中考数学 专项训练 考点60 四边形中作辅助线造全等

专题60 四边形中作辅助线造全等
1、已知：矩形ABCD中，点E、F为对角线AC上两点，AF＝CE．

（1）如图1，求证：BE∥DF；
（2）如图2，当AB＝BE＝AD时，连接DE、BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAF＝∠BCE，
在△AFD和△CEB中，，∴△AFD≌△CEB（SAS），∴∠AFD＝∠CEB，∴BE∥DF；
（2）△ABF，△CDE，△ADF，△BCE；理由如下：
由（1）得：△AFD≌△CEB，
同理：△ABF≌△CDE（SAS），
∴△AFD的面积＝△CEB的面积，△ABF的面积＝△CDE的面积，

作BG⊥AC于G，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BC＝AD，
∵AB＝BE＝AD，
∴AB＝BE＝BC，
∴BC＝2AB，AC＝＝AB，AG＝EG，
∵△ABC的面积＝AC×BG＝AB×BC，
∴BG＝＝＝AB，
∴AG＝＝＝AB，
∴AE＝2AG＝AB，
∵AF＝CE，∴△ABF的面积＝△BCE的面积，CF＝AE＝AB，
∴AF＝AC﹣CF＝AB﹣AB＝AB，
∴△ABF的面积＝AF×BG＝×AB×AB＝AB2，
∵矩形ABCD的面积＝AB×BC＝AB×2AB＝2AB2，
∴△ABF的面积＝矩形ABCD面积的，
∴△ABF的面积＝△CDE的面积＝△ADF的面积＝△BCE的面积＝矩形ABCD面积的．

2、如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．
（1）求证：BP＝CQ；
（2）若BP＝PC，求AN的长；
（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

【解析】（1）证明：∵∠ABC＝90°，∴∠BAP+∠APB＝90°
∵BQ⊥AP，∴∠APB+∠QBC＝90°，∴∠QBC＝∠BAP，
在△ABP于△BCQ中，，∴△ABP≌△BCQ（ASA），∴BP＝CQ，
（2）由翻折可知，AB＝BC'，
连接BN，在Rt△ABN和Rt△C'BN中，AB＝BC'，BN＝BN，

∴Rt△ABN≌△Rt△C'BN（HL），∴AN＝NC'，
∵BP＝PC，AB＝8，∴BP＝2＝CQ，CP＝DQ＝6，
设AN＝NC'＝A，则DN＝8﹣A，
∴在Rt△NDQ中，（8﹣A）2+62＝（A+2）2，解得：A＝4.8，即AN＝4.8．
（3）过Q点作QG⊥BM于G，由（1）知BP＝CQ＝BG＝x，BM＝MQ．

设MQ＝BM＝y，则MG＝y﹣x，
∴在Rt△MQG中，y2＝82+（y﹣x）2，
∴．
∴S△BMC′＝S△BMQ﹣S△BC'Q＝＝＝

3、如图1，已知正方形ABCD，E是线段BC上一点，N是线段BC延长线上一点，以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证DG＝BE；
（2）连接FC，求tAn∠FCN的值；
（3）如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝3，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B，C），以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．当点E由B向C运动时，判断tAn∠FCN的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【解析】（1）如图1，

∵正方形ABCD和正方形AEFG中，
∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AB＝AD，AE＝AG，
∴∠BAE＝∠GAD，
∴△BAE≌△GAD（SAS），
∴DG＝BE；
（2）如图2，过点F作FM⊥BN于M，则∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，
即∠BAE＝∠FEM，
又AE＝EF，
∴△BAE≌△MEF（ASA），
∴FM＝BE，EM＝AB，
又BE+EC＝AB，EM＝EC+CM，
∴CM＝FM，
在Rt△FCM中，tAn∠FCN＝＝1；
（3）如图2，过点F作FM⊥BN于M，则∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，
即∠BAE＝∠FEM，
同理可证∠GAD＝∠FEM，
又AG＝EF，
∴△DAG≌△MEF，△BAE∽△MEF，
∴EM＝AD＝BC＝8，＝，
设BE＝A，则EM＝EC+CM＝BC＝BE+EC，
∴CM＝BE＝A，
∴＝，
∴FM＝，
∴tAn∠FCN＝＝＝，即tAn∠FCN的值为定值．

4、【操作发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．
【实践探究】
（1）在图①条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是　 　．
（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展】
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长．

