数列小题专练解析版

这是一份数列小题专练解析版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋1，则a1＋a3＝( )
A．6B．7
C．8D．9
解析 因为Sn＝n2＋1，所以a1＝2，a3＝S3－S2＝10－5＝5。则a1＋a3＝7。故选B。
答案 B
2．已知等比数列{an}中，a2＝2，a6＝8，则a3a4a5＝( )
A．±64B．64
C．32D．16
解析 由等比数列的性质可知a2a6＝a3a5＝aeq \\al(2,4)＝16，而a2，a4，a6同号，所以a4＝4，所以a3a4a5＝aeq \\al(3,4)＝64。
答案 B
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－3,2a4＋3a7＝9，则S7的值为( )
A．21B．1
C．－42D．0
解析 解法一：设等差数列{an}的公差为d，则2a4＋3a7＝2(a1＋3d)＋3(a1＋6d)＝5a1＋24d＝9。将a1＝－3代入可得d＝1，所以S7＝7a1＋eq \f(7×6,2)d＝7×(－3)＋21×1＝0。故选D。
解法二：由等差数列的性质可得2a4＋3a7＝a1＋a7＋3a7＝9。因为a1＝－3，所以a7＝3，所以S7＝eq \f(7a1＋a7,2)＝eq \f(7×－3＋3,2)＝0。故选D。
答案 D
4．公比不为1的等比数列{an}中，若a1a5＝aman，则mn不可能为( )
A．5B．6
C．8D．9
解析 由等比数列{an}满足a1a5＝aman，可得m＋n＝1＋5＝6，且m，n∈N*，所以m，n的可能取值分别为m＝1，n＝5或m＝2，n＝4或m＝3，n＝3或m＝4，n＝2或m＝5，n＝1，所以mn不可能为6。故选B。
答案 B
5．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an＋3，an为奇数，,2an＋1，an为偶数，))则a6＝( )
A．16B．25
C．28D．33
解析 因为a1＝1，所以a2＝a1＋3＝4，a3＝2a2＋1＝9，a4＝a3＋3＝12，a5＝2a4＋1＝25，a6＝a5＋3＝28。故选C。
答案 C
6．已知等差数列{an}的前n项和是Sn，公差d不等于零，若a2，a3，a6成等比数列，则( )
A．a1d>0，dS3>0B．a1d>0，dS30。由S6>S5，得S6－S5＝a6>0。对于A，因为a6>0，a70，故C错误；对于D，因为a6>0，a71，eq \f(a2 019－1,a2 020－1)…>0。因为S2 020－S2 019＝a2 020>0，所以S2 0191，所以S2019S2 021＝S2 019(S2 019＋a2 020＋a2 021)＝Seq \\al(2,2 019)＋S2 019·(a2 020＋a2 021)>Seq \\al(2,2 019)>1，即S2 019S2 021－1>0，故选项B错误。根据a1>a2>…>a2 019>1>a2 020>…>0，可知T2 019是数列{Tn}中的最大值，故选项C正确，D不正确。故选AC。
答案 AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1≠0，a2＝3a1，则eq \f(S10,S5)＝________。
解析 解法一：由a1≠0，a2＝3a1，可得d＝2a1，所以S10＝10a1＋eq \f(10×9,2)d＝100a1，S5＝5a1＋eq \f(5×4,2)d＝25a1，所以eq \f(S10,S5)＝4。
解法二：设等差数列{an}的公差为d，由a1≠0，a2＝3a1，得d＝2a1，则eq \f(S10,S5)＝eq \f(10a1＋a10,5a1＋a5)＝eq \f(102a1＋9d,52a1＋4d)＝eq \f(200a1,50a1)＝4。
答案 4
14．已知数列{an}满足a1＝1，a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝2n＋1－2，则a2n＋a2n＋1＝________。
解析 a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＋anan＋1＝2n＋1－2 ①，当n＝1时，a2＝2；当n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝2n－2 ②。①②两式相减得anan＋1＝2n(n≥2)，同理可得an＋1an＋2＝2n＋1，所以eq \f(an＋2,an)＝2(n≥2)，又易知a3＝2，所以数列{an}中的奇数项和偶数项分别依次构成等比数列，用等比数列的通项公式可求得a2n＝2n，a2n＋1＝2n，所以a2n＋a2n＋1＝2n＋1。
答案 2n＋1
15．在数列{an}中，Sn为它的前n项和，已知a2＝1，a3＝6，且数列{an＋n}是等比数列，则Sn＝________________________________________________________________________。
解析 因为a2＝1，a3＝6，且数列{an＋n}是等比数列，所以a2＋2＝3，a3＋3＝9，q＝3，所以an＋n＝3×3n－2＝3n－1，所以an＝3n－1－n，所以Sn＝30－1＋31－2＋…＋3n－1－n＝eq \f(1－3n,1－3)－eq \f(n1＋n,2)＝eq \f(3n－n2＋n＋1,2)。
答案 eq \f(3n－n2＋n＋1,2)
16．数列{an}满足a1＝1，an(2Sn－1)＝2Seq \\al(2,n)(n≥2，n∈N*)，则an＝____________________。
解析 因为an(2Sn－1)＝2Seq \\al(2,n)(n≥2)，所以(Sn－Sn－1)·(2Sn－1)＝2Seq \\al(2,n)(n≥2)，化简得Sn－1－Sn＝2SnSn－1，易知Sn≠0，则eq \f(1,Sn)－eq \f(1,Sn－1)＝2(n≥2)，所以Sn＝eq \f(1,2n－1)，则an＝Sn－Sn－1＝－eq \f(2,2n－12n－3)，n≥2。经验证，当n＝1时，不符合an＝－eq \f(2,2n－12n－3)。综上，an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,－\f(2,2n－12n－3)，n≥2。))
答案 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,－\f(2,2n－12n－3)，n≥2))