精品解析：福建省厦门市双十中学思明分校2020-2021学年九年级下学期中考二模（6月）数学试题（解析版+原卷版）

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厦门双十中学思明分校初三第二次模拟考试
一、选择题（共10小题）
1. 下列各数中比小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比-2小的数是-3．
【详解】∵|-3|=3，|-1|=1，
又0＜1＜2＜3，
∴-3＜-2，
所以，所给出的四个数中比-2小的数是-3，
故选：A
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．
2. 下列图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3. 如图，中，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角形的内角和定理求出∠C的度数，然后由平行线的性质，即可得到答案．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，以及平行线的性质，解题的关键是掌握所学的性质，正确求出角的度数．
4. 如图所示的主视图对应的几何体是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据主视图是在正面内得到的由前向后观察物体的视图，逐一判断即可．
【详解】A：的主视图为，故此选项错误；
B：的主视图为，故此选项正确；
C：的主视图为，故此选项错误；
D：主视图为，故此选项错误；
答案故选B
【点睛】本题主要考查了三视图，理解主视图的特点和熟记看的见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线是解题的关键．
5. 某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的数利用科学记数法表示的一般形式为a×10-n，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00000164=1.64×10-6，
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小数的方法，写成a×10n的形式是关键．
6. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（ ）

A 2 B. -1 C. -2 D. -3
【答案】B
【解析】
【分析】先根据数轴的定义得出a的取值范围，从而可得出b的取值范围，由此即可得．
【详解】由数轴的定义得：


又
到原点的距离一定小于2
观察四个选项，只有选项B符合
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴的定义，熟记并灵活运用数轴的定义是解题关键．
7. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加；同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；幂的乘方，利用排除法求解．
【详解】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、5a-3a=2a，故本选项正确；
D、，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，关键是掌握运算法则．
8. “五一”节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设实际参加游览的同学共x人，则原有的几名同学每人分担的车费为：元，出发前每名同学分担的车费为：，根据每个同学比原来少摊了3元钱车费即可得到等量关系．
【详解】解：设实际参加游览的同学共x人，
根据题意得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；易错点是得到出发前后的人数．
9. 如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（　　）

A. 10° B. 14° C. 16° D. 26°
【答案】C
【解析】
【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数．
【详解】解：连接BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，
∴∠CAB＝∠BDC＝16°．
故选：C．

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
10. 已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值（ ）
A. B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的图像经过，，可得到二次函数的对称轴x=，又根据对称轴公式可得x=b，由此可得到b与c的数量关系，然后由该二次函数的图象与x轴有公共点列出不等式解答即可
【详解】解：∵二次函数的图像经过，，
∴对称轴x=，即x=，
∵对称轴x=b，
∴=b，化简得c=b-1，
∵该二次函数的图象与x轴有公共点，
∴△=
=
=
=
∴b=2，c=1，
∴b+c=3，
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，包括图像上点的坐标特征、对称轴，利用抛物线与x轴交点的情况列出不等式，求得b，c的值.
二、填空题（本题有6小题）
11. 计算：______．
【答案】3．
【解析】
【分析】根据零次幂和绝对值的计算法则化简，再按照有理数的加减法法则计算即可．
【详解】解：1+2=3．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
12. 在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为_________．
【答案】24
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
【详解】解：∵共试验100次，其中有20次摸到红球，
∴白球所占的比例为：，
设袋子中共有白球x个，则，
解得：x=24，
经检验：x=24是原方程解，
故答案为：24．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
13. 已知正n边形的一个内角为，则n的值是_____________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据正n边形的每一个内角公式计算即可；
【详解】∵正n边形的一个内角为，
∴，
解得：；
故答案是8．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，准确计算是解题的关键．
14. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留π）

【答案】8﹣2π
【解析】
【分析】根据S阴=S△ABD-S扇形BAE计算即可．
【详解】解：S阴=S△ABD-S扇形BAE=×4×4-=8-2π，
故答案为8-2π．
【点睛】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．
15. 定义：对于线段和点P，当，且时，称点P为线段的“等距点”．特别地，当，且时，称点P为线段的“强等距点”．在平面直角坐标系中，点A的坐标为；若点B是线段的“强等距点”，且在第一象限，则点B的坐标为___．
【答案】，
【解析】
【分析】过点B作BM⊥x轴于点M，根据“强等距点”的定义可得出∠ABO=120°，BO=BA，根据等腰三角形的性质以及特殊角的三角函数值即可求出线段OM、BM的长度，再由点B在第一象限即可得出结论．
【详解】解：如图，过点．作轴于点，

点是线段的“强等距点”，
，，
轴于点，
，．
在中，，，
．
点的坐标为，或，，
点在第一象限，
，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，等腰三角形的性质，读懂题意明白“等距点”和“强等距点”的性质是解题的关键．
16. 如图，已知双曲线y＝（x＜0）和y＝（x＞0），与直线交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y＝，与y轴分别交于点，与双曲线y＝交于点，S△ABC＝6，BP：CP＝2：1，则k的值为____．

