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精品解析：2021年福建省厦门市湖滨中学九年级中考二模试题（解析版+原卷版）
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2020—2021学年厦门市湖滨中学九年级（下）二模试卷
数 学
注意事项：
1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡．
2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分．
3．可以直接使用2B铅笔作图．
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1. 下列各数中，比－1小的数是（ ）
A. 2 B. －2 C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③两个负数绝对值大的反而小进行分析即可．
【详解】解：∵ ，
∴比−1小的数是−2，．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，关键是掌握有理数的比较大小的法则．
2. 如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据俯视图的定义从上向下看几何体，即可得到其俯视图．
【详解】解：∵从上向下看该几何体，可得到下图：
∴选项D符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从上往下看得到的平面图形．
3. “垃圾分一分，环境美十分”下列四种垃圾回收标识中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称的定义，即可判断．
【详解】A、图形旋转180゜后不能与原来的图形重合，故不是中心对称图形；
B、图形旋转180゜后能与原来的图形重合，故是中心对称图形，所以结论正确；
C、图形旋转180゜后不能与原来的图形重合，故不是中心对称图形；
D、图形旋转180゜后不能与原来的图形重合，故不是中心对称图形．
故选：B．
【点睛】本题根据中心对称图形的概念，判断所给图形是否是中心对称图形，判断的关键是旋转180゜后，仍能与原来的图形重合．
4. 如图，直线，点B在直线b上，且，，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由垂线的性质和平角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出∠2的度数．
【详解】解：如图示：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝35°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质、邻补角的概念，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
5. 某兴趣小组为了解我市气温变化情况，记录了今年1月份连续6天的最低气温（单位：℃）：﹣7，﹣4，﹣2，1，﹣2，2．关于这组数据，下列结论不正确的是（ ）
A. 平均数是﹣2 B. 中位数是﹣2 C. 众数是﹣2 D. 方差是﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据算术平均数、中位数、众数和方差的定义求解可得．
【详解】解：将这组数据重新排列为-7、-4、-2、-2、1、2，
∴这组数据的平均数为=-2，故A选项正确，不符合题意；
中位数为=-2，故B选项正确，不符合题意；
∵数据-2出现两次最多，
∴众数为-2，故C选项正确，不符合题意；
方差为×[(-7+2)2+(-4+2)2+2×(-2+2)2+(1+2)2+(2+2)2]=9，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了方差、平均数、中位数及众数的知识，属于基础题，掌握各部分的定义及计算方法是解题关键．
6. 下列运算结果正确的是（ ）
A. x6÷x2＝x3 B. （a﹣5b）（a+5b）＝a2﹣5b2
C. 2x（x﹣5）＝2x2﹣10x D. （2a2）3＝8a5
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法，整式的乘法，幂的乘方等运算法则逐个判断即可．
【详解】解：A、x6÷x2＝x4，选项错误，不符合题意；
B、（a﹣5b）（a+5b）＝a2﹣25b2，选项错误，不符合题意；
C、2x（x﹣5）＝2x2﹣10x，选项正确，符合题意；
D、（2a2）3＝8a6，选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了同底数幂的除法，整式的乘法，幂的乘方等运算法则等内容，解题的关键是熟练掌握同底数幂的除法，整式的乘法，幂的乘方等运算法则．
7. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴可以判断m、n的大小，从而可以解答本题．
【详解】解：由数轴可得，
−1＜m＜0＜2＜n＜3，故选项A错误，选项B错误，
∴m＞−n，即：，故选项C错误，
∵，故选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，判断出m、n的大小，利用数形结合的思想解答．
8. （九章算术）中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集面且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀，6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各重多少斤？”设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“5只雀、6只燕，分别聚集面且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放重量相等”，可得一个方程；根据“5只雀，6只燕重量为1斤”，可得另一个方程，即可选出答案．
【详解】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤
依题意得：
故答案选：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组应用题列式方法，准确找出等量关系式解题关键．
9. 如图，已知AB是半圆⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CD切半圆⊙O于点E，BD⊥CD于点D，若CD＝8，BD＝6，则半圆⊙O的半径为（ ）
A. 3.5 B. 4 C. D. 3.75
【答案】D
【解析】
【分析】连接，利用切线的性质和垂直的定义判定出，再利用相似三角形的比值关系列式运算即可．
【详解】连接
∵CD切半圆⊙O于点E，BD⊥CD
∴
∴
又∵
∴
设圆的半径为，则,
∴
解得：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质建立等量关系是解题的关键．
10. 若二次函数y＝ax2+4ax+1(a≠0)的图象经过(－3－，y1)、(－1+，y2)、(1，y3)、(2，y4)，若y1、y2、y3、y4四个数中有且只有一个小于零，则a的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，先求出二次函数的对称轴，然后需要对函数的开口方向进行讨论，结合点的坐标，即可得到的取值范围，即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数y＝ax2+4ax+1(a≠0)，
∴二次函数的对称轴，
∵，；
∴点(－3－，y1)与点(－1+，y2)是对称点，
∴；
①当时，开口向上，在时，y随x的增大而增大，
∵，
∴；
若，则；
不符合题意；
②当时，开口向下，在时，y随x的增大而减小，
∵，
∴；
∵四个数中有且只有一个小于零，
∴，，
分别把，分别代入解析式，则
，，
解得：，
∴的值可以是；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握二次函数的性质进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：_____．
【答案】．
【解析】
【分析】根据零指数幂和负指数幂计算即可.