【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，
由旋转得：△ABE≌△ADM，
∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，即∠EAM＝90°，
∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠MAN＝∠EAN，
在△AMN和△EAN中，，∴△AMN≌△EAN（SAS），∴MN＝EN．
∵EN＝BE+BN＝DM+BN，∴MN＝BN+DM．
在Rt△CMN中，MN＝＝＝5，则BN+DM＝5，
设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣3，DM＝CD﹣CM＝x﹣4，
∴x﹣3+x﹣4＝5，解得：x＝6，
即正方形ABCD的边长是6；
（2）EF2＝BE2+DF2，
理由如下：如图②，将△AFD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABH，连结EH，

∴∠ADF＝∠ABH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，AH＝AF，
∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°＝∠BAH+∠BAE，∴∠HAE＝45°＝∠EAF，
又∵AH＝AF，AE＝AE，∴△EAH≌△EAF（SAS），∴HE＝EF，
∵BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BMDN是平行四边形，∴DN∥BM，∴∠AND＝∠ABM，
∵∠ADN+∠AND＝90°，∴∠ABH+∠ABM＝90°＝∠HBM，
∴BE2+BH2＝HE2，∴EF2＝BE2+DF2；
（3）如图③，延长AB至P，使BP＝BN＝1，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，

则四边形APQD是正方形，∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝4，
设DM＝x，则MQ＝4﹣x，
∵PQ∥BC，∴△ABN∽△APE，∴，∴PE＝BN＝，
∴EQ＝PQ﹣PE＝4﹣＝，
由（1）得：EM＝PE+DM＝+x，
在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（4﹣x）2＝（+x）2，解得：x＝2，
即DM的长是2．
5、已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．
（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；
（2）如图2，如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG∥BD，BG＝BD．
①求∠BDE的度数；
②若正方形ABCD的边长是，请求出△BCG的面积．

（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°．
∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，
∴∠BCG＝∠DCE．
在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS）．∴BG＝DE；

（2）解：①连接BE，如图2所示：
由（1）可知：BG＝DE，
∵CG∥BD，
∴∠DCG＝∠BDC＝45°，
∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°，
∵∠GCE＝90°，
∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠BCG＝∠BCE，
在△BCG和△BCE中，，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE，
∵BG＝BD＝DE，
∴BD＝BE＝DE，
∴△BDE为等边三角形，
∴∠BDE＝60°；

②延长EC交BD于点H，过点G作GN⊥BC于N，如图3所示：
在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△BCG（SSS），∴∠BEC＝∠DEC，
∴EH⊥BD，BH＝BD，
∵BC＝CD＝，
∴BD＝BC＝2，
∴BE＝2，BH＝1，
∴CH＝1，
在Rt△BHE中，由勾股定理得：EH＝＝＝，
∴CE＝﹣1，
∵∠BCG＝135°，
∴∠GCN＝45°，
∴△GCN是等腰直角三角形，
∴GN＝CG＝（﹣1），
∴S△BCG＝BC•GN＝××（﹣1）＝．

6、利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定中有着广泛的运用．
（1）如图①，B，C，D三点共线，AB⊥BD于点B，DE⊥BD于点D，AC⊥CE，且AC＝CE．
若AB+DE＝6，求BD的长．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，直角顶点C的坐标为（1，0），点A的坐标为（﹣2，1）．求直线AB与y轴的交点坐标．
（3）如图③，∠ACB＝90°，OC平分∠AOB，若点B坐标为（B，0），点A坐标为（0，A）．则S四边形AOBC＝　 　．（只需写出结果，用含A，B的式子表示）

【解析】（1）∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，∴∠ABC＝∠CDE＝∠ACE＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，∠ECD+∠ACB＝180°﹣∠ACE＝90°，∴∠A＝∠ECD，
在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴AB＝CD，BC＝DE，
∴BD＝CD+BC＝AB+DE＝6；

（2）过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，如图②所示：
∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ECB+∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，
∵点C的坐标为（1，0），点A的坐标为（﹣2，1），∴CO＝1，AD＝1，DO＝2，
∴OE＝OC+CE＝OC+AD＝2，BE＝CD＝CO+DO＝3，
∴点B的坐标为（2，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+B，
将A、B两点的坐标代入，得，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x+2，
当x＝0时，解得y＝2，∴直线AB与y轴的交点坐标为（0，2）；

（3）过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E，如图③所示：
∵OC平分∠AOB，
∴CD＝CE
∴四边形OECD是正方形
∴∠DCE＝90°，OD＝OE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠DCA＝∠ECB，
在△DCA和△ECB中，，∴△DCA≌△ECB（ASA），∴DA＝EB，S△DCA＝S△ECB，
∵点B坐标为（B，0），点A坐标为（0，A），
∴OB＝B，OA＝A，
∵OD＝OE，∴OA+DA＝OB﹣BE，
即A+DA＝B﹣DA，∴DA＝，
∴OD＝OA+DA＝A+＝，
∴S四边形AOBC＝S四边形AOEC+S△ECB＝S四边形AOEC+S△DCA＝S正方形DOEC＝OD2＝（）2＝，
故答案为：．

