【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：特殊函数

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：特殊函数，共9页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共29小题；共145分）
1. 已知函数 fx=lg2x−1,x>13−x,x≤1，则 ff−2=
A. 1B. 2C. 3D. 4

2. 若函数 y=fx 是函数 y=ax（a>0，且 a≠1）的反函数，且 f2=1，则 fx=
A. lg2xB. 12xC. lg12xD. 2x−2

3. 已知函数 fx=2x−1,x≤11+lg2x.x>1，则函数 fx 的零点为
A. 12，0B. −2，0C. 12D. 0

4. 已知函数 fx=gx,x>02x+1,x≤0 是 R 上的偶函数，则 g3=
A. 5B. −5C. 7D. −7

5. 若奇函数 fx 在 1,2 上为减函数且最大值为 0，则它在 −2,−1 上
A. 是增函数，有最大值为 0B. 是增函数，有最小值为 0
C. 是减函数，有最大值为 0D. 是减函数，有最小值为 0

6. 已知两个函数 fx 和 gx 的定义域和值域都是集合 1,2,3，其定义如下表：
x123fx231x123gx321
则方程 gfx=x 的解集是
A. 3B. 2C. 1D. ∅

7. 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过 800 元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过 800 元，则超过 800 元部分享受一定的折扣优惠，并按如表折扣分别累计计算：
可以享受折扣优惠金额折扣率不超过 500 元的部分5%超过 500 元的部分10%
若某顾客在此商场获得的折扣金额为 50 元，则此人购物实际所付金额为
A. 1500 元B. 1550 元C. 1750 元D. 1800 元

8. 定义 maxa,b=a,a≥bb,aA. −2,1
B. −∞,−3∪2,+∞
C. −∞,−3∪−2,1
D. −∞,−3∪2,+∞∪−2,1

9. 已知函数 fx 满足：fx≥∣x∣ 且 fx≥2x，x∈R
A. 若 fa≤∣b∣，则 a≤bB. 若 fa≤2b，则 a≤b
C. 若 fa≥∣b∣，则 a≥bD. 若 fa≥2b，则 a≥b

10. 已知函数 fx−2 的定义域为 0,2，则函数 f2x−1 的定义域为
A. −2,0B. −1,3C. 32,52D. −12,12

11. 某公司生产一种产品，固定成本为 20000 元，每生产一单位的产品，成本增加 100 元，若总收入 R 与年产量 x 的关系是 Rx=−x3900+400x,0≤x≤39090090,x>390，则
当总利润最大时，每年生产产品的单位数是
A. 150B. 200C. 250D. 300

12. 已知函数 fx 与 gx 满足 fx+2=f2−x，gx+1=gx−1，且 fx 在区间 2,+∞ 上为减函数，令 hx=fx⋅gx，则下列不等式正确的是
A. h−2≥h4B. h−2≤h4
C. h0>h4D. h0
13. 设 a,b，c,d 都是函数 fx 的单调增区间，若 x1∈a,b，x2∈c,d，x1A. fx1fx2
C. fx1=fx2D. 不能确定

14. 设函数 fx=2−x,x≤01,x>0，则满足 fx+1A. −∞,−1B. 0,+∞C. −1,0D. −∞,0

15. 设集合 A=0,12，B=12,1，函数 fx=x+12,x∈A21−x,x∈B，若 x0∈A，且 ffx0∈A，则 x0 的取值范围是
A. 0,14B. 14,12C. 14,12D. 0,38

16. 已知实数 a≠0，函数 fx=2x+a,x<1−x−2a.x≥1．若 f1−a=f1+a，则 a 的值为
A. −34B. 34C. −35D. 35

17. 已知函数 y=ex 的图象与函数 y=fx 的图象关于直线 y=x 对称，则
A. f2x=e2xx∈RB. f2x=ln2⋅lnxx>0
C. f2x=2exx∈RD. f2x=lnx+ln2x>0