【详解】=1+=,故答案为.
【点睛】本题考查了指数幂的运算性质，熟练掌握运算法则是解题的关键.
12. 2020 年是新中国历史上极不平凡的一年．面对严峻复杂的国际形势、艰巨繁重的国内改革发展稳定任务特别是新冠肺炎疫情的严重冲击，以习近平同志为核心的党中央统揽全局，保持战略定力，准确判断形势，精心谋划部署，果断采取行动，付出艰苦努力，及时作出统筹疫情防控和经济社会发展的重大决策．根据《中华人民共和国2020年国民经济和社会发展统计公报》公布的数据，2020年全年国内生产总值达1010000亿余元，比上年增长2.3%．用科学记数法表示 1010000亿元为__亿元．
【答案】1.01×106
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：1010000=1.01×106．
故答案为：1.01×106．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13. 如图，小明根据全班同学喜爱四类电视节目人数而绘制的两幅不完整的统计图，则喜爱动画节目的人数是_____人．
【答案】15
【解析】
【分析】根据统计图中的数据可以求得喜爱动画节目的人数．
【详解】由题意可得，
喜爱动画节目的人数是：(人)，
故答案为．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14. 在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点，的坐标分别为、，点在轴上且，则点的坐标为______．
【答案】（4，0）
【解析】
【分析】依据题意画出图形，过点B作BD⊥x轴于点D，根据平行四边形的对边平行可得 ，在 中，由 ，可求出AD，即可求解．
【详解】解：依据题意画出图形，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵B，
∴OD=5， ，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB∥OC，
∵，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，解得：AD=1，
∴OA=OD-AD=5-1=4，
∴点A（4，0）．
故答案为：（4，0）．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，图形与坐标，根据题意，画出正确图形是解题的关键．
15. 如图，若点O是正六边形ABCDEF的中心，，且角的两边分别交六边形的边AB、EF于M、N两点．若多边形AMONF的面积为，则正六边形ABCDEF的外接圆的面积是__________．
【答案】
【解析】
【分析】连接AO，FO，首先根据正六边形的性质证明出，然后根据多边形AMONF的面积求出△AOB的面积，进而求出AB的长度，即可根据圆的面积公式求得．
【详解】如图所示，连接AO，FO．
∵点O是正六边形ABCDEF的中心，
∴OB=OF，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵多边形AMONF的面积为，
∴菱形ABOF的面积为，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴和都是等边三角形，且，
∴，
又∵，
∴，
解得：．
∴正六边形ABCDEF的外接圆的面积=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，等边三角形和全等三角形等知识，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质，等边三角形和全等三角形的性质．
16. 如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，反比例函数的图象分别与矩形OABC两边AB，BC交于点D，E，沿直线DE将△DBE翻折得到△DFE，且点F恰好落在直线OA上．下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的有_________．（仅填序号即可）
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据题意，运用平行线分线段成比例，由，得到可判断①；过点E作EG⊥OA于点G，证明∽，得到，由矩形的性质，得到即可判断③；由相似三角形的性质，矩形的性质，求出AF的长度，从而得到OF的长度，然后求出，可判断④．
【详解】解：在矩形OABC中，连接AC，设，，
∴点E的纵坐标为b，点D的横坐标为a，
∵点D、E在反比例函数的图像上，
∴点D为（，），点E为（，b），
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴；故①正确；
∵，则，
∵，
∴；故②错误；
过点E作EG⊥OA于点G，如图：
∴，
∴，，
∴，
∴∽，
∴，
易得四边形ABEG是矩形，则EG=AB，EB=GA，
∴，
在直角△EDF中，有，
∴，故③正确；
∵∽，
∴，即，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
∴；故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每个不等式的解集，然后取公共部分，即可得到不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得；
解不等式②，得 ；
∴不等式组的解集为：；
【点睛】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握解不等式的方法进行解题．
18. 如图，在△ABE和△CDF中，点C、E、F、B在同一直线上，BF＝CE，若AB∥CD，∠A＝∠D．求证：AB＝CD．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得∠B＝∠C，根据已知条件可得BE＝CD，结合已知条件∠A＝∠D，即可证明△ABE≌△DCF，进而即可得证AB＝CD．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C．
∵BF＝CE，
∴BF＋EF＝CE＋EF，
即BE＝CF．
∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，BE＝CF
∴△ABE≌△DCF（AAS）．
∴AB＝CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
19. 先化简，再求值：（﹣2）÷，其中x＝﹣1．
【答案】
，1﹣
【解析】
