2021年北京通州区中国人民大学附属中学（通州校区）八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京通州区中国人民大学附属中学（通州校区）八年级上期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 3 的算术平方根是
A. ±3B. 3C. −3D. 9

2. 如果分式 xx+1 的值为零，那么 x 的值为
A. 0B. 1C. −1D. ±1

3. 下列事件中，属于必然事件的是
A. 任意投掷一枚硬币，落地后正面朝上
B. 2018 年春节当天北京将下雪
C. 弟弟的年龄比哥哥的年龄小
D. 明天早晨，大家能看到太阳从西方冉冉升起

4. 下列运算结果正确的是（）
A. −92=−9B. −22=2
C. 6÷2=3D. 25=±5

5. 下列图形都是由两个全等三角形组合而成，其中是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

6. 下列代数式能作为二次根式被开方数的是
A. 3−πB. aC. a2+1D. 2x+4

7. 如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 2 和 10，则 b 的面积为
A. 8B. 10+2C. 23D. 12

8. 三角形的三边长分别为 3，8，2a，则 a 的取值范围为
A. 1.5
二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

10. 三角形的三个内角的度数比是 1:1:2．则最大内角的度数是 ．

11. −4 没有平方根的理由是 ．

12. 比 7 大且比 10 小的整数是 ．

13. 化简二次根式：b2−4ac4a2= ．

14. 下面是课本中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：∠AOB．
求作：一个角，使它等于 ∠AOB．
作法：如图
（1）作射线 OʹAʹ；
（2）以 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OA 于 C，交 OB 于 D；
（3）以 Oʹ 为圆心，OC 为半径作 CʹEʹ，交 OʹAʹ 于 Cʹ；
（4）以 Cʹ 为圆心，CD 为半径作弧，交 CʹEʹ 于 Dʹ；
（5）过点 Dʹ 作射线 OʹBʹ．
则 ∠AʹOʹBʹ 就是所求作的角．
请回答：该作图的依据是 ．

15. 如图，把 △ABC 的中线 CD 延长到 E，使 DE=CD，连接 AE，若 AC=4 且 △BCD 的周长比 △ACD 的周长大 1，则 AE= ．

16. 如图，OA=OB，∠A=∠B，那么判定 △AOC≌△BOD 的理由是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：12−38+−3−3−20．

18. 计算：8+3×6−612．

19. 计算：yx+y−xyx2−y2．

20. 已知：如图，AD 是 △ABC 的角平分线，AB=AC=13 cm，AD=12 cm．求 BC 的长．

21. 解方程：1x+1+3xx−1=3．

22. 先化简：a−2a−1a÷1−a2a2+a，然后从 0，1，2 中选一个你认为合适的 a 值，代入求值．

23. 列方程解应用题：
为宣传社会主义核心价值观，某社区居委会计划制作 1200 个大小相同的宣传栏．现有甲、乙两个广告公司都具备制作能力，居委会派出相关人员分别到这两个广告公司了解情况，获得如下信息：
信息一：甲公司单独制作完成这批宣传栏比乙公司单独制作完成这批宣传栏多用 10 天；
信息二：乙公司每天制作的数量是甲公司每天制作数量的 1.2 倍．
根据以上信息，求甲、乙两个广告公司每天分别能制作多少个宣传栏?

24. 在学习了“求简单随机事件发生的可能性大小”知识后，小敏，小聪，小丽三人分别编写了一道有关随机事件的试题并进行了解答．小敏，小聪，小丽编写的试题分别是下面的（1）（2）（3）．
（1）一个不透明的盒子里装有 4 个红球，2 个白球，除颜色外其它都相同，搅均后，从中随意摸出一个球，摸出红球的可能性是多少?
解：P摸出一个红球=46=23．
（2）口袋里装有如图所示的 1 角硬币 2 枚、 5 角硬币 2 枚、 1 元硬币 1 枚．搅均后，从中随意摸出一枚硬币，摸出 1 角硬币的可能性是多少?
解：P摸出1角的硬币=25．
（3）如图，是一个转盘，盘面上有 5 个全等的扇形区域，每个区域显示有不同的颜色，轻轻转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域的可能性是多少?
解：P指针对准红色区域=15．
根据以上材料回答问题：小敏，小聪，小丽三人中，谁编写的试题及解答是正确的，并简要说明其他两人所编试题或解答的不足之处．