【答案】﹣3．
【解析】
【分析】如图连接OB、OC，作 于点E， 于点F．根据OA//BC，得到 ，根据已知条件得到 ，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图连接OB，OC，CF⊥y轴于F，过作轴于

∵OA∥BC，
∴S△OBC＝S△ABC＝6，
∵，
∴S△OPB＝4，S△OPC＝2，
∵S△OBE＝
∴
轴，轴，

∵△BEP∽△CFP，
∴

∴S△OCF＝，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次图数的交点问题，三角形的面积的计算，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
三、解答题（本大题有9小题）
17. 解不等式组：
【答案】x＞2
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：，
由①得x＞1，
由②得x＞2，
∴原不等式组的解集是x＞2．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18. 如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且,连接和相交于点．
求证： ．

【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再证明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案．
【详解】证明：∵四边形ABCD正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵CE=DF，
∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，
在△BCF和△ABE中，

∴（SAS），
∴AE=BF．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
19. 先化简再求值：，其中 ．
【答案】，
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将m的值代入计算即可求出值．
【详解】
=
=
=
当时
原式=
=
=
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【解析】
【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD＝180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OD，

∵，
∴∠BOD＝180°＝60°，
∵，
∴∠EAD＝∠DAB＝BOD＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝＝3．

【点睛】本题考查了切线的证明，及线段长度的计算，熟知圆的性质及切线的证明方法，以及含30°角的直角三角形的特点是解题的关键．
21. 新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售A，B两种型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中A，B两种型号口罩所获利润之比为2：3．已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍．
（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；
（2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍，设购进A型口罩m只，这10000只口罩的销售总利润为W元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？
【答案】（1）每只A型口罩和B型口罩的销售利润分别为0.5元，0.6元；（2）药店购进A型口罩4000只、B型口罩6000只，才能使销售总利润最大，最大利润为5600元
【解析】
【分析】（1）设销售A型口罩x只，销售B型口罩y只，根据“药店三月份共销售A，B两种型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中A，B两种型号口罩所获利润之比为2：3”列方程组解答即可；
（2）根据题意即可得出W关于m的函数关系式；根据题意列不等式得出m的取值范围，再结合根据一次函数的性质解答即可．
【详解】解：设销售A型口罩x只，销售B型口罩y只，根据题意得：
，
解得，
经检验，x＝4000，y＝5000是原方程组的解，
∴每只A型口罩的销售利润为：（元），
每只B型口罩的销售利润为：0.5×1.2＝0.6（元），
答：每只A型口罩和B型口罩的销售利润分别为0.5元，0.6元．
（2）根据题意得，W＝0.5m+0.6（10000﹣m）＝﹣0.1m+6000，
10000﹣m≤1.5m，解得m≥4000，
∵0.1＜0，
∴W随m的增大而减小，
∵m为正整数，
∴当m＝4000时，W取最大值，则﹣0.1×4000+6000＝5600，
即药店购进A型口罩4000只、B型口罩6000只，才能使销售总利润最大，最大利润为5600元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．
22. 2020年是脱贫攻坚决胜之年，某精准扶贫帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，全力支持甲、乙两个贫困户种植苹果，并利用互联网电商渠道进行销售。为了更好地销售，某电商从甲、乙两户苹果树上各随机摘取80个苹果进行测评，给出测评结果，并整理成如下统计：
测评结果（等级）
不合格
合格
中档
优质
甲
4
20
32
24
乙
4
24
36
16
并且以测评结果在各组数据所在范围内的频率代表概率．
（1）在“优质苹果”中，从甲户苹果中抽取2个，乙户苹果中抽取2个，再从这4个苹果中随机抽取2个，试用画树状图或列表的方法，求这2个苹果来自不同贫困户的概率．
（2）己知甲、乙两个贫困户大约各有50000个苹果待售，其投入成本分别为40000元和45000元．某电商提出的收购方案是：“优质苹果”以每个3元的价格收购，“中档苹果”以每个2元的价格收购，“合格苹果”以每个1元的价格收购，“不合格苹果”不收购．若甲、乙两个贫困户利润之差大于或等于20000元，则帮扶单位对利润低的贫困户给予20000元的额外补贴，否则继续按原政策执行，不再进行额外补贴，问该精准扶贫帮扶单位是否要对甲贫困户或乙贫困户进行额外补贴？
【答案】（1）；（2）不需要
【解析】
【分析】（1）从甲户苹果中抽取的2个分别标记为A，B，乙户苹果中抽取的2个标记为a，b，画出树状图解答即可；
（2）根据抽样，分别求出甲，乙两用户苹果的单价，再根据单价和投入即可求得利润，根据利润之差与20000元的比较可得结论．
【详解】解：（1）从甲户苹果中抽取的2个分别标记为A，B，
乙户苹果中抽取的2个标记为a，b，
画树状图如下：