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【详解】解：原式＝
＝
＝，
当x＝﹣1时，
原式＝
＝1﹣．
故答案：，1﹣．
【点睛】本题考查了分式的化简求值及二次根式的运算，属于常考题型，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20. 如图，已知△ABC，∠C＝．
（1）请用尺规作图，在BC边上找一点D，使DA＝DB；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BC＝4，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线交BC于D，点D即为所求．
（2）设BD＝AD＝x，在Rt△ADC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，点D即为所求．
（2）∵∠C＝90°，cosB＝＝，BC＝4，
∴AB＝5，
∴AC＝＝＝3，
设BD＝AD＝x，
在Rt△ADC中，∵AD2＝AC2+CD2，
∴x2＝32+（4﹣x）2，
∴x＝，
∴AD＝BD＝，CD＝4﹣＝，
∴tan∠CAD＝＝＝．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
21. “绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买棵柏树和棵杉树共需元；购买棵柏树和棵杉树共需元．
（1）求柏树和杉树的单价各是多少元；
（2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共棵，且柏树的棵数不少于杉树的倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？
【答案】（1）柏树每棵元，杉树每棵元；（2）柏树购买棵，杉树购买棵时，购树费用最少，最少费用为元．
【解析】
【分析】（1）设柏树每棵元，杉树每棵元，根据两种购买方式建立方程组，然后解方程组即可得；
（2）设购买柏树棵时，购树的总费用为元，从而可得购买杉树的棵树为棵，先根据“柏树的棵数不少于杉树的倍”建立不等式求出a的取值范围，再根据（1）的结论得出关于a的表达式，然后利用一次函数的性质即可得．
【详解】（1）设柏树每棵元，杉树每棵元
根据题意得：
解得
答：柏树每棵元，杉树每棵元；
（2）设购买柏树棵时，购树的总费用为元，则购买杉树的棵树为棵
由题意得：，解得
结合（1）的结论得：
随的增大而增大
又为整数
当时，取得最小值，最小值为
此时，
即柏树购买棵，杉树购买棵时，购树费用最少，最少费用为元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，依据题意，正确建立方程组和得出一次函数的表达式是解题关键．
22. 如图，四边形内接于，是上一点，且，连接并延长交的延长于点，连接．
（1）若，，求的度数；
（2）若的半径为4，且，求的长．
【答案】（1）50°；（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠ADC，再根据圆周角的性质得到∠DCE，即可求出∠E；
（2）根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠ADC=60°，连接AO，CO，过点O作OM⊥AC交AC于点M，再根据垂径定理和直角三角形的性质即可求出AC．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD内接于圆O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=75°，
∵，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC-∠DCE=50°；
（2）∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠B=2∠ADC，
∴2∠ADC+∠ADC=180°，
∴∠ADC=60°，
连接AO，CO，过点O作OM⊥AC交AC于点M，
∵∠ADC=60°，
∴∠AOC=120°，
∵OM⊥AC，
∴∠AOM=∠COM=∠AOC=60°，
∵半径为4，即AO=OC=4，
∴在Rt△AOM中，AM==，
∴AC=2AM=．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
23. 为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A、B、C三种午餐供师生选择，单价分别是：8元、10元、15元．为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A、B、C三种午餐购买情况的数据制成统计表如下，又根据过去平均每份的利润与销售量之间的关系绘制成统计图如下：
种类
数量（份）
A
1800
B
2400
C
800
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）该校师生上周购买午餐费用的中位数是 元；
（2）为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人选择两种不同午餐交替使用，试通过列表或画树状图分析，求该校学生小明选择“AB”组合的概率；
（3）经分析与预测，师生购买午餐种类与数量相对稳定．根据上级规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．
①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价？
②为了便于操作，公司决定只调低一种午餐单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），才能使得下周平均每份午餐的利润在不违反规定下最接近3元，试通过计算说明，应把哪一种午餐的单价调整为多少元？
【答案】（1）10；（2）；（3）①需要；②应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润更接近3元
【解析】
【分析】（1）中位数要求将三种午餐价格从小到大排列，找到最中间的一个数字；
（2）画树状图见解答；
（3）根据条形统计图找到A、B、C的利润，算出总利润，之后除以总人数，计算平均利润，与3元对比即可，对于调低单价，要求对A、B、C三种午餐分别罗列每个讲价1元之后的利润，要明白降的越多，距离3元的利润越远的道理，因此在降价1元时比较三种午餐的利润谁与3元最接近即可作答．
【详解】解：（1） 全校师生上周购买午餐的份数为1800+2400+800=5000（份）.
