2020-2021学年北京市海淀区七下期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市海淀区七下期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 9 的算术平方根是
A. 81B. 3C. ±3D. 3

2. 在平面直角坐标系中，点 M2,3 在
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

3. 下列实数 2，13，0.1010010001⋯（相邻两个 1 之间依次多一个 0），π2，35，4 中，无理数有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

4. 如图，直线 a，b 被 c 所截，则 ∠1 和 ∠2 是
A. 同位角B. 内错角C. 同旁内角D. 邻补角

5. 下列各数中一定有平方根的是
A. m2−1B. −mC. m+1D. m2+1

6. 一把直尺和一个含 30∘，60∘ 角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于 F，A 两点，另一边与三角板的两直角边分别交于 D，E 两点，且 ∠CED=50∘，那么 ∠BAF 的大小为
A. 10∘B. 20∘C. 30∘D. 40∘

7. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，分别作 ∠AOD，∠BOD 的平分线 OE，OF．将直线 CD 绕点 O 旋转，下列数据与 ∠BOD 大小变化无关的是
A. ∠AOD 的度数B. ∠AOC 的度数C. ∠EOF 的度数D. ∠DOF 的度数

8. 如示意图，小宇利用两个面积为 1 dm2 的正方形拼成了一个面积为 2 dm2 的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了 2 dm 的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是
A. 利用两个边长为 2 dm 的正方形感知 8 dm 的大小
B. 利用四个直角边为 3 dm 的等腰直角三角形感知 18 dm 的大小
C. 利用一个边长为 2 dm 正方形以及一个直角边为 2 dm 的等腰直角三角形感知 6 dm 的大小
D. 利用四个直角边分别为 1 dm 和 3 dm 的直角三角形以及一个边长为 2 dm 的正方形感知 10 dm 的大小

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，要在河岸 l 上建一个水泵房 D，修建引水渠到村庄 C 处．施工人员的做法是：过点 C 作 CD⊥l 于点 D，将水泵房建在了 D 处．这样修建引水渠 CD 最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 ．

10. 如图，两直线交于点 O，若 ∠1+∠2=76∘，则 ∠1= 度．

11. 如图，在四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 的延长线上，连接 BD，如果添加一个条件，使 AD∥BC，那么可添加的条件为 （写出一个即可）．

12. 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 2,−1，若线段 AB∥x 轴，且 AB=3，则点 B 的坐标为 ．

13. 用一个实数 a 的值说明命题“a2=a”是假命题，这个 a 的值可以是 ．

14. 为纪念戍边英雄，某班设计了《致敬英雄》主题宣传板报，黑板是一块长为 2a 米，宽为 a 米的长方形 ABCD，版面设计如图所示，将它分割成两块边长均为 a 米的正方形 ABFE 和正方形 EFCD，分别以点 F，B 为圆心，正方形边长为半径画弧，阴影部分用图画展示英雄形象，空白部分用文字宣传英雄事迹，阴影部分的面积为 平方米（用含 a 的代数式表示）．

15. 为迎接校庆，某学校在东西走向的勤学路上修建了一排边长为 1 m 的小正方形花坛，如图 1 所示，小欢和小乐来到花坛边欣赏风景，小欢以自己所在的 A 点为原点，以向东的方向为正方向，以花坛对角线的长度 2 m 为单位长度建立数轴，如图 2 所示，若小乐在小欢的东 15 m 处，那么在图 2 的数轴上，小乐所在的点位于两个相邻整数之间，这两个整数分别是 ．

16. 在平面直角坐标系中，我们定义，点 P 沿着水平或竖直方向运动到达点 Q 的最短路径的长度为 P，Q 两点之间的“横纵距离”．如图所示，点 A 的坐标为 2,3，则 A，O 两点之间的“横纵距离”为 5．
（1）若点 B 的坐标为 −3,−1，则 A，B 两点之间的“横纵距离”为 ；
（2）已知点 C 的坐标为 0,2，D，O 两点之间的“横纵距离”为 5，D，C 两点之间的“横纵距离”为 3，请写出两个满足条件的点 D 的坐标： ， ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：16−327+132+3−13．

