广东省署山市三水区2021年中考数学一模试题（含答案与解析）

这是一份广东省署山市三水区2021年中考数学一模试题（含答案与解析），共24页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年广东省佛山市三水区中考数学一模试卷
一、选择题（共10小题）.
1．2021的相反数是（　　）
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
2．已知点A与点B关于原点对称，若点A的坐标为（﹣2，3），则点B的坐标是（　　）
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
3．将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．甲袋中装有2张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片，颜色分别为红色、黄色、绿色．从这两个口袋中各随机抽取1张卡片，取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．已知x＞2，则下列二次根式定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
6．尺规作图作角的平分线，作法步骤如下：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；
③过点P作射线OP，射线OP即为所求．

则上述作法的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
7．关于x的函数y＝k（x﹣1）和y＝（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
9．方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（　　）

A．b2＞4ac
B．abc＜0
C．a﹣c＜0
D．am2+bm≥a﹣b （m为任意实数）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．分解因式：25﹣x2＝　 　．
12．若某个正多边形的每一个外角都等于其相邻内角的，则这个正多边形的边数是　 　．
13．已知（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则a+的值是　 　．
14．代数式2a2﹣b＝7，则10﹣4a2+2b的值是　 　．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝2，C、D是圆周上的点，且sin∠CDB＝，则BC的长为　 　．

16．如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为　 　．

17．如图，点A1，A2，A3，A4，A5，…，在射线ON上，点B1，B2，B3，B4，…在射线OM上，点C1，C2，C3，…分别在线段A2B2，A3B3，A4B4，…上，且四边形A1B1C1A2，四边形A2B2C2A3，四边形A3B3C3A4，…均为正方形，若OA1＝4，A1B1＝2，则正方形A2021B2021C2021D2022的边长为　 　．

三、解答题（一）（共3小题；每小题6分，共18分）
18．计算：×（﹣）﹣|2|+（）﹣3﹣（π﹣3.14）0．
19．体育课上，老师为了解男学生定点投篮的情况，随机抽取8名男学生进行每人4次定点投篮的测试，进球数的统计如图所示．
（1）男生进球数的平均数为　 　、中位数为　 　．
（2）投球4次，进球3个以上（含3个）为优秀，全校有男生1200人，估计为“优秀”等级的男生约为多少人？

20．如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
（1）求证△AMB≌△CNA；
（2）求证∠BAC＝90°．

四、解答题（二）（共3小题；每小题8分，共24分）
21．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《格列佛游记》两种书共50本．已知购买2本《艾青诗选》和1本《格列佛游记》需100元；购买6本《艾青诗选》与购买7本《格列佛游记》的价格相同．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《艾青诗选》的数盘不少于所购买《格列佛游记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？
22．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，＝，求CD的长．

23．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
五、解答题（三）（共2小题；每小题10分，共20分）
24．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝mx与反比例函数y＝的图象交于A、P（﹣，2）两点，点B（，3）与点D关于直线AP对称，连接AB，作CD∥y轴交直线AP于点C．
（1）求m、n的值和点A的坐标；
（2）求sin∠CDB的值；
（3）连接AD、BC，求四边形ABCD的面积．

25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第一象限内抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第四象限内是否存在这样的点P，使△BPQ∽△CAB．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．



参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．2021的相反数是（　　）
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
解：2021的相反数是：﹣2021．
故选：A．
2．已知点A与点B关于原点对称，若点A的坐标为（﹣2，3），则点B的坐标是（　　）
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
解：∵点A与点B关于原点对称，点A的坐标为（﹣2，3），
∴点B的坐标是（2，﹣3），
故选：B．
3．将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：A、∠1与∠2不互余，故本选项错误；
B、∠1与∠2不互余，故本选项错误；
C、∠1与∠2不互余，故本选项错误；
D、∠1与∠2互余，故本选项正确．
故选：D．
4．甲袋中装有2张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片，颜色分别为红色、黄色、绿色．从这两个口袋中各随机抽取1张卡片，取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率是（　　）
A． B． C． D．
解：画树状图如图：

共有6个等可能的结果，取出的两张卡片中至少有一张是红色的结果有4个，
∴取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率为＝，
故选：A．
5．已知x＞2，则下列二次根式定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
解：∵x＞2，
∴x﹣2＞0，
∴2﹣x＜0，x﹣1＞0，x﹣3与x﹣4不一定大于0，
则当x＞2时，有意义．
故选：B．
6．尺规作图作角的平分线，作法步骤如下：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；
③过点P作射线OP，射线OP即为所求．

则上述作法的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
解：连接PC，PD．
．
由作图可知，OC＝OD，PC＝PD，
在△OPC和△OPD中，
，
∴△OPC≌△OPD（SSS），
∴∠POC＝∠POD，
故选：A．
7．关于x的函数y＝k（x﹣1）和y＝（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．所以一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴．故本选项不符合题意；
B、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0．所以一次函数y＝kx﹣k的图象经过第二、四象限，且与y轴交于正半轴．故本选项不符合题意；
C、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．所以一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴．故本选项符合题意；
D、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0．所以一次函数y＝kx﹣k的图象经过第二、四象限，且与y轴交于正半轴．故本选项不符合题意；
故选：C．
8．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
解：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，
∴AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，
∴EF⊥AC，
∵∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE，
∴AF＝CF，
∴AC＝2AB＝6，
故选：D．
9．方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5
解：方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为6，
故选：B．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（　　）

