巩固练习_空间中直线与平面的位置关系_基础

【巩固练习】

1．已知a、b是异面直线，直线c∥a，则c与b（    ）．

    A．一定是异面直线      B．一定是相交直线、

    C．不可能是相交直线    D．不可能是平行直线

2．如果两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（    ）．

    A．12对    B．24对    C．36对    D．48对

3．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是(　　)

4．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是（    ）．

    A．梯形    B．矩形    C．平行四边形    D．正方形

5．（2016春 福建厦门月考）以下四个结论：

①若，则a，b为异面直线；

②若，则a，b为异面直线；

③没有公共点的两条直线是平行直线；

④两条不平行的直线就一定相交．

其中正确答案的个数是（    ）

A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

6．若三个平面两两相交，则它们交线的条数是（    ）．

    A．1    B．2    C．3    D．1或3

7.正六面体中，与面的对角线异面的棱有          条．

8．已知a，b，c是直线，给出下列命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；

③若a∥b，b⊥c，则a⊥c；

④若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直．

其中真命题是______________(写出所有正确命题的序号)．

9．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面的位置关系是________．

10．在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，EF，CD都相交的直线有________条．

11．（2016 成都金牛区月考）如图，已知长方体ABCD—A＇B＇C＇D中，，AA＇=2，

（1）哪些棱所在直线与直线BA＇是异面直线？

（2）直线BC与直线A＇C＇所成角是多少度？

12．三个平面，，．如果，，，且直线，．

（1）判断c与的位置关系，并说明理由；

（2）判断c与a的位置关系，并说明理由．

13．如右图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA=1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．

【答案与解析】

1．【答案】D

【解析】  若c∥b，则由c∥a，得a∥b，与已知a、b异面矛盾．故应选D．

2．【答案】B

【解析】 六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两条边相交，与另四条边异面，这样异面直线一共有4×6=24（对），故应选B．

3．【答案】C

【解析】A，B中PQ∥RS，D中直线PQ与RS相交(或RP∥SQ)，即直线PQ与RS共面，均不满足条件；C中的直线PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，即直线PQ与RS是异面直线．故选C．

4．【答案】D

【解析】 根据三角形中位线的性质及正方形的定义判断．

5．【答案】A

【解析】①满足若的直线a，b可能是异面直线，可能是平行直线也可能是相交直线．所以①错误．

②根据直线和平面的位置关系可知，平面内的直线和平面外的直线，可能是异面直线，可能是平行直线，也可能相交，所以②错误．

③在空间中，没有公共点的两条直线是平行直线或者是异面直线，所以③错误．

④在空间中，两条不平行的直线可能是异面直线，所以④错误．

故选A．

6．【答案】D

【解析】 如下图，当三平面的位置关系如下图（1）时，有三条交线；当三平面的位置关系如下图（2）时，有一条交线．

7. 【答案】 6　　　

【解析】画出正方体的图形，即可数出。

8．【答案】①③

【解析】根据平行直线的传递性可知①正确；若a⊥b，b⊥c，则a与c可以平行也可以相交或异面，②不正确；易知③正确；与两条异面直线都垂直的直线有无数条，④不正确．故填①③．

9．【答案】平行或相交 

【解析】结合实例分析验证．

10．【答案】无数

【解析】如图示，

在EF上任取一点M，直线与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．故填无数．

11．【答案】（1）B＇C＇、CC＇、CD＇、C＇D＇、DD＇、AD；（2）45°

【解析】（1）由异面直线的定义知与BA＇异面的直线有：B＇C＇、CC＇、CD＇、C＇D＇、DD＇、AD

（2）∵此几何体为长方体

∴BC∥B＇C＇

∴BC与A＇C＇所成的角等于B＇C＇与A＇C＇所成的角

又∵AB=AD

∴四边形A＇B＇C＇D＇是正方形

∴B＇C＇与A＇C＇所成的角为∠A＇C＇B＇=45°

∴BC与A＇C＇所成的角等于45°

12．【解析】（1）c∥．因为∥，所以与没有公共点，又c，所以c与无公共点，则c∥．

    （2）c∥a．因为∥，所以与没有公共点，又，，则，，且，所以a，b没有公共点．由于a，b都在平面内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a．

13．【解析】根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE与DC的平行线，换句话说，平移BE（或CD）．设想平移CD，沿着DA的方向，使D移向E，则C移向AC的中点F，这样BE与CD所成的角即为∠BEF或其补角，解△EFB即可获解．

取AC的中点F，连接BF、EF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，

∴EF∥CD，

∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角（或其补角）．

在Rt△EAB中，AB=1，，∴．

在Rt△AEF中，，，∴．

在Rt△ABF中，AB=1，，∴．

在等腰△EBF中，，

∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为．