18. 计算：33−1+2−3．

19. 求出下列等式中 x 的值：
（1）7x2=63．
（2）x32+5=1．

20. 已知：如图，直线 AB，CD 相交于点 O，∠AOC=40∘，OE 平分 ∠BOC，求 ∠DOE 的度数．

21. 完成下面的证明：已知：如图，∠AEC=∠A+∠C．求证：AB∥CD．
证明：过点 E 作 EF∥AB．
∴∠A= （ ）．
∵∠AEC=∠1+∠2，∠AEC=∠A+∠C，
∴∠C=∠2．
∴ ∥ （ ）．
∴AB∥CD（ ）．

22. 如图，在平面直角坐标系中，三角形 ABC 的三个顶点分别是 A−1,6，B−4,3，C1,4．将三角形 ABC 先向右平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位，得到三角形 AʹBʹCʹ．
（1）请在图中画出平移后的三角形 AʹBʹCʹ；
（2）三角形 AʹBʹCʹ 的面积是 ．

23. 已知：实数 a，b 满足 a+3+b−42=0．
（1）可得 a= ，b= ．
（2）当一个正实数 x 的两个平方根分别为 m+a 和 b−2m 时，求 x 的值．

24. 已知：如图，AB∥CD，AD 和 BC 交于点 O，E 为 OC 上一点，F 为 CD 上一点，且 ∠CEF+∠BOD=180∘．求证：∠EFC=∠A．

25. 2020 年 5 月 1 日新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，意味着北京市垃圾分类正式进入法治化、常态化、系统化轨道．条例明确规定，将垃圾分为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物 4 类．为了帮助同学们养成垃圾分类的好习惯，七年级一班计划以此为主题召开一次班会，需要一部分同学手绘可回收物的标识小卡片（如图）．发给大家的纸张和样图中的纸张一样，都是边长为 3 cm 的正方形．为了让大家画的标志在纸张中的位置大小尽可能的一致．标志中标注了 A，B，C 三个关键点，请你通过测量告诉大家 A，B，C 三点在纸张中的位置．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A00,a0，A11,a1，A22,a2，⋯，Ann,an，Bn,0，其中 a0，a1，a2，⋯，an，n 为正整数．顺次连接 A0，A1，A2，⋯，An，B 的折线与 x 轴，y 轴围成的封闭图形记为图形 M．小明在求图形 M 的面积时，过点 A11,a1，A22,a2，⋯，An−1n−1,an−1 作 x 轴的垂线，将图形 M 分成 n 个四边形，计算这些四边形面积的和，可以求出图形 M 的面积．
请你参考小明的思路，解决下面的问题．
（1）当 n=2 时，
①若 a0=1，a1=3，a2=2，如图 1，则图形 M 的面积为 ；
②用含有 a0，a1，a2 的式子表示图形 M 的面积为 ．
（2）当 n=4 时，从 1，2，3，⋯，10 这 10 个正整数中任选 5 个不同的数作为 a0，a1，a2，a3，a4．
①小明选择了 a0=4，a1=5，a2=7，a3=6，a4=3，请在图 2 中画出此时的图形 M；
②在①的条件下，若小聪用剩下的 5 个数 1，2，8，9，10 作为 a0，a1，a2，a3，a4 的取值，使新得到的图形 M 的面积与小明的图形 M 的面积相等，请直接写出这五个数的排序 （写出一组即可）．

