小题综合练3解析版

这是一份小题综合练3解析版，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．已知复数z满足(1－i)z＝2＋ai(a∈R)，且z是纯虚数，则a＝( )
A．2B．－2
C．1D．－1
解析 由题意可得，z＝eq \f(2＋ai,1－i)＝eq \f(2＋ai1＋i,1－i2)＝eq \f(2－a＋2＋ai,2)是纯虚数，因而eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2－a,2)＝0，,\f(2＋a,2)≠0，))得a＝2，故选A。
答案 A
2．已知全集U＝{(x，y)|x，y∈R}，集合A＝{(x，y)|x2＋y2≠2}，集合B＝{(x，y)|y＝x2}，则(eq \a\vs4\al(∁UA))∩B＝( )
A．{－1,1}B．{－2,1}
C．{(－1，eq \r(2))，(1，eq \r(2))}D．{(－1,1)，(1,1)}
解析 eq \a\vs4\al(∁UA)＝{(x，y)|x2＋y2＝2}中的元素表示以原点为圆心，半径为eq \r(2)的圆上的点，而B中的元素表示抛物线y＝x2上的点，从而(eq \a\vs4\al(∁UA))∩B中的元素表示两曲线的交点，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝2，,y＝x2))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))则(eq \a\vs4\al(∁UA))∩B＝{(－1,1)，(1,1)}，故选D。
答案 D
3．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的实轴长为4，其焦点到渐近线的距离为eq \r(3)，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(\r(7),2) C.eq \r(3) D.eq \r(5)
解析 由题意得a＝2，一条渐近线l：bx－ay＝0，设双曲线的右焦点为F(c,0)，则点F到直线l的距离d＝eq \f(|bc|,\r(a2＋b2))＝eq \f(|bc|,c)＝b＝eq \r(3)，所以c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(7)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),2)。
答案 B
4．北京公交车101路是北京最早的无轨电车之一，最早可追溯至1957年，其站点如图所示。游客甲与乙同时从红庙路口西站上了开往百万庄西口站方向的101路公交车，甲将在故宫站之前的任意一站下车，乙将在展览路站之前的任意一站下车，他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下车的概率为( )
A.eq \f(48,209) B.eq \f(11,48) C.eq \f(50,209) D.eq \f(5,19)
解析 甲、乙下车的所有可能情况有11×19＝209(种)，若乙在小庄路口东站下车，则甲可在呼家楼西站到沙滩路口西站中任意一站下车，共有10种可能；若乙在呼家楼西站下车，则甲可在关东店站到沙滩路口西站中任意一站下车，共有9种可能；……若乙在美术馆东站下车，则甲只能在沙滩路口西站下车，只有1种可能。故甲比乙后下车的概率为eq \f(10＋9＋…＋1,11×19)＝eq \f(55,209)＝eq \f(5,19)。故选D。
答案 D
5．已知等比数列{an}的前5项积为32,1cln c＝1，则( )
A．eb＋cln a>ec＋aln b>ea＋bln c
B．ec＋aln b>eb＋cln a>ea＋bln c
C．ea＋bln c>ec＋aln b>eb＋cln a
D．ea＋bln c>eb＋cln a>ec＋aln b
解析 令f(x)＝xln x，则f′(x)＝1＋ln x，当0f(b)>f(c)＝1，所以a>b>c>1。令g(x)＝eq \f(ln x,ex)，则g′(x)＝eq \f(\f(1,x)－ln x,ex)。易知函数y＝eq \f(1,x)－ln x在(0，＋∞)上单调递减，又知cln c＝1，所以eq \f(1,c)－ln c＝eq \f(1,c)－eq \f(1,c)＝0，则eq \f(1,x)－ln x＝0在(0，＋∞)上有唯一解c, 故g′(x)＝0在(0，＋∞)上有唯一解c, 即当x>c时，g′(x)0，解得r