2020-2021学年西安交通大学附属中学九年级上学期期中数学试题（含答案与解析）

这是一份2020-2021学年西安交通大学附属中学九年级上学期期中数学试题（含答案与解析），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（ ）
A．1B．-1C．2D．0
2．如图，该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
3．已知4a＝5b（ab≠0），下列变形错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
5．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于（ ）
A．B．C．D．
6．如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠D＝∠BB．∠E＝∠CC．D．
7．如图，在中，，于点，，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
8．已知函数y＝（m＜0），以下结论中正确的有（ ）个．
①图象位于一，三象限；
②若点A（﹣1，a），点B（1，b）在图象上，则a＜b；
③对于不同的m值，反比例函数的图象可能会相交；
④若点P（x，y）在图象上，则点P1（﹣y，﹣x）也在图象上．
A．4B．3C．2D．1
9．如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
A．2.6mB．2.8mC．3.4mD．4.5m
10．如图，已知正比列函数y1＝4x的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，正比例函数y2＝kx（k≠0）的图象与反比例面数y＝的图象相交于C，D两点．连接AD，BD，BC，AC，若四边形ADBC是矩形，则k的值是（ ）
A．B．C．D．1
二、填空题
11．方程x2﹣x＝0的解是 ___．
12．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，若AB＝2，则BP＝_______________（结果保留根号）．
13．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形ABCO的两边OA、OC分别与x轴、y轴重合，点E，F分别是BC，AB边上的中点，过点E，F在反比例函数y＝（k≠0）的图象交上，△OEF的面积为3，求k的值___．
14．在“红旗”举行的促销活动中，某商品连续两次降价后，售价变为原来的.若两次降价的百分率相同，则该商品每次降价的百分率为__________．
15．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝3，将△ABC的一角沿着MN折叠，点B'落在AC上，若B'M∥AB，则BM的长度为___．
16．如图，在等边△ABC中，AB＝4，P为AC的中点，M，N分别为AB，BC边上的一点，当△PMN周长取最小值时，MN长度为 ___．
三、解答题
17．画出如图所示立体图的主视图与俯视图．
18．已知关于x的方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围：
（2）若方程的两个实数根x1，x2，＝x1x2﹣2，求k的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求的值；
（2）求一次函数的表达式；
（3）当一次函数的值小于反比例函数的值时，求出自变量的取值范围．
20．如图，在正方形ABCD中，点E为BC中点，连接DE，过点E作EF⊥ED交AB于点G．交AD延长线于点F．
（1）求证：△ECD∽△GAF；
（2）若AB＝4，求EF的长．
21．某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面E点测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE的长为16米，地面B点(与E点在同一个水平线)距停车场顶部C点(A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直)2米．试求该校地下停车场的高度AC及限高CD(结果精确到0.1米，≈1.732)．
22．甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．
（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是_______；
（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．
23．实践探究：
如图①，在△ABC中，点D为AB上一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，CD交于点O．
（1）当AD＝DB时，S△ADE：S△ABC＝ ；S△DOE：S△COE＝ ．
（2）当AD：DB＝m时，用含m的代数式表示S△BOC：S△ABC．
问题解决：
（3）如图②，公园内有一块梯田ABCD，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝60米，AD＝20米，tanB＝2．园林设计者想在这块田地中划出一块三角形形状的地△EFG来种植草皮，其他区域种植花卉，已知种植花卉每平方米200元，种植草皮每平方米100元．要求E，F，G分别位于AB，CD，BC边上，且EF∥BC，要使得种植费用的造价最低，种植草皮的△EFG面积应该满足什么条件？并求出费用的最大值．
参考答案
1．A
【分析】
利用一元二次方程的解的定义，方程的解是使方程左右两边的值相等的未知数的的值，由定义知，x=0是方程的解，把x=0代入方程得m-1=0，解之即可．
【详解】
关于的一元二次方程有一个根是0，
把x=0代入得m-1=0，
则m=1．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法与解的性质，会用一元二次方程的解解决问题是解题的关键．
2．C
【详解】
试题分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
解：从左边看是一个正方形被水平的分成3部分，中间的两条分线是虚线，故C正确；
故选C．
考点：简单组合体的三视图．
3．D
【分析】
依据比例的性质，即可得出结论．
【详解】
解：A．由，可得4a＝5b，故本选项正确；
B．由，可得4a＝5b，故本选项正确；
C．由，可得4a＝5b，故本选项正确；
D．由，可得4a＝5b+1，故本选项错误；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．