27. 已知：直线 l1∥l2，A 为直线 l1 上的一个定点，过点 A 的直线交 l2 于点 B，点 C 在线段 BA 的延长线上．D，E 为直线 l2 上的两个动点，点 D 在点 E 的左侧，连接 AD，AE，满足 ∠AED=∠DAE．点 M 在 l2 上，且在点 B 的左侧．
（1）如图 1，若 ∠BAD=25∘，∠AED=50∘，直接写出 ∠ABM 的度数 ；
（2）射线 AF 为 ∠CAD 的角平分线．
①如图 2，当点 D 在点 B 右侧时，用等式表示 ∠EAF 与 ∠ABD 之间的数量关系，并证明；
②当点 D 与点 B 不重合，且 ∠ABM+∠EAF=150∘ 时，直接写出 ∠EAF 的度数 ．

28. 在平面直角坐标系中，Ma,b，Nc,d，对于任意的实数 k≠0，我们称 Pka+kc,kb+kd 为点 M 和点 N 的 k 系和点，例如，已知 M2,3，N1,−2，点 M 和点 N 的 2 系和点为 K6,2．横、纵坐标都为整数的点叫做整点，已知 A1,2，B2,0．
（1）点 A 和点 B 的 12 系和点的坐标为 （直接写出答案）；
（2）已知点 Cm,2，若点 B 和点 C 的 k 系和点为点 D，点 D 在第一、三象限的角平分线上．
①求 m 的值；
②若点 D 为整点，且三角形 BCD 的内部（不包括边界）恰有 3 个整点，直接写出 k 的值 ．
（3）若点 E 与点 A 关于 x 轴对称，点 B 向右平移一个单位得到点 F，点 H 为线段 BF 上的动点，点 P 为点 A 和点 H 的 k 系和点，点 Q 为点 E 和点 H 的 k 系和点，k>0，在点 H 运动过程中，若四边形 AEQP 的内部（不包括边界）都至少有 10 个整点，至多有 15 个整点，则 k 的取值范围为 ．
答案
第一部分
1. B【解析】由算术平方根的定义得：9 的算术平方根是 9=3，
故选：B．
2. A【解析】∵2>0，3>0，
∴2,3 在第一象限．
3. D【解析】13 是分数，属于有理数，
4=2，是整数，属于有理数，
无理数有 2，0.1010010001⋯（相邻两个 1 之间依次多一个 0），π2，35，共 4 个．
4. B【解析】如图所示，
两条直线 a，b 被直线 c 所截形成的角中，∠1 与 ∠2 都在 a，b 直线的之间，并且在直线 c 的两旁，所以 ∠1 与 ∠2 是内错角．
故选B．
5. D
【解析】A．当 m=0 时，m2−1=−1<0，不符合题意；
B．当 m=1 时，−m=−1<0，不符合题意；
C．当 m=−5 时，m+1=−4<0，不符合题意；
D．不论 m 取何值，m2≥0，m2+1>0，符合题意．
6. A【解析】∵DE∥AF，∠CED=50∘，
∴∠CAF=∠CED=50∘，
∵∠BAC=60∘，
∴∠BAF=60∘−50∘=10∘．
故选：A．
7. C【解析】因为 OE，OF 平分 ∠AOD，∠BOD，
所以 ∠AOE=∠EOD=12∠AOD，∠DOF=∠FOB=12∠BOD，
因为 ∠AOD+∠BOD=180∘，
所以 ∠EOD+∠DOF=12∠AOD+12∠BOD=12∠AOD+∠BOD=90∘，
所以 ∠EOF=90∘，
所以 ∠AOD=180∘−∠BOD，
所以 ∠AOC=∠BOD，∠DOF=12∠BOD，
都与 ∠BOD 大小变化有关，
只有 ∠EOF 的度数与 ∠BOD 大小变化无关．
8. C【解析】A：2×22=8，82=8，不符合题意；
B：4×3×3÷2=18，182=18，不符合题意；
C：22+2×2÷2=4，62=6，符合题意；
D：4×1×3÷2+22=10，102=10，不符合题意．
故选：C．
第二部分
9. 垂线段最短
