北师大版九年级下册第二章 二次函数综合与测试单元测试课后作业题

北师大版九年级下册

第2章 二次函数 单元测试

常考+易错题型 综合练习

一．选择题（共10小题）

1．对于抛物线y＝（x﹣1）2﹣3，下列说法错误的是（　　）

A．抛物线开口向上 

B．当x＞1时，y＞0 

C．抛物线与x轴有两个交点 

D．当x＝1时，y有最小值﹣3

2．已知抛物线y＝ax2+2x+（a﹣2），a是常数，且a＜0，下列选项中可能是它大致图象的是（　　）

A． B． 

C． D．

3．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝2x2+8x+m上的点，则（　　）

A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3

4．二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象如何平移可得到y＝﹣2x2的图象（　　）

A．向左平移1个单位，向上平移3个单位 

B．向右平移1个单位，向上平移3个单位 

C．向左平移1个单位，向下平移3个单位 

D．向右平移1个单位，向下平移3个单位

5．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（　　）

A． B． 

C． D．

6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x＝1，下列结论正确的是（　　）

A．abc＞0 B．2a+b＜0 C．3b﹣2c＜0 D．3a+c＜0

7．抛物线y＝x（x+k）﹣k+1（k是常数）与x轴的交点情况是（　　）

A．没有交点 B．有唯一的交点 

C．有两个不同的交点 D．以上结果都有可能

8．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足函数关系式y＝﹣5x+550，若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（　　）

A．90元，4500元 B．80元，4500元 

C．90元，4000元 D．80元，4000元

9．如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤3的范围内有解，则t的取值错误的是（　　）

A．t＝2.5 B．t＝3 C．t＝3.5 D．t＝4

10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：

①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③2a+c＜0；

④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x1＝，x2＝﹣1；

⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+1）（x﹣3）+2＝0的两个根，则m＜﹣1且n＞3．

其中正确的结论有（　　）个．

A．2 B．3 C．4 D．5

二．填空题（共8小题）

11．二次函数y＝（m﹣1）x2+x+m2﹣1的图象经过原点，则m的值为　   　．

12．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为　   　．

13．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是 　   　．

14．已知二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）．如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是　   　．

15．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m达到警戒水位时，水面CD的宽是10m．如果水位以0.25m/h的速度上涨，那么达到警戒水位后，再过　   　h水位达到桥拱最高点O．

16．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是　   　．

17．已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣3，﹣1，1时，所对应的y值只有一个小于0，那么m的取值范围是　   　．

18．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＜﹣3；④3a+b＞0．其中正确结论的序号有　   　．

三．解答题（共6小题）

19．如图所示，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，求△ABC的面积．

20．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．

（1）求二次函数的表达式及点B的坐标．

（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．

21．如图，抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B（3，0）．

（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；

（2）P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；

（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．

22．如图，抛物线y＝x2+2x﹣c与x轴负半轴，y轴负半轴分别交于点A，点C，OA＝OC，它的对称轴为直线l．

（1）求抛物线的表达式及顶点坐标．

（2）P是直线AC上方对称轴上的一动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，若PQ＝PO，求点P的坐标．

23．某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，每日可售出50千克，销售价每涨价1元，日销售量就减少1千克．

（1）请你直接写出日销售利润y（元）与售价x（元/千克）之间的函数关系式．

（2）若每日销售利润达到800元，售价应定为多少元？

（3）当售价定为多少元时，这种水产品的日销售利润最大？最大利润是多少元．

24．综合与探究

如图，已知点B（3，0）、C（0，﹣3），经过B、C两点的抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴的另一个交点为A．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；

（3）已知点E在第四象限的抛物线上，过点E作EF∥y轴交线段BC于点F，连接EC，若点E（2，﹣3），请直接写出△FEC的面积．

（4）在（3）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以点A、B、E、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

北师大版九年级下册

第2章 二次函数 单元测试

常考+易错题型 综合练习参考答案

一．选择题（共10小题）

1．B．2．D．3．D．4．C．5．D．6．D．7．D．8．B．9．A．10．B

二．填空题

11．﹣1．12．﹣3或1．13．x＝3或x＝﹣1．14．x＜﹣2或x＞8．15．4

16．﹣4或2．17．﹣4＜m＜2且m≠0，m≠﹣2．18．①③④

三．解答题（共6小题）

19．解：y＝x2﹣4x+3，

当y＝0时，x＝3或1，

当x＝0时，y＝3，

即OC＝3，OA＝1，OB＝3，

所以AB＝3﹣1＝2，

所以△ABC的面积是＝3．

20．解：（1）将（﹣1，0）代入y＝（x+2）2+m得0＝1+m

解得m＝﹣1

∴y＝（x+2）2﹣1

当x＝0时，y＝3

∴点C坐标为（0，3）

∵点B与点C关于轴对称，对称轴为直线x＝﹣2

∴点B坐标为（﹣4，3）

（2）∵点A坐标为（﹣1，0），点B坐标（﹣4，3）

由图象可知，（x+2）2+m≥kx+b时，x≤﹣4或x≥﹣1

21．解：（1）将B（3，0）代入y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9），化简得，m2+m＝0，

