【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：证明

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：证明，共7页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共29小题；共145分）
1. 用数学归纳法证明一个关于自然数 n 的命题 Pn 时，由 Pk 成立，进一步证明 Pk+1 成立过程中
A. 必须运用归纳假设B. 可以部分运用归纳假设
C. 可以不用归纳假设D. 根据题意灵活处理

2. 用反证法证明命题“若 a，b∈N，ab 可被 5 整除，那么 a，b 中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应该是
A. a，b 都能被 5 整除B. a，b 都不能被 5 整除
C. a，b 不都能被 5 整除D. a 能被 5 整除

3. 用数学归纳法证明 1+2+3+4+⋯+2n−1+2n=2n2+nn∈N*，当 n=k+1k∈N* 时，等式左边应在 n=k 时的基础上加的项是
A. 2k+1B. 2k+2
C. 2k+1+2k+2D. 1

4. 用数学归纳法证明 1+12+13+⋯+12n−11 时，第一步应验证的不等式是
A. 1+12<2B. 1+12+13<2C. 1+12+13<3D. 1+12+13+14<4

5. 用反证法证明“若 a,b∈N*，且 ab 可被 5 整除，则 a，b 中至少有一个能被 5 整除”时，提出的假设正确的是
A. a，b 都能被 5 整除B. a，b 都不能被 5 整除
C. a，b 中有一个能被 5 整除D. a，b 中有一个不能被 5 整除

6. 设桌面上有 3 枚正面朝上的硬币．若每次同时翻转 2 枚硬币，则下列说法中正确的是
A. 不可能 3 枚全部正面朝上
B. 可能其中 2 枚正面朝上，1 枚反面朝上
C. 不可能 3 枚全部反面朝上
D. 不可能其中 1 枚正面朝上，2 枚反面朝上

7. 用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是
A. 将条件和结论同时否定，推出矛盾
B. 肯定条件，否定结论，推出矛盾
C. 将否定的结论当条件，推理得出的结论与原题设条件或其他结论矛盾，才是反证法的正确运用
D. 将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件

8. 如果命题 Pn 对 n=k 成立，则它对 n=k+2 也成立，若 Pn 对 n=2 也成立，则下列结论正确的是
A. Pn 对所有正整数 n 都成立B. Pn 对所有正偶数 n 都成立
C. Pn 对所有正奇数 n 都成立D. Pn 对所有自然数 n 都成立

9. 下列 4 个判断中，正确的是
A. 式子 1+k+k2+⋯+knn∈N*，当 n=1 时为 1
B. 式子 1+k+k2+⋯+kn−1n∈N*，当 n=1 时为 1+k
C. 式子 11+12+13+⋯+12n+1n∈N*，当 n=1 时为 11+12+13
D. 设 fn=1n+1+1n+2+13n+1，则 fk+1 为 fk+13k+2+13k+3+13k+4

10. 用数学归纳法证明：fn=1+12+13+⋯+12nn∈N* 的过程中，从 n=k 到 n=k+1 时，fk+1 比 fk 共增加了
A. 1 项B. 2k−1 项C. 2k+1 项D. 2k 项

11. 某个命题与正整数有关，如果当 n=kk∈N* 时命题成立，那么可以推得当 n=k+1 时命题也成立．现在已知当 n=5 时该命题不成立，所以该命题在
A. n=6 时成立B. n=6 时不成立C. n=4 时成立D. n=4 时不成立

12. 用数学归纳法证明：对于足够大的自然数 n，总有 2n>n3，那么验证不等式成立所取的第一个 n 的最小值应该是
A. 1B. 9
C. 10D. n>10 且 n∈N*

13. 设 n 是正整数，fn=1+12+13+⋯+1n，经计算可得，f2=32，f4>2，f8>52，f16>3，f32>72．观察上述结果，可得出的一般结论是
A. f2n>2n+12B. fn2≥n+22C. f2n≥n+22D. f2n>n+22

14. 已知命题 1+2+22+⋯+2n−1=2n−1 及其证明：
（1）当 n=1 时，左边 =1，右边 =21−1=1，所以等式成立．
（2）假设 n=kk∈N* 时等式成立，即 1+2+22+⋯+2k−1=2k−1 成立，则当 n=k+1 时，1+2+22+⋯+2k−1+2k=1−2k+11−2=2k+1−1，所以 n=k+1 时等式也成立．
由（1）（2）知，对任意的正整数 n 命题都成立．
判断以上评述
A. 命题、证明都正确B. 命题正确、证明不正确
C. 命题不正确、证明正确D. 命题、证明都不正确

