立体几何小题专练解析版

这是一份立体几何小题专练解析版，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．下列四种说法中，正确的是( )
A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．相等的线段在直观图中不一定相等
C．一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
解析 有两个面互相平行且全等，其余各面都是平行四边形，并且相邻的两个平行四边形的公共边都相互平行，这些面围成的几何体叫棱柱，故A不正确。相等的线段在直观图中不一定相等，故B正确；一个直角三角形绕其一个直角边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥，故C不正确；用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故D不正确。故选B。
答案 B
2．已知两条不同的直线l，m与两个不同的平面α，β，下列命题正确的是( )
A．若l∥α，l⊥m，则m⊥α
B．若α∥β，m∥α，则m∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析 在A中，若l∥α，l⊥m，则m与α平行或m与α相交或m⊂α，故A错误；在B中，若α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，故B错误；在C中，若l⊥α，l∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若l∥α，m∥α，则l与m相交、平行或异面，故D错误。故选C。
答案 C
3．棱长为2的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的体积为( )
A．eq \f(8\r(2)π,3)B．eq \f(64\r(2)π,3)
C．4eq \r(3)πD．32eq \r(3)π
解析 由正方体的体对角线为其外接球的直径，可得(2R)2＝3×22，解得R＝eq \r(3)，所以外接球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π(eq \r(3))3＝4eq \r(3)π，故选C。
答案 C
4．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有( )
A．AH⊥平面EFHB．AG⊥平面EFH
C．HF⊥平面AEFD．HG⊥平面AEF
解析 由平面图形得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，所以AH⊥平面EFH，故选A。
答案 A
5．如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝3，AB＝5，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，则三棱锥A1­B1CD的体积是( )
A．12B．10
C．8D．6
解析 在△ABC中，过C作CF⊥AB，垂足为F，由平面ABB1A1⊥平面ABC知，CF⊥平面ABB1A1，所以VA1­B1CD ＝VC­A1DB1。而S△A1DB1＝eq \f(1,2)A1B1·AA1＝eq \f(1,2)×5×4＝10，CF＝eq \f(AC·BC,AB)＝eq \f(3×4,5)＝eq \f(12,5)，所以VA1­B1CD＝VC­A1DB1＝eq \f(1,3)S△A1DB1·CF＝eq \f(1,3)×10×eq \f(12,5)＝8，故选C。
答案 C
6．对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：
小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级( )
A．小雨
B．中雨
C．大雨
D．暴雨
解析 由相似关系可得，小圆锥的底面半径r＝eq \f(\f(200,2),2)＝50，故V小锥＝eq \f(1,3)×π×502×150＝503·π，从而可得积水厚度h＝eq \f(V小锥,S大圆)＝eq \f(503·π,π·1002)＝12.5，属于中雨。
答案 B
7.如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为eq \f(1,3)，则该正四棱柱的高为( )
A．2B．3
C．4D．5
解析 解法一：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，设正四棱柱的高为h，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0，h)，C1(0,2，h)，eq \(CC1,\s\up16(→))＝(0,0，h)，eq \(AC,\s\up16(→))＝(－2,2,0)，eq \(CD1,\s\up16(→))＝(0，－2，h)。设平面ACD1的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AC,\s\up16(→))＝－2x1＋2y1＝0，,n·\(CD1,\s\up16(→))＝－2y1＋hz1＝0，))令z1＝2，则y1＝h，x1＝h，n＝(h，h,2)为平面ACD1的一个法向量。又直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为eq \f(1,3)，所以|cs〈n，eq \(CC1,\s\up16(→))〉|＝eq \f(|n·\(CC1,\s\up16(→))|,|n||\(CC1,\s\up16(→))|)＝eq \f(2h,\r(2h2＋4)·h)＝eq \f(1,3)，解得h＝4，故选C。