对于5000份数据，按照从小到大排列后，中位数为第2500和2501个数的平均数，通过统计表知，A+B一共为1800+2400=4200（份），因此中位数为B午餐的费用，即为10元，
故答案为：10；
（2）树状图如下：
根据树状图能够得到共有6种情况：AB，AC，BA，BC，CA，CB．
其中“AB”组合共有2中情况，
∴；
（3）①根据条形统计图得知，A利润为2元，B的利润为4元，C的利润为3元，
平均利润为：（元），
＞3，因此应调低午餐单价；
②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
调低B单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
调低C单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
当A，B，C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，因此最低即为降低1元，此时，当调低ABC大于1元时，平均每份午餐的利润一定小于2.96元，综上，应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润更接近3元．
【点睛】本题主要考查了事件的分类和概率的求法，中位数的概念，统计表、条形统计图的综合运用，用列表法或树状图法求概率，理解列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；对于条形统计图和统计表，要学会综合起来运用，能够根据统计表找到条形统计图中的信息，二者通过综合得到要分析的数据是解题的关键．
24. 已知等边△ABC，D为BC边上一点，点E在线段AD上，且∠EBD＝∠BAD．将△ABE绕着点A逆时针旋转至△ACF，连接EF，交AC于点G．
（1）求∠AFE度数；
（2）判断点E与直线BF位置关系并说明理由；
（3）若，求的值．
【答案】（1）60°；（2）点在直线上，理由见解析；（3）2
【解析】
【分析】（1）求证△EAF为等边三角形，即可求得∠AFE度数；
（2）根据等量关系，求得∠BED＝60°，得到∠AEB＋∠AEF＝180°，从而说明B、E、F三点共线；
（3）设DE＝a，过点D作DM⊥BE于点M，根据三角形相似得到AD＝7a，AE＝EF＝6a，设FG＝x，根据三角函数的定义以及相似三角形求得FG，即可求解．
【详解】解：（1）∵等边△ABC，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°
∵△ABE绕着点A逆时针旋转至△ACF，
∴AE＝AF，∠EAF＝∠BAC＝60°
∴△EAF为等边三角形
∴∠AFE＝60°．
（2）∵△EAF为等边三角形
∴∠AEF＝60°．
∵∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠EBD＝∠BAD
∴∠BED＝∠BAE＋∠ABE＝∠EBD＋∠ABE＝∠ABC＝60°，
∵点E在线段AD上，
∴∠BED＋∠AEB＝180°
∴∠AEB＝120°
∴∠AEB＋∠AEF＝180°．
∴B、E、F三点共线．
（3）设DE＝a，则BD＝a
∵∠EBD＝∠BAD，∠EDB＝∠BDA
∴△EBD∽△BAD
∴
∴AD＝7a，
∴AE＝EF＝6a
过点D作DM⊥BE于点M
∴EM＝DE·，，
∴
∴BE＝BM＋EM＝3a＝CF，
∵
∴AB＝a
∵∠AGB＝∠FGC，∠ABE＝∠GCF
∴△AGB∽△FGC
∴
设FG＝x，则AG＝x，GB＝9a－x，CG＝AC－AG＝a－x，
∴
∴
∴
【点睛】此题考查了旋转的有关性质，相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，熟练掌握有关性质、找到合适的相似三角形是解题的关键．
25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2＋bx．
（1）求抛物线顶点Q的坐标(用含b的代数式表示)；
（2）抛物线与x轴只有一个公共点，经过点(0，2)的直线y＝kx＋n(k<0)与抛物线交于点A，B(点A在点B的左侧)，与x轴交于点C．
①判断△AOB的形状，并说明理由；
②已知F(2，0)，G(4，0)，当点C在线段FG上时，求△AOB的面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）①直角三角形，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据，即可得出答案；
（2）①求出抛物线的表达式为，联立二次函数和一次函数的表达式整理得到，证明△ADO∽△OEB，即可得出答案；②先求出点C的坐标，根据点C在线段FG上得出k的取值范围，再写出△AOB的面积的表达式，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵，
∴抛物线顶点Q的坐标为；
（2）∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴，即，
∴，
∴抛物线解析式为；
∵直线AB：经过点(0，2)，
∴直线AB的解析式为，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x1<0
则AD＝y1，OD＝－x1，BE＝y2，OE＝x2，
联立，得，
解得，，
∴ ，
①△AOB是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴，即，
∵∠ADO＝∠BEO＝90°，
∴△ADO∽△OEB，
∴∠AOD＝∠OBE，
∴∠AOD＋∠BOE＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB是直角三角形；
②∵直线AB的解析式为，
∴，由题意得，
∴由反比例函数的性质得，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴即．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质与几何图形结合的综合，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形综合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2020—2021学年厦门市湖滨中学九年级（下）二模试卷
数 学
注意事项：
1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡．
2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分．
3．可以直接使用2B铅笔作图．
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1. 下列各数中，比－1小的数是（ ）
A. 2 B. －2 C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③两个负数绝对值大的反而小进行分析即可．
【详解】解：∵ ，
∴比−1小的数是−2，．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，关键是掌握有理数的比较大小的法则．
