知识讲解_直线、平面平行的性质_基础练习题

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直线、平面平行的性质【学习目标】1.掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；2.掌握两个平面平行的性质定理及其应用；3．能综合运用直线与平面、平面与平面平行的判定与性质定理解决相关问题．【要点梳理】【高清课堂：线面平行的判定与性质 399459知识讲解2】要点一、直线和平面平行的性质文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行.符号语言：若，，，则.图形语言：要点诠释：直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即；（3）直线a在平面内，即．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误．【高清课堂：空间面面平行的判定与性质399113知识讲解】要点二、平面和平面平行的性质文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号语言：若，，，则.图形语言：
 要点诠释：（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．要点三、平行关系的综合转化空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行．这三种关系不是孤立的，而是互相联系的．它们之间的转化关系如下：证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理．有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：空间之中两直线，平行相交和异面．线线平行同方向，等角定理进空间．判断线和面平行，面中找条平行线；已知线和面平行，过线作面找交线．要证面和面平行，面中找出两交线．线面平行若成立，面面平行不用看．已知面与面平行，线面平行是必然．若与三面都相交，则得两条平行线． 【经典例题】类型一：直线与平面平行的性质例1．四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．【解析】如图，连接AC交BD于O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM．根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．∵平面PAHG∩平面BDM=GH，根据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH．【总结升华】利用线面平行的性质定理解题的步骤：（1）确定（或寻找）一条直线平行于一个平面；（2）确定（或寻找）过这条直线且与这个平面相交的平面；（3）确定交线；（4）由定理得出结论．举一反三：【变式1】（2016 江苏无锡模拟）如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M是AE的中点．若MN∥平面ABC，求证：N是PA的中点．【答案】详见证明【证明】∵MN∥平面ABC，PE∥CB，∴MN∥PE，∵M是AE的中点，∴N是PA的中点． 例2．如图所示，已知异面直线AB、CD都平行于平面，且AB、CD在的两侧，若AC、BD与分别交于M、N两点，求证：．【解析】如图所示，连接AD交平面于Q，连接MQ、NQ．MQ、NQ分别是平面ACD、平面ABD与的交线．∵CD∥，AB∥，∴CD∥MQ，AB∥NQ．于是，，∴．【总结升华】利用线面平行的性质定理，可以把有的立体问题转化为平面内的平行问题，利用平行线截割定理，可以解决有关线段成比例或三角形的面积比等问题．在应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，本例通过连接AD作出平面ACD与平面ABD，得到交线MQ和NQ．举一反三：【高清课堂：线面平行的判定与性质 399459例3】【变式1】已知直线∥平面，直线∥平面，平面平面=，求证．证明：经过作两个平面和，与平面和分别相交于直线和，∵∥平面，，∥平面，∴∥，∥，∴∥，又∵平面，平面，∴∥平面，又平面，平面∩平面=，∴∥，又∵∥，∴∥． 【变式2】如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA=4，BC=6，与PA、BC都平行的截面四边形EFGH的周长为，试确定的取值范围．【解析】与PA、BC平行的截面四边形EFGH应有二边平行于PA，另二边平行于BC，故它是一个平行四边形，，，同理，，，四边形EFGH的周长=2（EF+FG）=+==8+4因为0<PF/PB<1,截面四边形EFGH的周长l应大于小于12，8<l<12.类型二：平面与平面平行的性质例3．已知：平面∥平面∥平面，两条直线，m分别与平面，，相交于点A，B，C和点D，E，F（如图）．求证：．【解析】连接DC，设DC与平面相交于点G，连接BG、EG，则平面ACD与平面、分别相交于直线AD、BD，平面DCF与平面、分别相交于直线GE、CF．因为，，所以BG∥AD，GE∥CF．于是，得，．所以．【总结升华】利用面面平行的性质定理判定两线平行的程序是：（1）先找两个平面，使这两个平面分别经过这两线中的一条；（2）判定这两个平面平行；（3）再找一个平面，使这两条直线都在这个平面内；（4）由定理得出结论．举一反三：【变式1】 已知面∥平面，点A，C∈，点B，D∈，直线AB，CD交于点S，且SA=8，SB=9，CD=34．（1）若点S在平面，之间，则SC=________；（2）若点S不在平面，之间，则SC=________．【答案】（1）16    （2）272例4．如图所示，平面∥平面，A，C∈，D∈，点E，F分别在线段AB，CD上，且．求证：EF∥．【解析】（1）当AB，CD共面时，∵∥，且平面ABDC∩=AC，平面ACDB∩=BD，∴AC∥BD，∴四边形ABDC是梯形或平行四边形．由，得EF∥BD，又∵BD，EF，∴EF∥．（2）当AB，CD异面时，作AH∥CD交于H，∵∥，且平面AHDC与平面，的交线分别为AC，HD，∴AC∥HD．∴四边形AHDC为平行四边形．作FG∥DH交AH于G，连接EG，于是．∵，∴．从而EG∥BH，而BH，EG，∴EG∥．又FG∥DH，DH，FG，∴FG∥．∵EG∩FG=G，∴平面EFG∥．又EF平面EFG，∴EF∥．【总结升华】（1）面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质的综合运用．解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题．如在本例的第二种情况：面面平行→线线平行→平行四边形→线面平行→面面平行→线面平行．（2）由面面平行的定义可知，一个面内任意一条直线与另一个平行平面都没有交点，因而有面面平行的一个重要性质：两个平行平面中的一个平面内任意一条直线必平行另一个平面，如本例（2）中由平面EFG∥得出EF∥，便是这一性质的灵活运用．举一反三：【变式1】（2015年 上海普陀区二模）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使得BF1∥平面A1BE，若存在，指明点F的位置，若不存在，请说明理由．【思路点拨】在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，根据中位线定理可知EG∥A1B，从而说明A1，B，G，E共面，则BG面A1BE，根据FG∥C1C∥B1G，且FG=C1C=B1B，从而得到四边形B1BGF为平行四边形，则B1F∥BG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，根据线面平行的判定定理可知B1F∥平面A1BE．【答案】详见证明【证明】在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE，事实上，如图所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E共面，所以BG平面A1BE因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F∥平面A1BE． 类型三：线面平行的判定与性质的综合应用例5．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，M是DD1的中点．    求证：BD1∥平面AMC．【思路点拨】连结BD交AC于N，连结MN．由此利用三角形中位线定理能证明BD1∥平面AMC．【答案】详见解析【证明】在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，连结BD交AC于N，连结MN．因为ABCD为正方形，所以N为BD中点．在△DBD1中，因为M为DD1中点，所以BD1∥MN．因为MN平面AMC，BD1不包含于平面AMC，所以BD1∥平面AMC．  举一反三：【变式1】如图所示，已知点P是ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PBC∩平面APD=．（1）求证：∥BC；（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．【解析】方法一：（1）因为BC∥AD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC∥平面PAD．又因为平面PBC∩平面PAD=，所以BC∥．（2）平行．如下图（1），取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE=AM．所以四边形AMNE是平行四边形．所以MN∥AE．所以MN∥平面PAD．方法二：（1）因为AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD∥平面PBC．又因为平面PBC∩平面PAD=，所以∥AD．因为AD∥BC，所以∥BC．（2）平行．如下图（2），设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，则MQ∥AD，NQ∥PD，而MQ∩NQ=Q，所以平面MNQ∥平面PAD．又因为MN平面MNQ，所以MN∥平面PAD．        赞同