18. 若函数 fx 满足 fa+b=fa+fb1−fafb，且 f2=12，f3=13，则 f7=
A. 1B. 83C. 43D. 3

19. 已知函数 y=fx+1 的定义域是 −2,3，则 y=fx−1 的定义域是
A. 0,5B. −1,4C. 3,4D. −3,2

20. 已知函数 fx=−2x+1,x<02x,x>0，那么 ff−1 的值是
A. 8B. 7C. 6D. 5

21. 已知定义在 R 上的函数 fx 和 gx 是奇函数，px 和 qx 是偶函数，则下列说法中，正确的有
① fx−gx 是奇函数，fx⋅gx 是奇函数；
② px−qx 是偶函数，px⋅qx 是偶函数；
③ fx−px 是奇函数，fx⋅qx 是偶函数；
④ fxgx 是奇函数，fxpx 是偶函数．
A. ①③B. ②C. ①②④D. ①②③④

22. 已知函数 fx=x+1,x∈−1,0x2+1,x∈0,1，则其图象正确的是
A. B.
C. D.

23. 已知函数 fx=x+12,x≤−12x+2,−11，则实数 a 的取值范围是
A. −∞,−2∪−12,+∞B. −12,12
C. −∞,−2∪−12,1D. −2,−12∪1,+∞

24. 若函数 fxx∈R 为奇函数，f1=12，fx+2=fx+f2，则 f5=
A. 0B. 1C. 52D. 5

25. 函数 fx 在 −∞,+∞ 上单调递减，且为奇函数．若 f1=−1，则满足 −1≤fx−2≤1 的 x 的取值范围是
A. −2,2B. −1,1C. 0,4D. 1,3

26. 已知函数 fx 是 R 上的偶函数，且满足 f5+x=f5−x，在 0,5 上只有 f1=0，则 fx 在 −2018,2018 上的零点的个数为
A. 808B. 806C. 805D. 804

27. 已知 fx 是定义域为 −∞,+∞ 的奇函数，满足 f1−x=f1+x .若 f1=2，则 f1+f2+f3+⋯+f50=
A. −50B. 0C. 2D. 50

28. 若函数 fx 在定义域 xx∈R且x≠0 上是偶函数，且在 0,+∞ 上是减函数，f2=0，则函数 fx 的零点
A. 有一个B. 有两个C. 至少有两个D. 无法判断

29. 设 fx，gx，hx 是定义域为 R 的三个函数，对于命题：①若 fx+gx，fx+hx，gx+hx 均为增函数，则 fx，gx，hx 中至少有一个为增函数；②若 fx+gx，fx+hx，gx+hx 均是以 T 为周期的函数，则 fx，gx，hx 均是以 T 为周期的函数，下列判断正确的是
A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题
C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题