15. 某个与正整数 n 有关的命题：如果当 n=kk∈N* 时命题成立，并且可以推出当 n=k+1 时该命题也成立．现已知当 n=5 时命题不成立，那么可以推得
A. 当 n=4 时命题不成立B. 当 n=6 时命题不成立
C. 当 n=4 时命题成立D. 当 n=6 时命题成立

16. 用数学归纳法证明“n3+n+13+n+23n∈N* 能被 9 整除”时，要利用归纳假设证 n=k+1 时的情况，只需展开
A. k+33B. k+23
C. k+13D. k+13+k+23

17. 用数学归纳法证明：n+1n+2⋯n+n=2n⋅1⋅3⋅⋯⋅2n−1（n∈N*），从 k 到 k+1 时，等式左边需增加的代数式是
A. 2k+1B. 2k+1k+1C. 22k+1D. 2k+3k+1

18. 证明命题“凸 n 边形内角和等于 n−2⋅180∘”时，n 可取的第一个值是
A. 1B. 2C. 3D. 4

19. 若命题 Pn 对 n=2 成立，且由 Pk 成立可以推出 Pk+2 也成立，则一定有
A. Pn 对所有自然数都成立
B. Pn 对所有不小于 2 的自然数都成立
C. Pn 对所有正偶数都成立
D. Pn 对所有正奇数都成立

20. 已知 8>7，16>9，32>11，⋯，则有
A. 2n>2n+1B. 2n+1>2n+1C. 2n+2>2n+5D. 2n+3>2n+7

21. 用数学归纳法证明等式 1−12+13−14+⋯+12n−1−12n=1n+1+1n+2+⋯+12nn∈N* 的过程中，从 n=k 到 n=k+1 时，等式左边所需添加的项是
A. 12k+1B. 12k+2−12k+1C. −12k+1D. 12k+1−12k+2

22. 已知 fn=1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n，则 fn+1=
A. fn+12n+1B. fn+12n+1+12n+1
C. fn−12n+1D. fn+12n+1−12n+1

23. 用数学归纳法证明 1+2+3+⋯+n2=n4+n22，则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加上
A. k2+1
B. k+12
C. k+14+k+122
D. k2+1+k2+2+⋯+k+12

24. 用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，xn+yn 能被 x+y 整除”的第二步是
A. 假使 n=2k+1 时正确，再推 n=2k+3 正确
B. 假使 n=2k−1 时正确，再推 n=2k+1 正确
C. 假使 n=k 时正确，再推 n=k+1 正确
D. 假使 n≤kk≥1, 再推 n=k+2 时正确（以上 k∈Z）

25. 如果命题 pn 对 n=k 成立，那么它对 n=k+2 也成立，又若 pn 对 n=2 成立，则下列结论中正确的是
A. pn 对所有自然数 n 成立
B. pn 对所有正偶数 n 成立
C. pn 对所有正奇数 n 成立
D. pn 对所有大于 1 的自然数 n 成立

26. 用数学归纳法证明“2n>n2+1 对于 n≥n0 的正整数 n 成立”时，第一步证明中的起始值 n0 应取
A. 1B. 2C. 3D. 5

27. 对于不等式 n2+n≤n+1n∈N*，某学生的证明过程如下：①当 n=1 时，12+1≤1+1，不等式成立．②假设当 n=kk∈N* 时，不等式成立，即 k2+k≤k+1，则当 n=k+1 时，k+12+k+1=k2+3k+2A. 过程全部正确
B. n=1 验证不正确
C. 归纳假设不正确
D. 从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确

28. 已知数列 an 满足 0A. −1,3B. 0,3C. 3,8D. 8,+∞

29. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，首项 a1=−23，且 Sn+1Sn+2=ann≥2，则 S2018=
A. −20192020B. −20182019C. −20172018D. −20162017