2. 如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据俯视图的定义从上向下看几何体，即可得到其俯视图．
【详解】解：∵从上向下看该几何体，可得到下图：
∴选项D符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从上往下看得到的平面图形．
3. “垃圾分一分，环境美十分”下列四种垃圾回收标识中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称的定义，即可判断．
【详解】A、图形旋转180゜后不能与原来的图形重合，故不是中心对称图形；
B、图形旋转180゜后能与原来的图形重合，故是中心对称图形，所以结论正确；
C、图形旋转180゜后不能与原来的图形重合，故不是中心对称图形；
D、图形旋转180゜后不能与原来的图形重合，故不是中心对称图形．
故选：B．
【点睛】本题根据中心对称图形的概念，判断所给图形是否是中心对称图形，判断的关键是旋转180゜后，仍能与原来的图形重合．
4. 如图，直线，点B在直线b上，且，，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由垂线的性质和平角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出∠2的度数．
【详解】解：如图示：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝35°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质、邻补角的概念，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
5. 某兴趣小组为了解我市气温变化情况，记录了今年1月份连续6天的最低气温（单位：℃）：﹣7，﹣4，﹣2，1，﹣2，2．关于这组数据，下列结论不正确的是（ ）
A. 平均数是﹣2 B. 中位数是﹣2 C. 众数是﹣2 D. 方差是﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据算术平均数、中位数、众数和方差的定义求解可得．
【详解】解：将这组数据重新排列为-7、-4、-2、-2、1、2，
∴这组数据的平均数为=-2，故A选项正确，不符合题意；
中位数为=-2，故B选项正确，不符合题意；
∵数据-2出现两次最多，
∴众数为-2，故C选项正确，不符合题意；
方差为×[(-7+2)2+(-4+2)2+2×(-2+2)2+(1+2)2+(2+2)2]=9，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了方差、平均数、中位数及众数的知识，属于基础题，掌握各部分的定义及计算方法是解题关键．
6. 下列运算结果正确的是（ ）
A. x6÷x2＝x3 B. （a﹣5b）（a+5b）＝a2﹣5b2
C. 2x（x﹣5）＝2x2﹣10x D. （2a2）3＝8a5
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法，整式的乘法，幂的乘方等运算法则逐个判断即可．
【详解】解：A、x6÷x2＝x4，选项错误，不符合题意；
B、（a﹣5b）（a+5b）＝a2﹣25b2，选项错误，不符合题意；
C、2x（x﹣5）＝2x2﹣10x，选项正确，符合题意；
D、（2a2）3＝8a6，选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了同底数幂的除法，整式的乘法，幂的乘方等运算法则等内容，解题的关键是熟练掌握同底数幂的除法，整式的乘法，幂的乘方等运算法则．
7. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴可以判断m、n的大小，从而可以解答本题．
【详解】解：由数轴可得，
−1＜m＜0＜2＜n＜3，故选项A错误，选项B错误，
∴m＞−n，即：，故选项C错误，
∵，故选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，判断出m、n的大小，利用数形结合的思想解答．
8. （九章算术）中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集面且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀，6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各重多少斤？”设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“5只雀、6只燕，分别聚集面且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放重量相等”，可得一个方程；根据“5只雀，6只燕重量为1斤”，可得另一个方程，即可选出答案．
【详解】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤
依题意得：
故答案选：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组应用题列式方法，准确找出等量关系式解题关键．
9. 如图，已知AB是半圆⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CD切半圆⊙O于点E，BD⊥CD于点D，若CD＝8，BD＝6，则半圆⊙O的半径为（ ）
A. 3.5 B. 4 C. D. 3.75
【答案】D
【解析】
【分析】连接，利用切线的性质和垂直的定义判定出，再利用相似三角形的比值关系列式运算即可．
【详解】连接
∵CD切半圆⊙O于点E，BD⊥CD
∴
∴
又∵
∴
设圆的半径为，则,
∴
解得：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质建立等量关系是解题的关键．
10. 若二次函数y＝ax2+4ax+1(a≠0)的图象经过(－3－，y1)、(－1+，y2)、(1，y3)、(2，y4)，若y1、y2、y3、y4四个数中有且只有一个小于零，则a的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，先求出二次函数的对称轴，然后需要对函数的开口方向进行讨论，结合点的坐标，即可得到的取值范围，即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数y＝ax2+4ax+1(a≠0)，
∴二次函数的对称轴，
∵，；
∴点(－3－，y1)与点(－1+，y2)是对称点，
∴；
①当时，开口向上，在时，y随x的增大而增大，
∵，
∴；
若，则；
不符合题意；
②当时，开口向下，在时，y随x的增大而减小，
∵，
∴；
∵四个数中有且只有一个小于零，
∴，，
分别把，分别代入解析式，则
，，
解得：，
∴的值可以是；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握二次函数的性质进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：_____．
【答案】．
【解析】
【分析】根据零指数幂和负指数幂计算即可.