【解析】过点 C 作 CD⊥l 于点 D，将水泵房建在了 D 处，这样做既省人力又省物力，其数学原理是：垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
10. 38
【解析】因为两直线交于点 O，
所以 ∠1=∠2，
因为 ∠1+∠2=76∘，
所以 ∠1=38∘．
11. ∠ADB=∠CBD
【解析】根据内错角相等两直线平行，可添加 ∠ADB=∠CBD，
故答案为：∠ADB=∠CBD．
12. 5,−1 或 −1,−1
【解析】∵AB∥x 轴，
∴ 点 B 纵坐标与点 A 纵坐标相同，为 −1，
∵AB=3，
∴ 当点 B 在点 A 的右边时，点 B 的横坐标为 2+3=5；
当点 B 在点 A 的左边时，点 B 的横坐标为 2−3=−1；
∴B 点坐标为 5,−1，−1,−1．
13. −1（答案不唯一，a<0 即可．）
【解析】a=−1 时，满足 a 是实数，但不满足 a2=a，
所以 a=−1 可作为说明命题“如果 a 是任意实数，那么“a2=a”是假命题的一个反例．
14. a2
【解析】因为正方形 ABFE 和正方形 EFCD 都是边长均为 a 米的正方形，
所以 S扇形CEF=S扇形FAB，
所以 S阴影=S正方形FBAE=a2．
15. 10 和 11
【解析】因为小乐在小欢的东边 15 m 处，而坐标轴上单位长度代表 2 m，
15 则小乐距离小欢有 152 个单位长度，
又 152=1522=2252，且 10<2252<11，
所以这两个整数分别是 10 和 11，
故答案为：10 和 11．
16. 9，1,4，−2,3
【解析】（1）点 A 的坐标为 2,3，点 B 的坐标为 −3,−1，
∴A，B 两点之间的“横纵距离”为：xA−xB+yA−yB=2+3+3+1=9．
（2）如图：
由题意得：
①点 Dʹ1,4，O 两点之间的“横纵距离”为：4+1=5，
点 Dʹ1,4，点 C0,2 两点之间的“横纵距离”为：xDʹ−xC+yDʹ−yC=3；
②点 Dʺ−2,3，O 两点之间的“横纵距离”为 5，
点 Dʺ−2,3，点 C0,2 两点之间的“横纵距离”为：xDʺ−xC+yDʺ−yC=3．
第三部分
17. 原式=4−3+13−1=13．
18. 原式=3−3−2−3=3−3+3−2=3−2.
19. （1）
7x2=63,x2=9,x=±3.
（2）
x32+5=1,x32=−4,x3=−8,x=−2.
20. ∵∠AOC=40∘，
∴∠BOC=180∘−∠AOC=140∘．
∵OE 平分 ∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC=70∘．
∴∠DOE=180∘−∠COE=110∘．
21. ∠1；两直线平行，内错角相等；EF；CD；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
22. （1） 如图，
∴ 三角形 AʹBʹCʹ 为所求．
（2） 6
【解析】三角形 AʹBʹCʹ 的面积是：3×5−12×3×3−12×2×2−12×1×5=6．
23. （1） −3；4
（2） 依题意，得 m+a+b−2m=0，
即 m−3+4−2m=0．
所以 m=1，
所以 x=m+a2=1−32=4．
24. 因为 AB∥CD，
所以 ∠A=∠D．
因为 ∠CEF+∠BOD=180∘，∠BOD+∠DOC=180∘，
所以 ∠CEF=∠DOC．
所以 EF∥AD．
所以 ∠EFC=∠D．
所以 ∠EFC=∠A．
25. 如图，建立平面直角坐标系，则 A1.5,2.2，B0.8,1，C2.2,1．（答案不唯一）
26. （1） ① 92；② 12a0+a1+12a2．
【解析】①如图 1 所示，
过点 A1，作 A1E⊥OB 于 E，