25. 现场学习：在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学一起探讨：在 an=b 中，a，b，n 三者关系．
（1）同学甲：已知 a，n，可以求 b，是我们学过的乘方运算，其中 b 叫做 a 的 n 次方．如：−23=−8，其中 −8 是 −2 的 3 次方．
同学乙：已知 b，n，可以求 a，是我们学过的开方运算，其中 a 叫做 b 的 n 次方根．如：±22=4，其中 ±2 是 4 的二次方根（或平方根）；−33=−27，其中 −3 是 −27 的三次方根（或立方根）．
老师：两位同学说的很好，那么请大家计算：
81 的四次方根等于 ；−32 的五次方根等于 ．
（2）同学丙：老师，如果已知 a 和 b，那么如何求 n 呢?又是一种什么运算呢?
老师：这个问题问的好，已知 a，b，可以求 n，它是一种新的运算，称为对数运算．
这种运算的定义是：若 an=ba>0,a≠1，n 叫做以 a 为底 b 的对数，记作：n=lgab．例如：23=8，3 叫做以 2 为底 8 的对数，记作 3=lg28．根据题意，请大家计算：
lg327= ；12−2+664−lg4116= ．
（3）随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果 a>0，a≠1，M>0，N>0，那么 lgaMN=lgaM+lgaN．
请你利用上述性质计算：lg53+lg513．

26. 近年来，为减少空气污染，北京市一些农村地区实施了煤改气工程，某燃气公司要从燃气站点 A 向 B，C 两村铺设天然气管道，经测量得知燃气站点 A 到 B 村距离约 3 千米，到 C 村距离约 4 千米，B，C 两村间距离约 5 千米．下面是施工部门设计的三种铺设管道方案示意图．
请你通过计算说明在不考虑其它因素的情况下，下面哪个方案所用管道最短．

27. 如图，已知 △ABC 中，∠ABC=45∘，点 D 是 BC 边上一动点（与点 B，C 不重合），点 E 与点 D 关于直线 AC 对称，连接 AE，过点 B 作 BF⊥ED 的延长线于点 F．
（1）依题意补全图形；
（2）当 AE=BD 时，用等式表示线段 DE 与 BF 之间的数量关系，并证明．