【详解】=1+=,故答案为.
【点睛】本题考查了指数幂的运算性质，熟练掌握运算法则是解题的关键.
12. 2020 年是新中国历史上极不平凡的一年．面对严峻复杂的国际形势、艰巨繁重的国内改革发展稳定任务特别是新冠肺炎疫情的严重冲击，以习近平同志为核心的党中央统揽全局，保持战略定力，准确判断形势，精心谋划部署，果断采取行动，付出艰苦努力，及时作出统筹疫情防控和经济社会发展的重大决策．根据《中华人民共和国2020年国民经济和社会发展统计公报》公布的数据，2020年全年国内生产总值达1010000亿余元，比上年增长2.3%．用科学记数法表示 1010000亿元为__亿元．
【答案】1.01×106
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：1010000=1.01×106．
故答案为：1.01×106．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13. 如图，小明根据全班同学喜爱四类电视节目人数而绘制的两幅不完整的统计图，则喜爱动画节目的人数是_____人．
【答案】15
【解析】
【分析】根据统计图中的数据可以求得喜爱动画节目的人数．
【详解】由题意可得，
喜爱动画节目的人数是：(人)，
故答案为．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14. 在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点，的坐标分别为、，点在轴上且，则点的坐标为______．
【答案】（4，0）
【解析】
【分析】依据题意画出图形，过点B作BD⊥x轴于点D，根据平行四边形的对边平行可得 ，在 中，由 ，可求出AD，即可求解．
【详解】解：依据题意画出图形，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵B，
∴OD=5， ，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB∥OC，
∵，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，解得：AD=1，
∴OA=OD-AD=5-1=4，
∴点A（4，0）．
故答案为：（4，0）．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，图形与坐标，根据题意，画出正确图形是解题的关键．
15. 如图，若点O是正六边形ABCDEF的中心，，且角的两边分别交六边形的边AB、EF于M、N两点．若多边形AMONF的面积为，则正六边形ABCDEF的外接圆的面积是__________．
【答案】
【解析】
【分析】连接AO，FO，首先根据正六边形的性质证明出，然后根据多边形AMONF的面积求出△AOB的面积，进而求出AB的长度，即可根据圆的面积公式求得．
【详解】如图所示，连接AO，FO．
∵点O是正六边形ABCDEF的中心，
∴OB=OF，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵多边形AMONF的面积为，
∴菱形ABOF的面积为，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴和都是等边三角形，且，
∴，
又∵，
∴，
解得：．
∴正六边形ABCDEF的外接圆的面积=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，等边三角形和全等三角形等知识，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质，等边三角形和全等三角形的性质．
16. 如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，反比例函数的图象分别与矩形OABC两边AB，BC交于点D，E，沿直线DE将△DBE翻折得到△DFE，且点F恰好落在直线OA上．下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的有_________．（仅填序号即可）
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据题意，运用平行线分线段成比例，由，得到可判断①；过点E作EG⊥OA于点G，证明∽，得到，由矩形的性质，得到即可判断③；由相似三角形的性质，矩形的性质，求出AF的长度，从而得到OF的长度，然后求出，可判断④．
【详解】解：在矩形OABC中，连接AC，设，，
∴点E的纵坐标为b，点D的横坐标为a，
∵点D、E在反比例函数的图像上，
∴点D为（，），点E为（，b），
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴；故①正确；
∵，则，
∵，
∴；故②错误；
过点E作EG⊥OA于点G，如图：
∴，
∴，，
∴，
∴∽，
∴，
易得四边形ABEG是矩形，则EG=AB，EB=GA，
∴，
在直角△EDF中，有，
∴，故③正确；
∵∽，
∴，即，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
∴；故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每个不等式的解集，然后取公共部分，即可得到不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得；
解不等式②，得 ；
∴不等式组的解集为：；
【点睛】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握解不等式的方法进行解题．
18. 如图，在△ABE和△CDF中，点C、E、F、B在同一直线上，BF＝CE，若AB∥CD，∠A＝∠D．求证：AB＝CD．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得∠B＝∠C，根据已知条件可得BE＝CD，结合已知条件∠A＝∠D，即可证明△ABE≌△DCF，进而即可得证AB＝CD．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C．
∵BF＝CE，
∴BF＋EF＝CE＋EF，
即BE＝CF．
∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，BE＝CF
∴△ABE≌△DCF（AAS）．
∴AB＝CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
19. 先化简，再求值：（﹣2）÷，其中x＝﹣1．
【答案】
，1﹣
【解析】