解法二：设CC1＝x，设C1到平面ACD1距离为h，则VC1­ACD1＝VA­CC1D1，即eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2eq \r(2)eq \r(x2＋4－2)·h＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2x·2⇒eq \f(h,x)＝eq \f(\r(2),\r(2＋x2))＝eq \f(1,3)，解得x＝4。
答案 C
8．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P，Q分别为AB，AD的中点，过点D作平面α，使B1P∥平面α，A1Q∥平面α，若直线B1D1∩平面α＝M，则eq \f(MD1,MB1)的值为( )
A．eq \f(1,4)B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(2,3)
解析 如图，取A1D1的中点E，C1D1的中点F，连接DE，EF，DF。易知B1P∥DF，A1Q∥DE，则平面DEF就是平面α。EF与B1D1相交于点M，连接A1C1，与B1D1相交于点O，易证点M是D1O的中点。又O是B1D1的中点，所以eq \f(MD1,MB1)＝eq \f(1,3)。故选B。
答案 B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知a，b为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A．若a∥α，α∥β，则a∥βB．若α∥β，β∥γ，则α∥γ
C．若a⊥α，b⊥α，则a∥bD．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β
解析 若a∥α，α∥β，则a∥β或a⊂β，故a不一定平行于β，A错误；若α∥β，β∥γ，则α∥γ，B正确；若a⊥α，b⊥α，则a∥b，C正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或α∥β，D错误。故选BC。
答案 BC
10.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C为圆上异于点A，B的任意一点，则下列关系正确的是( )
A．PA⊥BC
B．AC⊥PB
C．BC⊥平面PAC
D．PC⊥PB
解析 由题意，知PA⊥平面ABC。因为BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，A正确。因为∠ACB为直径AB所对的圆周角，所以AC⊥BC，又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，C正确。假设AC⊥PB。因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC。因为AC⊥BC，AC⊥PB，且PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，所以AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与PA⊥AC矛盾，B错误。由BC⊥平面PAC，得BC⊥PC，则△PCB为直角三角形，所以PC⊥PB不成立，D错误。故选AC。
答案 AC
11．如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝eq \r(2)AA1，E，F分别为AB，BC的中点，异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为m，则( )
A．m＝eq \f(\r(3),3)
B．直线A1E与直线C1F共面
C．m＝eq \f(\r(2),3)
D．直线A1E与直线C1F异面
解析 如图，连接DC1，DF，则DC1∥AB1，所以∠DC1F为异面直线AB1与C1F所成的角。因为AB＝eq \r(2)AA1，ABCD­A1B1C1D1为正四棱柱，E，F分别为AB，BC的中点，设AA1＝eq \r(2)，则AB＝2，C1D＝eq \r(6)，C1F＝eq \r(3)，DF＝eq \r(5)，所以在△DFC1中，根据余弦定理得cs∠DC1F＝eq \f(6＋3－5,2×\r(6)×\r(3))＝eq \f(\r(2),3)，所以m＝eq \f(\r(2),3)。连接A1C1，AC，EF，则A1C1∥AC，EF∥AC，所以EF∥A1C1，所以A1E与C1F共面。故选BC。
答案 BC
12.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°。侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是( )
A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PBM
B．异面直线AD与PB所成的角为90°
C．二面角P­BC­A的大小为45°
D．BD⊥平面PAC