7．如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AD＝13，AB＝25，∠DAB＝α，且cosα＝，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，连接CF．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）当点C、B、F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；
（3）求线段CF的长度的最小值．

【解析】（1）如图1，作DK⊥AB于点K，

∵将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，∴∠AEF＝α，AE＝EF，
在Rt△DAK中，∵cos∠DAK＝cosα＝，且AD＝13，
∴AK＝5，
∴DK＝＝＝12，
∴S平行四边形ABCD＝AB×DK＝25×12＝300；
（2）如图2，延长CD至H，作∠AHD＝α，

∵∠AHD＝∠ADH＝α，∴AH＝AD＝13，
过点A作AM⊥DH于点M，
由（1）知AM＝12，
∴DM＝＝5，
∴DH＝10，
∵∠FEH＝∠DEA+∠α＝∠F+α，
∴∠DEA＝∠F，
在△AEH和△EFC中，，∴△AEH≌△EFC（AAS），∴EH＝CF，CE＝AH＝13，
∴DE＝CD﹣CE＝12，BF＝CF﹣BC＝22﹣13＝9，
∵BG∥CE，
∴△FBG∽△FCE，∴，即，
∴BG＝；
（3）如图3，延长CD至P，使∠P＝∠ADP＝α，过点F作FM∥BC，交CD于点M，过点FN⊥CD，交CD于点N，

由（2）可知∠AEP＝∠EFM，
在△EAP和△FEM中．，∴△EAP≌△FEM（AAS），∴EM＝AP＝13，FM＝EP，
设DE＝x，则FM＝EP＝10+x，CM＝25﹣（13+x）＝12﹣x，
∴FN＝FM•sinα＝（10+x），MN＝FM•cosα＝（10+x），
∴CN＝CM+MN＝12﹣x+（10+x）＝，
在Rt△CFN中，CF2＝CN2+NF2＝（208x2﹣416x+56836），
对称轴x＝﹣＝1，
∴当x＝1时，CF的值最小，CF的最小值为．
8、如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上任意一点（点E不与点B、C重合），连结DE，点C关于DE的对称点为C1，连结AC1并延长交DE的延长线于点M，F是AC1的中点，连结DF．
【猜想】如图①，∠FDM的大小为　 　度．
【探究】如图②，过点A作AM1∥DF交MD的延长线于点M1，连结BM．
求证：△ABM≌△ADM1．
【拓展】如图③，连结AC，若正方形ABCD的边长为2，则△ACC1面积的最大值为　 　．

【解析】（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，
在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C'D，
∵F是AC'的中点，∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，
∴∠FDM＝∠FDC'+∠EDC'＝∠ADC＝45°；
（2）∵DF⊥AC1，∴∠DFM＝90°，又∵AM1∥DF，∴∠MAM'＝90°，
在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAM1＝∠BAM，
由（1）可知：∠FDM＝45°
∵∠DFM＝90°，∴∠AMD＝45°，∴∠M1＝45°，∴AM＝AM1，
在：△ABM和△ADM1中，∵，∴△ABM≌△ADM1（SAS）；

（3）如图，过C1作C1G⊥AC于G，则＝AC•C1G，
在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，∴AC＝＝2，即AC为定值，
当C1G最大值，△AC1C的面积最大，
连接BD交AC于O，当C1在BD上时，C1G最大，此时G与O重合，
∵CD＝C1D＝2，OD＝AC＝，又∴C'G＝C1D﹣OD＝2﹣，
∴＝AC•C1G＝×2（2﹣）＝2﹣，

9、如图，已知▱ABCD，E是CA延长线上一点，且∠EAB＝90°，AB＝AE，点F是BC下方一点，且FE＝FD，∠EFD＝90°，
（1）求证：∠FEA＝∠FDC；
（2）若AF＝3，求AC的长．