A．b2＞4ac
B．abc＜0
C．a﹣c＜0
D．am2+bm≥a﹣b （m为任意实数）
解：由图象可得：a＜0，c＜0，△＝b2﹣4ac＞0，﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，b2＞4ac，故A选项正确，
∴abc＜0，故B选项正确，
当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴﹣a+c＞0，即a﹣c＜0，故C选项正确，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
当x＝﹣1时，y有最大值为a﹣b+c，
∴am2+bm+c≤a﹣b+c，
∴am2+bm≤a﹣b，故D选项不正确，
故选：D．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．分解因式：25﹣x2＝　（5+x）（5﹣x）　．
解：原式＝52﹣x2
＝（5+x）（5﹣x）．
故答案为：（5+x）（5﹣x）．
12．若某个正多边形的每一个外角都等于其相邻内角的，则这个正多边形的边数是　8　．
解：设外角是x度，则相邻的内角是3x度．
根据题意得：x+3x＝180，
解得x＝45．
则多边形的边数是：360°÷45°＝8．
故答案为：8．
13．已知（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则a+的值是　5　．
解：由题意可知：a﹣3＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
∴原式＝3+2＝5，
故答案为：5．
14．代数式2a2﹣b＝7，则10﹣4a2+2b的值是　﹣4　．
解：∵2a2﹣b＝7，
∴10﹣4a2+2b＝10﹣2（2a2﹣b）＝10﹣2×7＝﹣4．
故答案为：﹣4．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝2，C、D是圆周上的点，且sin∠CDB＝，则BC的长为　　．

解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠D，
∴sin∠A＝sin∠D＝＝，
∴BC＝．
故答案为：．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为　3　．

解：∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴BD＝＝13，
∵BP＝BA＝5，
∴PD＝BD﹣BP＝8，
∵BA＝BP，
∴∠BAP＝∠BPA＝∠DPQ，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠DQP，
∴∠DPQ＝∠DQP，
∴DQ＝DP＝8，
∴CQ＝DQ﹣CD＝DQ﹣AB＝8﹣5＝3，
∴在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得
BQ＝＝＝3．
故答案为：3．
17．如图，点A1，A2，A3，A4，A5，…，在射线ON上，点B1，B2，B3，B4，…在射线OM上，点C1，C2，C3，…分别在线段A2B2，A3B3，A4B4，…上，且四边形A1B1C1A2，四边形A2B2C2A3，四边形A3B3C3A4，…均为正方形，若OA1＝4，A1B1＝2，则正方形A2021B2021C2021D2022的边长为　2×1.52020　．

解：∵O＝4，A1B1＝2，
在Rt△OA1B1中，tan∠O＝，
在Rt△OA2B2中，tan∠O＝＝，
∴B2C1＝1，
∴A2B2＝3，
在Rt△OA3B3中，tan∠O＝＝，
∴B3C2＝1.5，
∴A3B3＝4.5，
在Rt△OA4B4中，tan∠O＝＝，
∴B4C3＝2.25，
∴A4B4＝6.75，
∴正方形边长的变化规律为：2×1.5（n﹣1），
∴正方形A2021B2021C2021D2022的边长为2×1.5（2021﹣1）＝2×1.52020．
故答案为：2×1.52020．
三、解答题（一）（共3小题；每小题6分，共18分）
18．计算：×（﹣）﹣|2|+（）﹣3﹣（π﹣3.14）0．
解：×（﹣）﹣|2|+（）﹣3﹣（π﹣3.14）0
＝﹣3﹣2+8﹣1
＝7﹣5．
19．体育课上，老师为了解男学生定点投篮的情况，随机抽取8名男学生进行每人4次定点投篮的测试，进球数的统计如图所示．
（1）男生进球数的平均数为　2.5　、中位数为　2　．
（2）投球4次，进球3个以上（含3个）为优秀，全校有男生1200人，估计为“优秀”等级的男生约为多少人？

解：（1）由条形统计图可得，男生进球数的平均数为：（1×1+2×4+1×3+4×2）÷8＝2.5（个）；
∵第4，5个数据都是2，则其平均数为：2；
∴男生进球数的中位数为：2；
故答案为：2.5，2．

（2）样本中优秀率为：，
故全校有男生1200人，“优秀”等级的男生为：1200×＝450（人），
答：“优秀”等级的男生约为450人．
20．如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
（1）求证△AMB≌△CNA；
（2）求证∠BAC＝90°．