解析 对于A，取AD的中点M，连接PM，BM，因为侧面PAD为正三角形，所以PM⊥AD，又底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，所以三角形ABD是等边三角形，所以AD⊥BM，又PM∩BM＝M，所以AD⊥平面PBM，故A正确。对于B，因为AD⊥平面PBM，所以AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确。对于C，因为底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，平面PAD⊥平面ABCD，所以BM⊥BC，则∠PBM是二面角P­BC­A的平面角。设AB＝1，则BM＝eq \f(\r(3),2)，PM＝eq \f(\r(3),2)，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝eq \f(PM,BM)＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P­BC­A的大小为45°，故C正确。对于D，假设BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC，则PO⊥BD，但PD＝1，PB＝eq \f(\r(6),2)，故△PBD不是PD＝PB的等腰三角形，PO与BD不垂直，故假设错误。故选ABC。
答案 ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2eq \r(2)，点D为棱A1B1的中点，则异面直线AD与CB1所成角的大小为________。
解析 如图，取AB的中点E，连接B1E，CE，则AD∥EB1，所以异面直线AD与CB1所成的角即为∠CB1E。在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2eq \r(2)，所以CBeq \\al(2,1)＝CB2＋BBeq \\al(2,1)＝4＋(2eq \r(2))2＝12，EBeq \\al(2,1)＝EB2＋BBeq \\al(2,1)＝1＋(2eq \r(2))2＝9。又△ABC为正三角形，所以CE＝eq \r(3)。在△CEB1中，由余弦定理，得cs∠CB1E＝eq \f(CB\\al(2,1)＋EB\\al(2,1)－CE2,2CB1·EB1)＝eq \f(12＋9－3,2×\r(12)×3)＝eq \f(\r(3),2)，所以∠CB1E＝30°。所以异面直线AD与CB1所成角的大小为30°。
答案 30°
14.在日常生活中，我们常常会在各种建筑工地或者建材市场上看到堆积如山的石子，它的主要成分是碳酸钙，各种石料的密度有所差异。如图，某雕刻师计划在底面边长为2 m，高为4 m的正四棱柱形的石料ABCD­A1B1C1D1中，雕出一个四棱锥O­ABCD和球M的组合体(接口处石料忽略不计)，其中O为正四棱柱的中心，则球M的半径r的最大值为________m，此时该雕刻师需去除的石料的质量约为________kg。(其中π≈3.14，石料的密度ρ＝2.4 g/cm3)
解析 易知当球M同时与平面A1B1C1D1和平面ADD1A1相切时半径最大，即rmax＝1 m。正四棱柱的体积V1＝22×4＝16(m3)，四棱锥O­ABCD的底面为正四棱柱的底面，高为正四棱柱中心到底面的距离，为2 m，所以四棱锥O­ABCD的体积V2＝eq \f(1,3)×22×2＝eq \f(8,3)(m3)。因为此时球M的半径为1 m，所以其体积V3＝eq \f(4,3)π×13＝eq \f(4π,3)(m3)。故去除石料的体积V＝V1－V2－V3＝16－eq \f(8,3)－eq \f(4π,3)＝eq \f(40－4π,3)(m3)。ρ＝2.4 g/cm3＝2 400 kg/m3，故雕刻师需去除的石料的质量m＝ρV＝2 400×eq \f(40－4π,3)≈21 952(kg)。
答案 1 21 952
15．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内(不包括边界)，若B1P∥平面A1BM，则C1P的最小值是________。
解析 如图，取BC的中点N，连接B1D，B1N，DN，作CO⊥DN交DN于点O，连接C1O。易知DN∥MB，B1N∥A1M且DN∩B1N＝N，MB∩A1M＝M，
所以平面B1DN∥平面A1BM，所以动点P在底面ABCD内的轨迹为线段DN(不含端点)。又CC1⊥平面ABCD，所以当点P与点O重合时，C1P取得最小值。因为eq \f(1,2)DN·CO＝eq \f(1,2)DC·NC，所以CO＝eq \f(\f(1,2),\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(5),5)，所以(C1P)min＝C1O＝eq \r(CO2＋CC\\al(2,1))＝eq \r(\f(1,5)＋1)＝eq \f(\r(30),5)。
答案 eq \f(\r(30),5)
16．在四面体ABCD中，AD＝AC＝BC＝BD，AB＝CD＝4eq \r(2)，球O是四面体ABCD的外接球，过点A作球O的截面，若最大的截面面积为9π，则四面体ABCD的体积为________。
解析 由于四面体ABCD对棱相等，因此可以把此四面体放在长方体中，如图所示。因为AB＝CD＝4eq \r(2)，所以该长方体的长和宽都是4，设该长方体的高为h，则四面体ABCD的外接球即此长方体的外接球。设球O的半径为R，则R＝eq \f(\r(42＋42＋h2),2)＝eq \f(\r(32＋h2),2)。因为过点A作球O的截面，最大的截面面积为9π，所以R＝3，所以h＝2，故四面体ABCD的体积为4×4×2－eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×4×4×2×4＝eq \f(32,3)。
答案 eq \f(32,3)
0～10
10～25
25～50
50～100
小雨
中雨
大雨
暴雨