则m＝0（舍）或m＝﹣1，

∴m＝﹣1，

∴y＝﹣x2+4x﹣3．

∴C（0，﹣3），

设直线BC的函数表达式为y＝kx+b，

将B（3，0），C（0，﹣3）代入表达式，可得，

，解得，，∴直线BC的函数表达式为y＝x﹣3

（2）如图，过点A作AP1∥BC，设直线AP1交y轴于点G，将直线BC向下平移GC个单位，得到直线P2P3

由（1）得直线BC的表达式为y＝x﹣3，A（1，0）

∴直线AG的表达式为y＝x﹣1

联立，解得，或

∴P1（2，1）或（1，0）

由直线AG的表达式可得G（0，﹣1）

∴GC＝2，CH＝2

∴直线P2P3的表达式为：y＝x﹣5

联立

解得，，或，，

∴P2（，），P3（，）；

综上可得，点P的坐标为：（2，1），（1，0），（，），（，）

（3）如图，取点Q使∠ACQ＝45°，作直线CQ，过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，

则△ACD是等腰直角三角形，

∴AD＝CD，

∴△CDE≌△DAF（AAS）

∴AF＝DE，CE＝DF

设DE＝AF＝a，则CE＝DF＝a+1

由OC＝3，则DF＝3﹣a

∴a+1＝3﹣a，解得a＝1

∴D（2，﹣2），又C（0，﹣3）

∴直线CD对应的表达式为y＝x﹣3

设Q（n，n﹣3），代人y＝﹣x2+4x﹣3

∴n﹣3＝﹣n2+4n﹣3，整理得n2﹣n＝0

又n≠0，则n＝

∴Q（，﹣）

22．解：（1）∵抛物线y＝x2+2x﹣c与y轴交于点C

∴C（0，﹣c）

∵OA＝OC，且A点在x轴负半轴上

∴A（﹣c，0）

把A（﹣c，0），代入y＝x2+2x﹣c得，c2﹣3c＝0

解得c1＝3，c2＝0（舍去）

∴抛物线为y＝x2+2x﹣3

∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4

∴顶点为（﹣1，﹣4）

（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝1

∴设点P（﹣1，t），如图

则OP＝

设直线AC的解析式为y＝kx+b

把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入上式得

，解得

∴直线AC得解析式为y＝﹣x﹣3

取直线AC与对称轴直线x＝1的交点为D

则D（﹣1，﹣2）

∵P点在直线AC的上方

∴t＞﹣2

∴PD＝t+2

又∵AO＝CO＝3，∠AOC＝90°

∴∠ACB＝45°

又∵PQ⊥AC

∴∠QDP＝∠PQD＝45°

∴PQ＝DQ

∴

即t+2＝，解得t1＝2．t2＝2﹣＞﹣2

∴点P的坐标为P（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）

23．解：（1）由题意得：

y＝（x﹣40）[50﹣1×（x﹣50）]

＝（x﹣40）（100﹣x）

＝﹣x2+140x﹣4000，

∴日销售利润y（元）与售价x（元/千克）之间的函数关系式为y＝﹣x2+140x﹣4000

（2）当y＝800时，﹣x2+140x﹣4000＝800

解得x1＝60，x2＝80

∴售价应定为60元或80元

（3）y＝﹣x2+140x﹣4000

＝﹣（x﹣70）2+900

∵a＝﹣1＜0，抛物线开口向下

∴当x＝70时，y最大值＝900

∴当售价定为70元时，这种水产品的日销售利润最大，最大利润是900元。

24．解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，

所以抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3

（2）点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴于点D，则点D为所求点

理由：△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC为最小

由点B、C的坐标得：直线BC的表达式为y＝x﹣3

由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1

当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2

故点D（1，﹣2）

（3）由点C、E的坐标知，CE∥x轴，而FE∥y轴，则EF⊥CE

当x＝2时，y＝x﹣3＝﹣1

故点F（2，﹣1），则EF＝﹣1﹣（﹣3）＝2

由CE的坐标知，CE＝2

则△FEC的面积＝×CE•EF＝×2×2＝2

（4）设点P的坐标为（s，t）

①当AB是平行四边形的边时

点A向右平移4个单位得到点B，则点E（P）向右平移4个单位得到点P（E）

则2±4＝s，t＝﹣3

∴s＝6或﹣2

点P的坐标为（6，﹣3）或（﹣2，﹣3）

②当AB是平行四边形的对角线时

由中点公式得：，解得

点P的坐标为（0，3）；

综上，点P的坐标为（6，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（0，3）。

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