（1）证明：设AC与DF交于点O，如图1所示：
∵∠EAB＝90°，∴∠BAC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，∴∠FDC+∠COD＝90°，
∵∠EFD＝90°，∴∠FEA+∠FOE＝90°，
又∵∠FOE＝∠COD，∴∠FEA＝∠FDC；
（2）连接CF，如图2所示：∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD，
在△AEF和△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（SAS），∴AF＝CF，∠AFE＝∠CFD，
∴∠AFC＝∠EFD＝90°，∴△ACF是等腰直角三角形，
∴AC＝AF＝3．
10、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（5，0）在x轴的正半轴上，四边形OABC为平行四边形，对角线OB＝OA，BC交y轴于点D，且S▱OABC＝20．
（1）如图①，求点B的坐标：
（2）如图②，点P在线段OD上，设点P的纵坐标为t，△PAB的面积为S，请用含t的式子表示S；
（3）在（2）的条件下，如图③，点Q在x轴上，点R为坐标平面内一点，若∠OCB﹣∠CBP＝45°，且四边形PQBR为菱形，求t的值并直接写出点Q的坐标．

【解析】（1）∵点A（5，0），OB＝OA，∴OA＝OB＝5，
∵S▱OABC＝OA×OD＝5OD＝20，∴OD＝4，
∵四边形OABC为平行四边形，∴BC∥AO，BC＝AO＝5，∴∠BDO＝90°，
∴DB＝＝＝3，
∴点B（3，4）；
（2）∵点P的纵坐标为t，
∴OP＝t，∴DP＝4﹣t，
∴S＝×（3+5）×4﹣×3×（4﹣t）﹣×5×t＝﹣t+10；
（3）如图，
由（1）知，B（3，4），OA＝5，BC∥OA，
∴C（﹣2，4），∴CD＝2

取OD的中点E，则DE＝OD＝2，
∴DE＝CD，∴∠DCE＝45°，
∴∠OCB﹣∠OCE＝45°，
∵∠OCB﹣∠CBP＝45°，
∴∠OCE＝∠CBP，
过点E作EF⊥OC于F，
∴∠CFE＝90°＝∠BDP，
∴△CFE∽△BDP，∴，
在Rt△CDE中，CD＝DE＝2，∴CE＝2，
在Rt△ODC中，CD＝2，OD＝4，
∴OC＝2，
∵CE是△OCD的中线，
∴S△OCE＝S△CDO＝××2×4＝2
∵S△OCE＝OC•EF＝×EF＝2，
∴EF＝，
在Rt△CFE中，根据勾股定理得，CF＝，∴，∴DP＝1，
∴OP＝OD﹣DP＝3，
∴t＝3，
∴P（0，3），
设Q（M，0），
∵B（3，4），
∴PQ2＝M2+9，BQ2＝（M﹣3）2+16，
∵四边形PQBR为菱形，
∴PQ＝BQ，
∴M2+9＝（M﹣3）2+16，∴M＝，
即Q（，0）．
11、知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝4，BC＝6．

（1）如图1，P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H．求证：△ADP≌△HCQ；
（2）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE．请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA（n为常数），以PE，PB为边作平行四边形PBQE．请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCH，∴∠ADP+∠PDC＝∠DCQ+∠QCH，
∵四边形PCQD是平行四边形，∴PD∥CQ，PD＝CQ，
∴∠PDC＝∠DCQ，∴∠ADP＝∠QCH，
在△ADP和△HCQ中，，∴△ADP≌△HCQ（AAS）；
（2）存在最小值，最小值为10，

如图1，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，设PQ与DC相交于点G，
∵PE∥CQ，∴△DPG∽△CQG，∴ ＝ ＝ ，
由（1）可知，∠ADP＝∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△QCH，∴ ＝ ＝ ，
∴CH＝2AD＝4，∴BH＝BC+CH＝6+4＝10，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为10；
（3）存在最小值，最小值为（ n+4 ），

如图2，作QH∥DC，交CB的延长线于H，作CK⊥CD，交QH的延长线于K，
∵PE∥BQ，AE＝nPA，
∴＝＝，
∵AD∥BC，∴∠ADP+∠DCH＝90°，
∵CD∥QK，∴∠QHC+∠DCH＝180°，
∴∠QHC＝∠ADQ，
∵∠PAD+∠PAG＝∠QBH+∠QBG＝90°，∠PAG＝∠QBG，
∴∠PAD＝∠QBH，
∴△ADP∽△BHQ，∴＝＝，∴BH＝2n+2，
∴CH＝BC+BH＝6+2n+2＝2n+8，
过点D作DM⊥BC于M，
又∠DAB＝∠ABM＝90°，
∴四边形ABMD是矩形，
∴BM＝AD＝2，DM＝AB＝4，
∴MC＝BC﹣BM＝6﹣2＝4＝DM，
∴∠DCM＝45°，
∴∠HCK＝45°，
∴CK＝CH•cos45°＝ （ 2n+8 ）＝（ n+4 ），
∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为（ n+4 ）．