【解答】证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB＝∠CNA＝90°，
在Rt△AMB和Rt△CNA中，
，
∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；
（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，
∴∠BAM＝∠ACN，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠BAM＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．
四、解答题（二）（共3小题；每小题8分，共24分）
21．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《格列佛游记》两种书共50本．已知购买2本《艾青诗选》和1本《格列佛游记》需100元；购买6本《艾青诗选》与购买7本《格列佛游记》的价格相同．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《艾青诗选》的数盘不少于所购买《格列佛游记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？
解：（1）设购买《艾青诗选》的单价为x元，《格列佛游记》的单价为y元，
由题意得：，
解得，
答：购买《艾青诗选》的单价为35元，《格列佛游记》的单价为30元；
（2）设购买《艾青诗选》的数量n本，则购买《格列佛游记》的数量为（50﹣n）本，
根据题意得，
解得：16≤n≤20，
则n可以取17、18、19、20，
当n＝17时，50﹣n＝33，共花费17×35+33×30＝1585（元）；
当n＝18时，50﹣n＝32，共花费18×35+32×30＝1590（元）；
当n＝19时，50﹣n＝31，共花费19×35+31×30＝1595（元）；
当n＝20时，50﹣n＝30，共花费20×35+30×30＝1600（元）；
所以，共有4种购买方案分别为：
购买《艾青诗选》和《格列佛游记》的数量分别为17本和33本，
购买《艾青诗选》和《格列佛游记》的数量分别为18本和32本，
购买《艾青诗选》和《格列佛游记》的数量分别为19本和31本，
购买《艾青诗选》和《格列佛游记》的数量分别为20本和30本．
22．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，＝，求CD的长．

【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，
∴∠A＝∠ECB，
∵∠BCE＝∠BCD，
∴∠A＝∠BCD，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD，
∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A＝∠BCE，
∴tanA＝＝tan∠BCE＝＝，
设BC＝k，AC＝2k，
∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝＝，
∵AD＝8，
∴CD＝4．

23．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
解：（1）450+450×12%＝504（万元）．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350（1+x）2＝504，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
五、解答题（三）（共2小题；每小题10分，共20分）
24．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝mx与反比例函数y＝的图象交于A、P（﹣，2）两点，点B（，3）与点D关于直线AP对称，连接AB，作CD∥y轴交直线AP于点C．
（1）求m、n的值和点A的坐标；
（2）求sin∠CDB的值；
（3）连接AD、BC，求四边形ABCD的面积．

解：（1）∵正比例函数y＝mx与反比例函数y＝的图象交于A、P（﹣，2）两点，
∴2＝﹣m，2＝，
解得，m＝﹣2，n＝﹣3；
（2）由题意可知A与P关于原点对称，
∵P（﹣，2），
∴A（，﹣2），
∵B（，3），
∴AB∥y轴，
∴AB＝5，
∵CD∥y轴，
∴AB∥CD，
∴∠CDP＝∠ABP，
∵点B（，3）与点D关于直线AP对称，
∴AC⊥BD，PD＝PB，
在△CDP和△ABP中，
，
∴△CDP≌△ABP（ASA），
∴AB＝CD＝5，CP＝AP，
∴四边形ABCD是菱形，
∵P（﹣，2），A（，﹣2），
∴PC＝PA＝＝2，
∴sin∠CDB＝＝＝；
（3）∵P（﹣，2），B（，3），
∴PB＝＝，
∴S四边形ABCD＝4S△CPB＝4×PB•PC＝4××2＝60．
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第一象限内抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第四象限内是否存在这样的点P，使△BPQ∽△CAB．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．

解：（1）分别将C（0，1）、A（﹣，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx+c中得
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）如图1：

如图2：
过A作AG∥y轴交BC的延长线于点G，过点D作DH∥y轴交BC于点H，

∵B（2，0）C（0，1），
∴直线BC：y＝x+1，
∵A（，0），
∴G（，），
设D（），则H（），
∴DH＝（）﹣（），
＝﹣m2+2m，
∵AG∥DH，
∴，
∴当m＝1时，的最大值为．
（3）符合条件的点P坐标为（）或（）．
解：∵l∥BC，
∴直线l的解析式为：y＝，
设P（n，﹣），
∵A（，0），B（2，0），C（0，1），
∴AC2＝，BC2＝5，AB2＝．
∵AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°．
∵△BPQ∽△CAB，
∴，
分两种情况说明：
①如图3，过点P作PN⊥x轴于N，过点Q作QM⊥x轴于M．

∵∠PNB＝∠BMQ＝90°，
∠NBP+∠MBQ＝90°，
∠MQB＝+∠MBQ＝90°，
∴∠NBP＝∠MQB．
∴△NBP∽△MQB，
∴，
∵，
∴，
∴BN＝2﹣n，
∴BM＝2PN＝n，QM＝2BN＝4﹣2n，
∴OM＝OB+BM＝2+n，
∴Q（2+n，2n﹣4），
将Q的坐标代入抛物线的解析式得：
，
2n2+9n﹣8＝0，
解得：
∴．
②如图4，过点P作PN⊥x轴于N，过点Q作QM⊥x轴于M．

∵△PNB∽△BMQ，
又∵△BPQ∽△CAB，
∴，
∵，
∴Q（2﹣n，4﹣2n），
将Q的坐标代入抛物线的解析式得：
，
化简得：2n2﹣9n+8＝0，
解得：，
∴．