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【详解】解：原式＝
＝
＝，
当x＝﹣1时，
原式＝
＝1﹣．
故答案：，1﹣．
【点睛】本题考查了分式的化简求值及二次根式的运算，属于常考题型，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20. 如图，已知△ABC，∠C＝．
（1）请用尺规作图，在BC边上找一点D，使DA＝DB；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BC＝4，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线交BC于D，点D即为所求．
（2）设BD＝AD＝x，在Rt△ADC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，点D即为所求．
（2）∵∠C＝90°，cosB＝＝，BC＝4，
∴AB＝5，
∴AC＝＝＝3，
设BD＝AD＝x，
在Rt△ADC中，∵AD2＝AC2+CD2，
∴x2＝32+（4﹣x）2，
∴x＝，
∴AD＝BD＝，CD＝4﹣＝，
∴tan∠CAD＝＝＝．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
21. “绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买棵柏树和棵杉树共需元；购买棵柏树和棵杉树共需元．
（1）求柏树和杉树的单价各是多少元；
（2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共棵，且柏树的棵数不少于杉树的倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？
【答案】（1）柏树每棵元，杉树每棵元；（2）柏树购买棵，杉树购买棵时，购树费用最少，最少费用为元．
【解析】
【分析】（1）设柏树每棵元，杉树每棵元，根据两种购买方式建立方程组，然后解方程组即可得；
（2）设购买柏树棵时，购树的总费用为元，从而可得购买杉树的棵树为棵，先根据“柏树的棵数不少于杉树的倍”建立不等式求出a的取值范围，再根据（1）的结论得出关于a的表达式，然后利用一次函数的性质即可得．
【详解】（1）设柏树每棵元，杉树每棵元
根据题意得：
解得
答：柏树每棵元，杉树每棵元；
（2）设购买柏树棵时，购树的总费用为元，则购买杉树的棵树为棵
由题意得：，解得
结合（1）的结论得：
随的增大而增大
又为整数
当时，取得最小值，最小值为
此时，
即柏树购买棵，杉树购买棵时，购树费用最少，最少费用为元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，依据题意，正确建立方程组和得出一次函数的表达式是解题关键．
22. 如图，四边形内接于，是上一点，且，连接并延长交的延长于点，连接．
（1）若，，求的度数；
（2）若的半径为4，且，求的长．
【答案】（1）50°；（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠ADC，再根据圆周角的性质得到∠DCE，即可求出∠E；
（2）根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠ADC=60°，连接AO，CO，过点O作OM⊥AC交AC于点M，再根据垂径定理和直角三角形的性质即可求出AC．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD内接于圆O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=75°，
∵，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC-∠DCE=50°；
（2）∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠B=2∠ADC，
∴2∠ADC+∠ADC=180°，
∴∠ADC=60°，
连接AO，CO，过点O作OM⊥AC交AC于点M，
∵∠ADC=60°，
∴∠AOC=120°，
∵OM⊥AC，
∴∠AOM=∠COM=∠AOC=60°，
∵半径为4，即AO=OC=4，
∴在Rt△AOM中，AM==，
∴AC=2AM=．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
23. 为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A、B、C三种午餐供师生选择，单价分别是：8元、10元、15元．为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A、B、C三种午餐购买情况的数据制成统计表如下，又根据过去平均每份的利润与销售量之间的关系绘制成统计图如下：
种类
数量（份）
A
1800
B
2400
C
800
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）该校师生上周购买午餐费用的中位数是 元；
（2）为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人选择两种不同午餐交替使用，试通过列表或画树状图分析，求该校学生小明选择“AB”组合的概率；
（3）经分析与预测，师生购买午餐种类与数量相对稳定．根据上级规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．
①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价？
②为了便于操作，公司决定只调低一种午餐单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），才能使得下周平均每份午餐的利润在不违反规定下最接近3元，试通过计算说明，应把哪一种午餐的单价调整为多少元？
【答案】（1）10；（2）；（3）①需要；②应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润更接近3元
【解析】
【分析】（1）中位数要求将三种午餐价格从小到大排列，找到最中间的一个数字；
（2）画树状图见解答；
（3）根据条形统计图找到A、B、C的利润，算出总利润，之后除以总人数，计算平均利润，与3元对比即可，对于调低单价，要求对A、B、C三种午餐分别罗列每个讲价1元之后的利润，要明白降的越多，距离3元的利润越远的道理，因此在降价1元时比较三种午餐的利润谁与3元最接近即可作答．
【详解】解：（1） 全校师生上周购买午餐的份数为1800+2400+800=5000（份）.