图形M的面积=四边形OA0A1E的面积+四边形EBA2A1=12×1+3×1+12×3+2×1=92.
②同样可得图形 M 的面积 =12a0+a1+12a2．
（2） ①如图 2 所示：
② 8，1，2，10，9（答案不唯一）
【解析】②如图 3 所示，
小明的图形 M 的面积 =12×4+5+5+7+7+6+6+3×1=21.5，
新图形 M 的面积 =12×8+1+1+2+2+10+10+9=21.5．
∴ 新得到的图形 M 的面积与小明的图形 M 的面积相等．
27. （1） 125∘
【解析】设在 l1 上有一点 N 在点 A 的右侧，如图所示：
∵l1∥l2，
∴∠DEA=∠EAN，∠MBA=∠BAN，
∴∠AED=∠DAE=∠EAN=50∘，
∴∠BAN=∠BAD+∠DAE+∠EAN=25∘+50∘+50∘=125∘，
∠BAM=125∘．
（2） ① ∠ABD=2∠EAF．
证明：设 ∠EAF=α，∠AED=∠DAE=β．
∴∠FAD=∠EAF+∠DAE=α+β．
∵AF 为 ∠CAD 的角平分线，
∴∠CAD=2∠FAD=2α+2β．
∵l1∥l2，
∴∠EAN=∠AED=β．
∴∠CAN=∠CAD−∠DAE−∠EAN=2α+2β−β−β=2α．
∴∠ABD=∠CAN=2α=2∠EAF．
② 30∘ 或 110∘
【解析】②当点 D 在点 B 右侧时，如图：
由①得：∠ABD=2∠EAF，
又 ∵∠ABD+∠ABM=180∘，
∴∠ABM+2∠EAF=180∘，
∵∠ABM+∠EAF=150∘，
∴∠EAF=180∘−150∘=30∘，
当点 D 在点 B 左侧，E 在 B 右侧时，如图：
∵AF 为 ∠CAD 的角平分线，
∴∠DAF=12∠CAD，
∵l1∥l2，
∴∠AED=∠NAE，∠CAN=∠ABE，
∵∠DAE=∠AED=∠NAE，
∴∠DAE=12∠DAE+∠NAE=12∠DAN，
∴∠EAF=∠DAF+∠DAE=12∠CAD+∠DAN=12360∘−∠CAN=180∘−12∠ABE,
∵∠ABE+∠ABM=180∘
∴∠EAF=180∘−12180∘−∠ABM=90∘+12∠ABM，
又 ∵∠EAF+∠ABM=150∘，
∴∠EAF=90∘+12×150∘−∠EAF=165∘−12∠EAF，
∴∠EAF=110∘；
当点 D 和 F 在点 B 左侧时，设在 l2 上有一点 G 在点 B 的右侧如图：
此时仍有 ∠DAE=12∠DAN，∠DAF=12∠CAD，
∴∠EAF=∠DAE+∠DAF=12360∘−∠CAN=180∘−12∠ABG=180∘−12180∘−∠ABM=90∘+12∠ABM,
∴∠EAF=110∘．
综合所述：∠EAF=30∘ 或 110∘．
28. （1） 32,1
【解析】由题意：121+2=32，122+0=1，
所以点 A 和点 B 的 12 系和点的坐标为 32,1．
（2） ①因为点 Dx,y 为 B2,0 和 Cm,2 的 k 系和点，
所以 x=2k+mk，y=2k．
即 D2k+mk,2k，
因为点 D 在第一、三象限角平分线上，
所以 2k+mk=2k，
所以 mk=0，
因为 k≠0，
所以 m=0．
② k=32或−12．
【解析】②如图 1 中，由题意，当 D3,3 或 Dʹ−1,−1 时，满足条件．
因为 C0,2，B2,0，
所以 k0+2=3 或 k0+2=−1，
所以 k=32或−12．
（3） 1【解析】如图 2 中，由题意 A1,2，E1,−2．
2≤m≤3，
所以 Pk+km,2k，Qk+km,−2k．
因为 k>0，在点 H 运动过程中，若四边形 AEQP 的内部（不包括边界）都至少有 10 个整点，至多有 15 个整点，
观察图象可知：2k>1,4k≤5,2k<4,
解得 1