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人教版27.2.1 相似三角形的判定一等奖课件ppt
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这是一份人教版27.2.1 相似三角形的判定一等奖课件ppt，文件包含27213相似三角形的判定定理3-课件pptx、27213相似三角形的判定定理3-同步练习docx、27213相似三角形的判定定理3教案docx等3份课件配套教学资源，其中PPT共48页， 欢迎下载使用。
学习目标1. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. 2. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算.
截至目前为止，相似三角形判定的方法
1. 定义法：三组对应边的比相等且对应角相等.（不常用）
2. “平行”定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
3. “三边”定理：三边成比例的两个三角形相似.
4. “两边夹角”定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？
思考：三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？
观察你与老师的或与同桌的两副三角尺（30°与60°，或45°与45°） ，两个三角尺大小可能不同，会相似吗？
如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？
1. 作△ABC和△A'B'C'，使得∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，这时它们的第三个角满足∠C＝∠C'吗？2. 分别度量这两个三角形的边长，计算 ，你有什么发现？3. △ABC和△A'B'C'相似吗？
满足：∠C = ∠C' ；
；△ABC∽ △ A'B'C'
把你的结果与同桌比较，你们的结论一样吗？ △ABC和△A'B'C'相似吗？
一、两角分别相等的两个三角形相似
如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A', ∠B=∠B'，求证: △ABC∽ △A'B'C'
猜想：判定两个三角形相似的又一个简便方法：
两角分别相等的两个三角形相似．
【分析】证明两个三角形相似的方法： 1. 定义； 2. “平行”定理； 3. “三边”定理； 4. “两边夹角”定理.创造具备定理条件的基本图形： 在较大的三角形上截取线段，构造全等三角形.
又∵∠A=∠A'，AD=A'B'
证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，过点D作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽ △ABC.
∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B'
∴△ADE≌△A'B'C'
∴△A'B'C'∽△ABC
由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
1. 下面每组的两个三角形是否相似？为什么？
2. 判断题：（1）所有的直角三角形都相似 . （ ） （2）所有的等边三角形都相似. （ ）（3）所有的等腰直角三角形都相似. （ ）（4）有一个角相等的两等腰三角形相似 . （ ）
3. 如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，若∠A=50°，∠B=75°，∠A' = 50°，当∠C'= 时，△ABC ∽△A'B'C'.
证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ， ∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °. ∵ 在△DEF中，∠E=80 °， ∠F=60 °. ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F. ∴ △ABC ∽△DEF.
4. 如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 °．求证：△ABC ∽△DEF.
5. 如果，当∠ACD满足什么条件时，△ACD∽△ABC？
答案： ∠ACD＝ ∠ABC.
解： ∵∠A= ∠A ，∠ABD=∠C ∴△ABD ∽ △ ACB ∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD · AC ∵ AD=2，AC=8 ∴ AB =4
6. 已知如图， ∠ABD=∠C，AD=2 ，AC=8，求AB.
7. 已知如图直线BE、DC交于A ， ∠E= ∠C.求证：DA·AC=AB·AE
证明：∵∠E=∠C，∠DAE=∠BAC ∴△ABC ∽ △ ADE ∴ AC : AE=AB : AD ∴ DA · AC=AB · AE
例1：如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB=PC · PD.证明：连接AC，DB. ∵∠A 和∠D 都是 所对的圆周角， ∴ ∠A= ∠D， 同理 ∠C= ∠B， ∴ △PAC ∽ △PDB， ∴ ， 即PA ·PB = PC · PD.
1. 如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=3，PB = 8，PC = 4，则 PD = .
解：（1）△DBE∽△DAB；△DBE∽△CAE；△ABD∽△AEC．（2）选择△ABD∽△AEC． ∵DA是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAE． 又∵∠D=∠C，∴△ABD∽△AEC．
2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，连接BD．（1）请你找出图中所有的相似三角形；（2）请选择其中的一对相似三角形予以证明．
3．在上题条件下，若DE=3，EA=7，则BD=______．
解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° . 又∠C=90 °，∠A=∠A， ∴ △AED ∽△ABC.
例2：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.
二、判定两个直角三角形相似
由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
思考：对于两个直角三角形，我们可以用 “HL”判定它们全等. 那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
证明：设____________= k ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.由 ，得 ∴ ＿＿＿＿＿＿＿＿. ∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′.
∵ ∠C=90°，∠C′=90°， ，
由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
∴ Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
1. 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.（1）∠A=35°，∠B′=55°： ；（2）AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ；（3）AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： .
2. 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，则△ABC∽△ ，△ABC∽△ ，△ABC∽△ ．
3. 如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC相似．
【分析】观察得到AB和AC分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论.
解：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝AB : AC， 即 : 2 =AB : ，解得 AB=3；
（2）当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝AB : AC ， 即 : =AB : ，解得 AB= ．∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似．
如图，AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于F，从中找出相似的三角形？
△ACD ∽△CBD∽△ABC
找出图中所有的相似三角形.