对于5000份数据，按照从小到大排列后，中位数为第2500和2501个数的平均数，通过统计表知，A+B一共为1800+2400=4200（份），因此中位数为B午餐的费用，即为10元，
故答案为：10；
（2）树状图如下：
根据树状图能够得到共有6种情况：AB，AC，BA，BC，CA，CB．
其中“AB”组合共有2中情况，
∴；
（3）①根据条形统计图得知，A利润为2元，B的利润为4元，C的利润为3元，
平均利润为：（元），
＞3，因此应调低午餐单价；
②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
调低B单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
调低C单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
当A，B，C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，因此最低即为降低1元，此时，当调低ABC大于1元时，平均每份午餐的利润一定小于2.96元，综上，应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润更接近3元．
【点睛】本题主要考查了事件的分类和概率的求法，中位数的概念，统计表、条形统计图的综合运用，用列表法或树状图法求概率，理解列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；对于条形统计图和统计表，要学会综合起来运用，能够根据统计表找到条形统计图中的信息，二者通过综合得到要分析的数据是解题的关键．
24. 已知等边△ABC，D为BC边上一点，点E在线段AD上，且∠EBD＝∠BAD．将△ABE绕着点A逆时针旋转至△ACF，连接EF，交AC于点G．
（1）求∠AFE度数；
（2）判断点E与直线BF位置关系并说明理由；
（3）若，求的值．
【答案】（1）60°；（2）点在直线上，理由见解析；（3）2
【解析】
【分析】（1）求证△EAF为等边三角形，即可求得∠AFE度数；
（2）根据等量关系，求得∠BED＝60°，得到∠AEB＋∠AEF＝180°，从而说明B、E、F三点共线；
（3）设DE＝a，过点D作DM⊥BE于点M，根据三角形相似得到AD＝7a，AE＝EF＝6a，设FG＝x，根据三角函数的定义以及相似三角形求得FG，即可求解．
【详解】解：（1）∵等边△ABC，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°
∵△ABE绕着点A逆时针旋转至△ACF，
∴AE＝AF，∠EAF＝∠BAC＝60°
∴△EAF为等边三角形
∴∠AFE＝60°．
（2）∵△EAF为等边三角形
∴∠AEF＝60°．
∵∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠EBD＝∠BAD
∴∠BED＝∠BAE＋∠ABE＝∠EBD＋∠ABE＝∠ABC＝60°，
∵点E在线段AD上，
∴∠BED＋∠AEB＝180°
∴∠AEB＝120°
∴∠AEB＋∠AEF＝180°．
∴B、E、F三点共线．
（3）设DE＝a，则BD＝a
∵∠EBD＝∠BAD，∠EDB＝∠BDA
∴△EBD∽△BAD
∴
∴AD＝7a，
∴AE＝EF＝6a
过点D作DM⊥BE于点M
∴EM＝DE·，，
∴
∴BE＝BM＋EM＝3a＝CF，
∵
∴AB＝a
∵∠AGB＝∠FGC，∠ABE＝∠GCF
∴△AGB∽△FGC
∴
设FG＝x，则AG＝x，GB＝9a－x，CG＝AC－AG＝a－x，
∴
∴
∴
【点睛】此题考查了旋转的有关性质，相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，熟练掌握有关性质、找到合适的相似三角形是解题的关键．
25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2＋bx．
（1）求抛物线顶点Q的坐标(用含b的代数式表示)；
（2）抛物线与x轴只有一个公共点，经过点(0，2)的直线y＝kx＋n(k<0)与抛物线交于点A，B(点A在点B的左侧)，与x轴交于点C．
①判断△AOB的形状，并说明理由；
②已知F(2，0)，G(4，0)，当点C在线段FG上时，求△AOB的面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）①直角三角形，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据，即可得出答案；
（2）①求出抛物线的表达式为，联立二次函数和一次函数的表达式整理得到，证明△ADO∽△OEB，即可得出答案；②先求出点C的坐标，根据点C在线段FG上得出k的取值范围，再写出△AOB的面积的表达式，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵，
∴抛物线顶点Q的坐标为；
（2）∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴，即，
∴，
∴抛物线解析式为；
∵直线AB：经过点(0，2)，
∴直线AB的解析式为，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x1<0
则AD＝y1，OD＝－x1，BE＝y2，OE＝x2，
联立，得，
解得，，
∴ ，
①△AOB是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴，即，
∵∠ADO＝∠BEO＝90°，
∴△ADO∽△OEB，
∴∠AOD＝∠OBE，
∴∠AOD＋∠BOE＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB是直角三角形；
②∵直线AB的解析式为，
∴，由题意得，
∴由反比例函数的性质得，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴即．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质与几何图形结合的综合，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形综合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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