二、选择题（共1小题；共5分）
30. 已知函数 fx 的定义域为 R，且 fx+1 是偶函数，fx−1 是奇函数，则下列说法正确的是
A. f7=0
B. fx 的一个周期为 8
C. fx 图象的一个对称中心为 3,0
D. fx 图象的一条对称轴为直线 x=2019
答案
第一部分
1. C【解析】由题意可得 f−2=32=9，则 ff−2=f9=lg29−1=3．
2. A【解析】由题意知点 2,1 在函数 y=ax 的反函数图象上，
所以点 1,2 在函数 y=ax 的图象上，
所以 a1=2，即 a=2，
所以 y=2x，
则 x=lg2y，
所以 fx=lg2x．
3. D【解析】当 x≤1 时，令 2x−1=0，得 x=0；
当 x>1 时，令 1+lg2x=0，得 x=12，舍去．
综上所述，函数 fx 的零点为 0．
故选D．
4. B【解析】因为函数 fx=gx,x>02x+1,x≤0 是 R 上的偶函数，
所以 g3=f3=f−3=−6+1=−5，
故选B．
5. D
【解析】因为 fx 为奇函数，
所以函数在关于原点对称的区间上单调性相同，
故函数在 −2,−1 上也为减函数，易得 f1=0，
所以 f−1=0，
所以 f−1=0 为函数在 −2,−1 上的最小值．
6. A
7. A【解析】设此商场购物总金额为 x 元，可以获得的折扣金额为 y 元，
由题可知：y=0,01300，
因为 y=50>25，所以 x>1300，所以 0.1x−1300+25=50，
解得 x=1550，1550−50=1500，
故此人购物实际所付金额为 1500 元．
8. C
9. B【解析】由题意得 fa≥∣a∣，所以A项中由不等式传递性可知 ∣a∣≤∣b∣，不能得到 a≤b，A错．因为 fa≥2a，所以B项中有 2a≤fa≤2b，所以 a≤b，故B正确．C，D选项无法确定．
10. D
【解析】因为函数 fx−2 的定义域为 0,2，即 0≤x≤2，
所以 −2≤x−2≤0，即函数 fx 的定义域为 −2,0，
所以 −2≤2x−1≤0，
所以 −12≤x≤12．
11. D【解析】由题意得，
总利润 Px=−x3900+300x−20000,0≤x≤39070090−100x,x>390．
令 P′x=0，得 x=300．
12. B【解析】fx+2=f2−x⇒fx 关于 x=2 对称，fx 在区间 2,+∞ 上为减函数，
所以 fx 在区间 −∞,2 上为增函数，
而 gx+1=gx−1⇒ 函数 gx 的周期为 T=2，所以 h−2=f−2g−2=f6g4，h4=f4g4≥h−2，h0=h4，故选B.
13. D【解析】根据单调性定义，所取两个自变量是同一单调区间内的任意两个变量，才能由该区间上的函数单调性来比较出函数值的大小．
14. D
15. C
【解析】因为 x0∈A，
所以 fx0=x0+12∈B，
所以 ffx0=fx0+12=21−x0−12=1−2x0∈A，
所以 0≤1−2x0<12，
即 14又 x0∈A，
所以 1416. A【解析】已知 a≠0，f1−a=f1+a，
当 a>0 时，1−a<1<1+a，
则 f1−a=21−a+a=2−a，f1+a=−1+a−2a=−1−3a．
则有 2−a=−1−3a，即 a=−32（舍）．
当 a<0 时，1+a<1<1−a，则 f1−a=−1−a−2a=−1−a，f1+a=21+a+a=2+3a，
所以 −1−a=2+3a，即 a=−34．
综上可得 a=−34．
故选A．
17. D【解析】由 y=ex 得 fx=lnx，
所以 f2x=ln2x=ln2+lnxx>0．
18. D【解析】因为函数 fx 满足 fa+b=fa+fb1−fafb，所以 f4=f2+2=f2+f21−f2f2=43，所以 f7=f4+3=f4+f31−f4f3=3．
19. A【解析】因为函数 y=fx+1 的定义域是 −2,3，
所以 −2≤x≤3，
所以 −1≤x+1≤4，
故函数 y=fx−1 中，−1≤x−1≤4，
所以 0≤x≤5，
所以 y=fx−1 的定义域是 0,5．
20. A
【解析】f−1=−2×−1+1=3，
所以 ff−1=f3=23=8．
21. B【解析】对于①，令 Fx=fx⋅gx，则 F−x=f−x⋅g−x=fx⋅gx=Fx，所以 fx⋅gx 是偶函数，故①错．