二、选择题（共1小题；共5分）
30. 下列说法正确的是
A. 与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法
B. 数学归纳法的第一步 n0 的初始值一定为 1
C. 数学归纳法的两个步骤缺一不可
D. 用数学归纳法证明命题时，归纳假设一定要用上
答案
第一部分
1. A
2. B【解析】“至少有一个”的反面应是“一个都没有”．
3. C【解析】等号左边加的项是 1+2+3+4+⋯+2k+2k+1+2k+2−1+2+3+4+⋯+2k=2k+1+2k+2．
4. B【解析】因为 n∈N*，n>1，
所以 n 所取的第一个正整数为 2，
又 22−1=3，
故第一步应验证 1+12+13<2．
5. B
6. C
7. C
8. B
9. C
10. D
11. D
12. C
13. C【解析】已知 f4>2，f8>52，f16>3，f32>72，即 f22>2+22，f23>3+22，f24>4+22，f25>5+22，依此类推，可得 f2n>n+22n>1,n为正整数．
所以 f2=1+22，
所以 f2n≥n+22n为正整数．
14. B【解析】证明不正确，错在证明 n=k+1 时，没有用到假设 n=k 的结论．命题由等比数列的求和公式知其正确，故选B．
15. A
【解析】因为当 n=kk∈N* 时命题成立，且可以推出当 n=k+1 时命题也成立，所以假设当 n=4 时命题成立，那么当 n=5 时命题也成立，这与已知矛盾，所以当 n=4 时命题不成立．
16. A【解析】假设当 n=k 时，原式能被 9 整除，即 k3+k+13+k+23 能被 9 整除．
当 n=k+1 时，k+13+k+23+k+33 为了能用上面的归纳假设，只需将 k+33 展开，让其出现 k3 即可．
17. C【解析】等式左边需增加的代数式是 2k+12k+2k+1=22k+1．
18. C
19. C
20. C
21. D
22. D
23. D
24. B
25. B
26. D【解析】根据数学归纳法的步骤，首先要验证当 n 取第一个值时命题成立，
结合本题，当 n=1 时，左边 =21=2，右边 12+1=2，2n>n2+1 不成立，
当 n=2 时，左边 =22=4，右边 =22+1=5，2n>n2+1 不成立，
当 n=3 时，左边 =23=8，右边 =32+1=10，2n>n2+1 不成立，
当 n=4 时，左边 =24=16，右边 =42+1=17，2n>n2+1 不成立，
当 n=5 时，左边 =25=32，右边 =52+1=26，2n>n2+1 成立，
因此当 n≥5 时，命题 2n>n2+1 成立．
所以第一步证明中的起始值 n0 应取 5．
27. D【解析】从 n=kk∈N* 到 n=k+1 的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证明要求．
28. B【解析】用排除法．
当 t=3 时，an+1=4an+3an+2，明显有 an>0，
下面用数学归纳法证明 an<3．
当 n=1 时，0假设当 n=kk≥1 时，ak<3 成立，
则当 n=k+1 时，ak+1=4ak+3ak+2=4−5ak+2<4−53+2=3，
所以当 n=k+1 时，ak+1<3 成立．
综上，对任意 n∈N+，都有 an<3．
因为 an+1−an=4an+3an+2−an=4an+3−an2−2anan+2=−an+3an+1an+2>0，
所以 an所以当 t=3 时，0当 t=−12 时，an+1=4an−12an+2，若 n=1，则 a2=4a1−12a1+2，当 0故选B．
29. A【解析】由题意得，Sn+1Sn+2=Sn−Sn−1n≥2，
所以 Sn=−1Sn−1+2．
当 n=1 时，S1=a1=−23，
则当 n=2 时，S2=−1S1+2=−34，
当 n=3 时，S3=−1S2+2=−45，
⋯⋯
猜想：Sn=−n+1n+2n∈N*．
用数学归纳法证明如下：
①当 n=1 时，左边 S1=a1=−23，右边 =−1+11+2=−23，猜想成立．
②假设当 n=kk∈N* 时猜想成立，即 Sk=−k+1k+2，
则当 n=k+1 时，Sk+1=−1Sk+2=−12−k+1k+2=−k+1+1k+1+2，
所以当 n=k+1 时猜想也成立．
综上所述，Sn=−n+1n+2 对任意 n∈N* 都成立．
所以 S2018=−2018+12018+2=−20192020．
故选A．
第二部分
30. C， D