有三对相似三角形：△ACD∽ △CBD△CBD∽ △ABC△ACD∽ △ABC
常用的相等的角： ∠A =∠DCB ；∠B =∠ACD
AC·BC=AB·CD
证两三角形相似，若已具备一组角对应相等，则应先考虑“两角分别相等的两个三角形相似”这一判定方法，而找等角时常用到公共角、对顶角、等角（或同角）的余角相等等一些隐含条件．判定直角三角形相似时，可以用其相似独有的判定方法，也可以用一般三角形相似的判定方法．不过，更多的时候是用两角相等来证．
1. 下列结论： ①所有的等腰三角形都相似， ②有一个角是80°的两个等腰三角形相似， ③有一个角是100°的两个等腰三角形相似， ④有一个角相等的两个等腰三角形相似，其中正确的有（ ） A．1个B．2个 C．3个 D．4个
2. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相似三角形共有 （ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
3. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则 的值为 （ ）
4. 如图，△ABC中，AE 交 BC 于点 D，∠C=∠E，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于 （ ）
5. 如图，点 D 在 AB上，当∠ ＝∠ (或∠ =∠ )时， △ACD∽△ABC；
6. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠ABC = 90°，BD⊥AC于D. 若 AB=6，AD=2，则 BD= ，AC= ，BC= .
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高. （1）若AD=8，BD=2，则CD= ；（2）若BD=4，AB=9，则BC= ；（3）若AD=2，AB=3，则AC= ； （4）若CD=8，BD=4，则AD= ．（5）若AB=5，AC=4，则CD= ．
8. （1）如图1，请你增加一个条件：∠ ＝∠ .（或∠ ＝∠ ），使△ABC∽ △ACD． （2）如图2，请你增加一个条件：∠ ＝∠ .（或∠ ＝∠ ），使△ABC∽ △AED．
9. 如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.
证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB，
∠A＝∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC.
证明：∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC， ∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3， ∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ， ∠E=180°－∠3－∠AOE， ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E. ∴ △ABC∽△ADE.
1. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE．
证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F， ∴ ∠FEA=∠FDB=90°， ∠AFE =∠BFD (对顶角相等). ∴ △FEA ∽ △ FDB， ∴
2. 如图，△ABC 的高 AD，BE 交于点 F．求证：
两角分别相等的两个三角形相似
利用两角判定三角形相似
5. “两角”定理：两角分别相等的两个三角形相似.
直角三角形相似的判定方法
在两个直角三角形中，如果有：
（2）两组直角边成比例；
（3）斜边直角边成比例；
以上任何一种情况，都能得到这两个直角三角形相似.
判定一般三角形相似的方法，都适用于判定直角三角形相似，此外：
学习目标1. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. 2. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算.
截至目前为止，相似三角形判定的方法
1. 定义法：三组对应边的比相等且对应角相等.（不常用）
2. “平行”定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
3. “三边”定理：三边成比例的两个三角形相似.
4. “两边夹角”定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？
思考：三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？
观察你与老师的或与同桌的两副三角尺（30°与60°，或45°与45°） ，两个三角尺大小可能不同，会相似吗？
如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？
1. 作△ABC和△A'B'C'，使得∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，这时它们的第三个角满足∠C＝∠C'吗？2. 分别度量这两个三角形的边长，计算 ，你有什么发现？3. △ABC和△A'B'C'相似吗？
满足：∠C = ∠C' ；
；△ABC∽ △ A'B'C'
把你的结果与同桌比较，你们的结论一样吗？ △ABC和△A'B'C'相似吗？
一、两角分别相等的两个三角形相似
如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A', ∠B=∠B'，求证: △ABC∽ △A'B'C'
猜想：判定两个三角形相似的又一个简便方法：
两角分别相等的两个三角形相似．
【分析】证明两个三角形相似的方法： 1. 定义； 2. “平行”定理； 3. “三边”定理； 4. “两边夹角”定理.创造具备定理条件的基本图形： 在较大的三角形上截取线段，构造全等三角形.
又∵∠A=∠A'，AD=A'B'
证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，过点D作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽ △ABC.
∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B'
∴△ADE≌△A'B'C'
∴△A'B'C'∽△ABC
由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
1. 下面每组的两个三角形是否相似？为什么？
2. 判断题：（1）所有的直角三角形都相似 . （ ） （2）所有的等边三角形都相似. （ ）（3）所有的等腰直角三角形都相似. （ ）（4）有一个角相等的两等腰三角形相似 . （ ）
3. 如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，若∠A=50°，∠B=75°，∠A' = 50°，当∠C'= 时，△ABC ∽△A'B'C'.
证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ， ∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °. ∵ 在△DEF中，∠E=80 °， ∠F=60 °. ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F. ∴ △ABC ∽△DEF.
4. 如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 °．求证：△ABC ∽△DEF.
5. 如果，当∠ACD满足什么条件时，△ACD∽△ABC？
答案： ∠ACD＝ ∠ABC.