28. 如图，在四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，∠BCE=∠ACD=90∘，∠BAC=∠D，BC=EC．求证：△ABC≌△DEC．
答案
第一部分
1. B【解析】3 的算术平方根是 3．
2. A【解析】∵ 分式 xx+1 的值为零，
∴x=0．
3. C【解析】A、任意投掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故此选项错误；
B、 2018 年春节当天北京将下雪，是随机事件，故此选项错误；
D、弟弟的年龄比哥哥的年龄小，是必然事件，故此选项正确；
C、明天早晨，大家能看到太阳从西方冉冉升起，是不可能事件，故此选项错误．
4. B【解析】A．−92=9，故此选项错误；
B．−22=2，故此选项正确；
C．6÷2=3，故此选项错误；
D．25=5，故此选项错误．
5. B
【解析】A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
6. C【解析】A、 3−π<0，则 3−π 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；
B、 a 的符号不能确定，则 a 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；
C、 a2+1 一定大于 0，能作为二次根式被开方数，故此选项正确；
D、 2x+4 的符号不能确定，则 2x+4 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误．
7. D【解析】如图，
∵a，b，c 都为正方形，
∴BC=BF，∠CBF=90∘，AC2=2，DF2=10，
∵∠1+∠2=90∘，∠2+∠3=90∘，
∴∠1=∠3，
在 △ABC 和 △DFB 中，
∠BAC=∠FDB,∠1=∠3,BC=FB.
∴△ABC≌△DFB，
∴AB=DF，
在 △ABC 中，BC2=AC2+AB2=AC2+DF2=2+10=12，
∴b 的面积为 12．
8. B
第二部分
9. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
10. 90∘
【解析】最大内角的度数为：180∘×21+1+2=90∘．
11. 任何一个实数的平方都是一个非负数（或任何一个实数的平方都不等于 −4）
12. 3
【解析】比 7 大且比 10 小的整数是：9=3．
13. ±b2−4ac2a
【解析】原式=b2−4ac4a2=b2−4ac∣2a∣．
当 a>0 时，原式=b2−4ac2a，
当 a<0 时，原式=−b2−4ac2a．
14. SSS 或全等三角形的对应角相等
【解析】由题可得，DO=DʹOʹ，CO=CʹOʹ，CD=CʹDʹ，
在 △COD 和 △CʹOʹDʹ 中，
CO=CʹOʹ,DO=DʹOʹ,CD=CʹDʹ,
所以 △DʹOʹCʹ≌△DOCSSS，
所以 ∠AʹOʹBʹ=∠AOB（全等三角形的对应角相等）．
15. 5
16. ASA
第三部分
17. 12−38+−3−3−20=23−2+3−1=33−3.
18. 原式=8×6+3×6−32=43+32−32=43.
19. 原式=yx−yx+yx−y−xyx+yx−y=yx−y2−xyx+yx−y=−y2x2−y2.
20. ∵AB=AC，AD 是 △ABC 的角平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD．
∵ 在直角 △ABD 中，∠ADB=90∘，AB=13 cm，AD=12 cm，
∴BD=AB2−AD2=5 cm，
∴BC=10 cm．
21. 两边乘 x+1x−1 得到：
x−1+3xx+1=3x+1x−1,x−1+3x2+3x=3x2−3,4x=−2,
所以
x=−12.
经检验 x=−12 是原方程的解．
所以原方程的解是
x=−12.
22. 原式=a2−2a+1a÷1−a2a2+a=a−12a⋅aa+11−aa+1=1−a.
当 a=2 时，原式=1−a=1−2=−1．
23. 设甲广告公司每天能制作 x 个宣传栏，则乙广告公司每天能制作 1.2x 个宣传栏．
根据题意得：
1200x−12001.2x=10.
解得：
x=20.
经检验：x=20 是原方程的解且符合实际问题的意义．
∴1.2x=1.2×20=24．
答：甲广告公司每天能制作 20 个宣传栏，乙广告公司每天能制作 24 个宣传栏．
24. 第一个小敏的试题及答案是正确的．
小聪的试题中，因为 1 角、 5 角、 1 元的硬币大小不同，不符合每个结果发生的可能性都相同的条件，因此不能用上述求随机事件可能性的方法解答．
小丽的试题中，因为轻轻转动转盘时，指针指向每个区域机会不等，不具有随机性，也不符合每个结果发生的可能性都相同的条件，因此也不能用上述解答方法解答．
25. （1） ±3；−2
（2） 3；8
【解析】lg327=3；
12−2+664−lg4116=4+2−−2=8.
（3） lg53+lg513=lg53×13=lg51=0.
26. 方案 1：AB+AC=3+4=7（千米）；
方案 2：连接 AB，AC，如图所示．
∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴∠BAC=90∘，
∵AD⊥BC 于 D，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AD，
∴3×4=5AD，
∴AD=125，
∴AD+BC=125+5=7.4（千米）；
方案 3：∵AE>AD，
∴AE+BC>7.4 千米，
综上，在不考虑其它因素的情况下，方案 1 所用管道最短．
27. （1） 依题意补全图形如图 1 所示：
（2） 结论：DE=2BF．
理由：连接 AD，设 DE 交 AC 于 H，如图 2．
∵ 点 E，D 关于 AC 对称，
∴AC 垂直平分 DE．
∴AE=AD．
∵AE=BD，
∴AD=DB．
∴∠DAB=∠ABC=45∘．
∴∠ADC=90∘．
∴∠ADE+∠BDF=90∘．
∵BF⊥ED，AC⊥ED，
∴∠F=∠AHD=90∘．
∴∠DBF+∠BDF=90∘．
∴∠DBF=∠ADH．
在 △ADH 和 △DBF 中，
∠AHD=∠F=90∘,∠ADH=∠DBF,AD=DB,
∴△ADH≌△DBF，
∴DH=BF，
又 ∵DH=EH，
∴DE=2BF．
28. ∵∠BCE=∠ACD=90∘，
∴∠BCE−∠ACE=∠ACD−∠ACE，即 ∠ACB=∠DCE．
在 △ABC 和 △DEC 中，
∠ACB=∠DCE,∠BAC=∠D,BC=EC,
∴△ABC≌△DECAAS．