共有12中等可能的结果，其中2个苹果来自不同贫困户的情况有8种，
∴2个苹果来自不同贫困户的概率为=；
（2）根据抽取的样品，甲户每一个苹果的单价约为=1.95元，
总利润约为1.95×50000-40000=57500，
乙用户的每一个苹果的单价约为=1.8元，
总利润约为1.8×50000-45000=45000元，
∵57500-45000=12500＜20000，
∴精准扶贫帮扶单位不需要对甲贫困户或乙贫困户进行额外补贴．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，求加权平均数，样本估计总体，解题时要注意（1）中为不放回试验，（2）中利用加权平均数求得单价．
23. 如图，已知四边形ABCD是矩形，AC为对角线．
（1）把△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△AEF，点B的对应点为E，点C的对应点F在CD的延长线上，请你在图中作出△AEF．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：B，D，E三点共线．

【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）延长CD，以A为圆心AC长为半径画弧交CD延长线即为F．以F为圆心BC长为半径画弧，以A为圆心AB长为半径画弧，两段弧交于点E．最后连接AE、EF、AF即可．
（2）连接DE，BE．由题意可知∠AEF=∠ADF=90°，即A，F，D，E四点共圆，即可知道∠AED+∠AFD=180°．再由AF=AC结合题意可进一步证明∠ABD=∠AFD．最后由AB=AE可知∠ABE=∠AEB，即推出∠AFD=∠AEB，即可证明∠DEA+∠AEB=180°．
【详解】（1）如图，△AEF即为所求．

（2）如图，连接DE，BE．

∵∠AEF=∠ADF=90°，
∴A，F，D，E四点共圆，
∴∠AED+∠AFD=180°．
∵AF=AC，
∴∠ACD=∠AFD．
∵∠ACB=∠AFE，∠ACB+∠ACD=90°，∠AFE+∠FAE=90°，∴∠ACD=∠EAF=∠AFD．
∵∠ABD=∠EAF，
∴∠ABD=∠AFD．
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠AFD=∠AEB，
∴∠DEA+∠AEB=180°，
∴B，E，D共线．
【点睛】本题考查作图-旋转变换、矩形和等腰三角形的性质以及圆的确定条件和圆的性质．需理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24. 如图1，四边形的对角线相交于点O，．
（1）过点A作交于点E，
①求证：；
②求证：；
（2）如图2，将沿翻折得到，若，求证：．

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）①根据平行线的性质得到，利用定理证明；
②根据全等三角形的性质得到，根据题意证明结论；
（2）过点A作交于点E，交于点F，证明，根据相似三角形的性质证明即可．
【详解】（1）证明：①∵，
∴，
在和中，
，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图2，过点A作交于点E，交于点F，

∵，
∴，
由翻折可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由②可知，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、翻折变换的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴的交点为C，顶点为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若平行于x轴的直线与抛物线交于M，N两点，与抛物线的对称轴交于点H，若点H到x轴的距离是线段MN长的，求线段的长；
（3）若经过C，D两点的直线与x轴相交于点E，F是y轴上一点，且AF∥CD，在抛物线上是否存在点P，使直线恰好将四边形的周长和面积同时平分？如果存在；如果不存在，请说明理．

【答案】（1）；（2）或；（3）存在，，
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式；
（2）如图1，抛物线的对称轴与直线相交于点，与轴相交于点，设直线的表达式为，由直线与抛物线交点的求法和两点间的距离公式分别求得、的长度，结合已知条件“点到轴的距离是线段长的”列出方程，通过解方程求得答案；
（3）如图2，设直线分别与，交于点，，设，若直线将四边形的面积平分，则，即，由此推知；然后得到四边形是等腰梯形，设其高为，当时，有，计算得到，此时直线也将四边形的周长平分．
【详解】解：（1）抛物线过点，
．
抛物线的的顶点为，

解得：
所求抛物线的表达式为；
（2）如图1，抛物线的对称轴与直线相交于点，与轴相交于点，

设直线的表达式为，代入，
得．
即，
解得，．
线段的长为．
由题意可知，
．
整理，得，
解得或．
当时，直线在轴的上方，
．
当时，直线在轴的下方，
．
综上所述，线段的长度是或．
（3）在中，令，得，．
在的左侧，
，．
，．
易求得直线的表达为，
令，得．
，
．
，
，
．
，
．
．
又，可得直线的表达式为．
如图2，设直线分别与，交于点，，设，

易得直线的表达式为．
联立，
解得，
，．
．
若直线将四边形的面积平分，则，
即，
解得．
，，
．
四边形是等腰梯形，设其高为，
当时，有，
即．
．
此时直线也将四边形的周长平分．
当时，直线的表达式为，
联立，
解得，．
，
，．
综上所述，在抛物线上存在点，，使直线恰好将四边形的周长和面积同时平分．
【点睛】本题属于二次函数综合题型，主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．解题过程中，运用方程思想和数形结合的数学思想解答．