对于②，令 Gx=px−qx，则 G−x=p−x−q−x=px−qx=Gx，
所以 px−qx 是偶函数；
令 Mx=px⋅qx，则 M−x=p−x⋅q−x=px⋅qx=Mx，所以 px⋅qx 是偶函数，故②正确．
对于③，令 Nx=fx⋅qx，则 N−x=f−x⋅q−x=−fx⋅qx=−Nx，
所以 fx⋅qx 是奇函数，故③错；
对于④，令 Px=fxpx，则 P−x=f−xp−x=−fxpx=−Px，所以 fxpx 是奇函数，故④错．故选B．
22. A【解析】当 x=−1 时，f−1=0，即图象过点 −1,0，显然D错；当 x=0 时，f0=1，即图象过点 0,1，C错；当 x=1 时，f1=2，即图象过点 1,2，B错．
23. C【解析】当 a≤−1 时，由 fa=a+12>1，解得 a>0 或 a<−2，故 a<−2；
当 −11，解得 a>−12，故 −12当 a≥1 时，由 fa=1a>1，解得 a<1，故无解．
综上，a∈−∞,−2∪−12,1．
24. C【解析】因为 fx 为奇函数，
所以 f−1=−f1，
又 fx+2=fx+f2，
令 x=−1，得 f1=f−1+f2，
于是 f2=2f1=1；
令 x=1，得 f3=f1+f2=32，
于是 f5=f3+f2=52．
故选C．
25. D
【解析】因为 fx 为奇函数，f1=−1，
所以 f−1=1．
因为 fx 在 −∞,+∞ 上单调递减，
所以 由 −1≤fx−2≤1，得 −1≤x−2≤1，即 1≤x≤3．
所以满足 −1≤fx−2≤1 的 x 的取值范围是 1,3．
故选D．
26. B【解析】由题意可得 fx+5=f5−x=fx−5，
所以 fx+10=fx．
因为当 x∈0,5 时，y=fx 仅有 x=1 一个零点，且 fx 是偶函数，
所以 fx 在 −5,0 上仅有 x=−1 一个零点，
所以 fx 在 0,10 上有两个零点，即 x=1 与 x=9．
因为 2018=201×10+8，f2011=f1=0，
所以所求零点的个数为 201×2×2+2=806．
27. C【解析】由 f1−x=f1+x 得 f−x=fx+2，
又 fx 为奇函数，则 f−x=−fx，
所以 fx=−fx+2=fx+4，
所以 fx 是周期为 4 的函数．
由 f1=2 知 f−1=−2，
所以 f3=−2，
又 fx 为奇函数，x∈−∞,+∞，
所以 f0=0．
又因为 f1−x=f1+x，令 x=1，
所以 f0=f2=0，f4=0，
所以 f1+f2+f3+f4=0，f49=f1=2，f50=f2=0，
所以 f1+f2+f3+⋯+f49+f50=12×f1+f2+f3+f4+f1+f2=12×0+2=2．
故选C．
28. B【解析】因为 fx 在 0,+∞ 上是减函数，f2=0，
所以 fx 在 0,+∞ 上有且仅有一个零点 2．
又因为 fx 是偶函数，
所以 fx 在 −∞,0 上有且仅有一个零点 −2．
因此函数 fx 有两个零点．
故选B．
29. D【解析】①不成立，可举反例．
fx=2x,x≤1,−x+3,x>1. gx=2x+3,x≤0,−x+3,00.
② fx+gx=fx+T+gx+T
fx+hx=fx+T+hx+T
gx+hx=gx+T+hx+T
前两式作差，可得 gx−hx=gx+T−hx+T．
结合第三式，可得 gx=gx+T，hx=hx+T．
也有 fx=fx+T．
所以②正确．
第二部分
30. A， B， C
【解析】依题意知，直线 x=1 是 fx 图象的一条对称轴，−1,0 是 fx 图象的一个对称点．
又因为 fx+1=f−x+1，fx−1=−f−x−1，
所以 fx−1=f−x−2+1=f−x+3，则 f−x+3=−f−x−1，
令 t=−x，则 ft+3=−ft−1，故 ft+4=−ft，则 ft+8=−ft+4=ft，
所以 fx 是周期函数，且 8 为函数 fx 的一个周期，故B正确；
f7=f−1=0，故A正确；
因为 fx 图象上每隔 4 个单位长度出现一个对称中心，
所以点 3,0 是函数 fx 图象的一个对称中心，故C正确；
x=2019=8×252+3，
所以直线 x=2019 不是函数 fx 图象的对称轴，故D错误．