解： ∵∠A= ∠A ，∠ABD=∠C ∴△ABD ∽ △ ACB ∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD · AC ∵ AD=2，AC=8 ∴ AB =4
6. 已知如图， ∠ABD=∠C，AD=2 ，AC=8，求AB.
7. 已知如图直线BE、DC交于A ， ∠E= ∠C.求证：DA·AC=AB·AE
证明：∵∠E=∠C，∠DAE=∠BAC ∴△ABC ∽ △ ADE ∴ AC : AE=AB : AD ∴ DA · AC=AB · AE
例1：如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB=PC · PD.证明：连接AC，DB. ∵∠A 和∠D 都是 所对的圆周角， ∴ ∠A= ∠D， 同理 ∠C= ∠B， ∴ △PAC ∽ △PDB， ∴ ， 即PA ·PB = PC · PD.
1. 如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=3，PB = 8，PC = 4，则 PD = .
解：（1）△DBE∽△DAB；△DBE∽△CAE；△ABD∽△AEC．（2）选择△ABD∽△AEC． ∵DA是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAE． 又∵∠D=∠C，∴△ABD∽△AEC．
2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，连接BD．（1）请你找出图中所有的相似三角形；（2）请选择其中的一对相似三角形予以证明．
3．在上题条件下，若DE=3，EA=7，则BD=______．
解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° . 又∠C=90 °，∠A=∠A， ∴ △AED ∽△ABC.
例2：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.
二、判定两个直角三角形相似
由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
思考：对于两个直角三角形，我们可以用 “HL”判定它们全等. 那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
证明：设____________= k ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.由 ，得 ∴ ＿＿＿＿＿＿＿＿. ∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′.
∵ ∠C=90°，∠C′=90°， ，
由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
∴ Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
1. 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.（1）∠A=35°，∠B′=55°： ；（2）AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ；（3）AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： .
2. 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，则△ABC∽△ ，△ABC∽△ ，△ABC∽△ ．
3. 如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC相似．
【分析】观察得到AB和AC分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论.
解：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝AB : AC， 即 : 2 =AB : ，解得 AB=3；
（2）当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝AB : AC ， 即 : =AB : ，解得 AB= ．∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似．
如图，AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于F，从中找出相似的三角形？
△ACD ∽△CBD∽△ABC
找出图中所有的相似三角形.
有三对相似三角形：△ACD∽ △CBD△CBD∽ △ABC△ACD∽ △ABC
常用的相等的角： ∠A =∠DCB ；∠B =∠ACD
AC·BC=AB·CD
证两三角形相似，若已具备一组角对应相等，则应先考虑“两角分别相等的两个三角形相似”这一判定方法，而找等角时常用到公共角、对顶角、等角（或同角）的余角相等等一些隐含条件．判定直角三角形相似时，可以用其相似独有的判定方法，也可以用一般三角形相似的判定方法．不过，更多的时候是用两角相等来证．
1. 下列结论： ①所有的等腰三角形都相似， ②有一个角是80°的两个等腰三角形相似， ③有一个角是100°的两个等腰三角形相似， ④有一个角相等的两个等腰三角形相似，其中正确的有（ ） A．1个B．2个 C．3个 D．4个
2. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相似三角形共有 （ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
3. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则 的值为 （ ）
4. 如图，△ABC中，AE 交 BC 于点 D，∠C=∠E，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于 （ ）
5. 如图，点 D 在 AB上，当∠ ＝∠ (或∠ =∠ )时， △ACD∽△ABC；
6. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠ABC = 90°，BD⊥AC于D. 若 AB=6，AD=2，则 BD= ，AC= ，BC= .
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高. （1）若AD=8，BD=2，则CD= ；（2）若BD=4，AB=9，则BC= ；（3）若AD=2，AB=3，则AC= ； （4）若CD=8，BD=4，则AD= ．（5）若AB=5，AC=4，则CD= ．
8. （1）如图1，请你增加一个条件：∠ ＝∠ .（或∠ ＝∠ ），使△ABC∽ △ACD． （2）如图2，请你增加一个条件：∠ ＝∠ .（或∠ ＝∠ ），使△ABC∽ △AED．
9. 如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.
证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB，
∠A＝∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC.
证明：∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC， ∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3， ∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ， ∠E=180°－∠3－∠AOE， ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E. ∴ △ABC∽△ADE.
1. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE．
证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F， ∴ ∠FEA=∠FDB=90°， ∠AFE =∠BFD (对顶角相等). ∴ △FEA ∽ △ FDB， ∴
2. 如图，△ABC 的高 AD，BE 交于点 F．求证：
两角分别相等的两个三角形相似
利用两角判定三角形相似
5. “两角”定理：两角分别相等的两个三角形相似.
直角三角形相似的判定方法
在两个直角三角形中，如果有：
（2）两组直角边成比例；
（3）斜边直角边成比例；
以上任何一种情况，都能得到这两个直角三角形相似.
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