
（3） ①锐角 △ABC 的最小覆盖圆是它的外接圆，
②直角 △ABC 的最小覆盖圆是它的外接圆（或以最长边为直径的圆），
③钝角 △ABC 的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆．
26. （1） 测量方案的示意图：
需要测量的线段 EG=DF；需要测量的角：∠ADC，∠AFC；
（2） 在 Rt△ACD 中，
∵ tan∠ADC=ACCD，
∴ CD=ACtan∠ADC，
在 Rt△ACF 中，
∵ tan∠AFC=ACCF，
∴ CF=ACtan∠AFC，
由 CF−CD=DF，可得到关于 AC 的方程，解这个方程求出 AC 的值，得到塔高 AB=AC+1.5．
27. （1） 连接 OD，如图 1，
所以 OD=OA，
所以 ∠1=∠2，
因为 BC 为 ⊙O 的切线，
所以 ∠ODB=90∘，
因为 ∠C=90∘，
所以 ∠ODB=∠C，
所以 OD∥AC，
所以 ∠3=∠2，
所以 ∠1=∠3，
所以 AD 是 ∠BAC 的平分线；
（2） 连接 DF，OF，如图 2，
因为 ∠B=30∘，
所以 ∠BAC=60∘，
因为 AD 是 ∠BAC 的平分线，
所以 ∠3=30∘，
因为 OA=OF，∠OAF=60∘，
所以 △OAF 为等边三角形，
所以 ∠DOF=120∘−60∘=60∘，
因为 OD=OF，
所以 ∠ODF=60∘，
所以 ∠FDC=30∘，
所以 CD=3CF=3，
所以 AC=3CD=3，
所以 AF=2，
过 O 作 OG⊥AF 于点 G，
所以 GF=12AF=1，四边形 ODCG 是矩形，
所以 CG=2，OG=CD=3，
所以 OC=OG2+CG2=7．
28. （1） 二次函数的对称轴是直线 x=−−22=1，则 B 的坐标是 1,0，
当 △OAB 是等腰直角三角形时，OA=OB=1，则 A 的坐标是 0,1 或 0,−1．
抛物线 y=x2−2x+n−1 与 y 轴交点 A 的坐标是 0,n−1．
则 n−1=1 或 n−1=−1，
解得 n=2 或 n=0；
（2） ① 当抛物线的顶点在 x 轴上时，Δ=−22−4n−1=0，
解得：n=2；
② 当抛物线的顶点在 x 轴下方时，如图，
由图可知当 x=0 时，y<0；
当 x=3 时，y≥0，
即 n−1<0,9−6+n−1≥0,
解得：−2≤n<1，
综上，−2≤n<1 或 n=2．
29. （1） ∵“带线”L 的顶点在反比例函数 y=6xx<0 的图象上，
且它的“路线”l 的表达式为 y=2x−4．
∴ 直线 y=2x−4 与 y=6x 的交点为“带线”L 的顶点，
令 2x−4=6x，解得 x1=−1，x2=3（舍去）．
∴“带线”L 的顶点坐标为 −1,−6．
设 L 的表达式为 y=ax+12−6．
∵“路线”y=2x−4 与 y 轴的交点坐标为 0,−4，
∴“带线”L 也经过点 0,−4，将 0,−4 代入 L 的表达式，解得 a=2，
∴“带线”L 的表达式为 y=2x+12−6=2x2+4x−4．
（2） ∵ 直线 y=nx+1 与 y 轴的交点坐标为 0,1，
∴ 抛物线 y=mx2−2mx+m−1 与 y 轴的交点坐标也为 0,1，得 m=2，
∴ 抛物线表达式为 y=2x2−4x+1，其顶点坐标为 1,−1，
∴ 直线 y=nx+1 经过点 1,−1，解得 n=−2，
∴“带线”L 的表达式为 y=2x2−4x+1，“路线”l 的表达式为 y=−2x+1．
（3） 设抛物线的顶点为 B，则点 B 坐标为 1,−1，
过点 B 作 BC⊥y 轴于点 C，

又 ∵ 点 A 坐标为 0,1，
∴ AO=1，BC=1，AC=2．
∵“路线”l 是经过点 A，B 的直线，且 ⊙P 与“路线”l 相切于点 A，
连接 PA 并延长交 x 轴于点 D，则 PA⊥AB，如图，
显然 Rt△AOD≌Rt△BCA，
∴ OD=AC=2，D 点坐标为 −2,0．
则经过点 D，A，P 的直线表达式为 y=12x+1，
解方程组 y=2x2−4x+1,y=12x+1 得 x1=0,y1=1（即点 A 舍去），x2=94,y2=178.
即点 P 的坐标为 94,178．