4．A
【分析】
求出的值，再进行判断即可．
【详解】
∵a=1，b=-5，c=6，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根的判别式，根据方程根的判别式的符号确定方程解的情况是解题的关键．
5．A
【分析】
根据平行线分线段成比例定理计算即可．
【详解】
解：∵AG＝2，GD＝1，DF＝5，
∴AD＝AG+GD＝3，GF＝GD+DF＝6，
∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝＝，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6．D
【分析】
根据∠1＝∠2，可知∠DAE＝∠BAC，因此只要再找一组角或一组对应边成比例即可．
【详解】
解：A和B符合有两组角对应相等的两个三角形相似；
C、符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；
D、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似．
故选D．
【点睛】
考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
7．A
【分析】
先证明∠ABD=∠C，根据等角的三角函数值相等即可得到答案．
【详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】
此题考查直角三角形两锐角互余的性质，等角的三角函数值相等，正切值的计算公式，推出∠ABD=∠C是解此题的关键．
8．D
【分析】
根据m的符号则可判断①；根据反比例函数图象上点的坐标特征即可判断②，根据反比例函数的性质即可判断③，根据反比例函数的系数m＝xy即可判断④．
【详解】
解：∵函数y＝中，m＜0，
∵图象位于二，四象限，故①错误；
∵点A（﹣1，a），点B（1，b）在图象上，
∴点A（﹣1，a）在第二象限，点B（1，b）在第四象限，
∴a＞b，故②错误；
对于不同的m值，反比例函数的图象不会相交，故③错误；
若点P（x，y）在图象上，则m＝xy，
∵﹣x•（﹣y）＝m，
∴点P1（﹣y，﹣x）也在图象上．故④正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数图形上点的坐标特征，反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
9．B
【分析】
首先证明四边形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF的长，利用∠PEB的正切值即可得答案．
【详解】
∵FD⊥AB，AC⊥EB，
∴DF∥AC，
∵AF∥EB，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，
∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），
∴DF＝AC＝1.12（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，
∴tan∠PEB＝≈0.4，
∴DE≈＝2.8（m），
故选：B．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．
10．B
【分析】
联立正比例函数y1、反比例函数解析式求得点A坐标，联立正比例函数y2、反比例函数解析式求得点C坐标，利用矩形的性质求得OA＝OC，即可求解
【详解】
解：联立y1＝4x和y＝得： ，
解得：或，
故点A（1，4），
联立y2＝kx（k≠0）和y＝，同理可得，点C（，2），
∵四边形ADBC是矩形，故OA＝OC，
即（）2+（2）2＝12+42，
解得：k＝，
故选：B.
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，利用矩形的性质得到OA＝OC，是解题的关键.
11．x=0或x=1
【分析】
本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
【详解】
解：原方程变形为：x（x﹣1）=0，
∴x=0或x=1，
故答案为：x=0或x=1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
12．﹣1
【分析】
根据黄金分割点的定义，知BP是较长线段；则BP=AB，代入数据即可得出BP的长．
【详解】
由于P为线段AB=2的黄金分割点，且AP＜PB，BP是较长线段；
则BP=AB=.
故答案为.
【点睛】
本题主要考查黄金分割公式知识点，熟悉掌握是关键.
13．4
【分析】
分别用矩形面积和能用图中的点表示出的三角形的面积表示出所求的面积，解方程即可求得a2，进而即可求得k的值．
【详解】
解：设正方形的边长为a，则E（ a，a），F（a，a）；
∴S△EBF＝EB•BF＝××a＝，
∴S△EOF＝S正方形ABCO﹣S△AOF﹣S△COE﹣S△EBF
＝a2﹣﹣﹣S△EBF
＝a2﹣﹣﹣
＝，
∵△OEF的面积为3，
∴，
∴a2＝8，
∵点E，F在反比例函数y＝（k≠0）的图象交上，
∴k＝＝a2＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质和图形的面积计算；点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；在求坐标系内一般三角形的面积，通常整理为矩形面积减去若干直角三角形的面积的形式．
14．
【分析】
此题可设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的（1-x），那么第二次降价后的售价是原来的（1-x）2，根据题意列方程解答即可．
【详解】
设这两次的百分率是x，根据题意列方程得
1×（1-x）2=，
解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不符合题意，舍去）．
答：这两次的百分率是10%．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
15．2
【分析】
先证明四边形BNB'M是菱形，设BM＝x，则B'C＝NB'＝x，AB'＝6﹣x，再由平行线的性质得，，即，即可求BM＝2．
【详解】
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵B'M∥AB，
∴∠B＝∠B'MC，
∴∠C＝∠B'MC，
∴B'C＝B'M，
由折叠可得，BM＝B'M，∠B＝∠NB'M，
∴∠B'MC＝∠NB'M，
∴NB'∥BC，
∴四边形BNB'M是菱形，
设BM＝x，则B'C＝NB'＝x，
∵AB＝AC＝6，BC＝3，
∴AB'＝6﹣x，
∴，即，
∴x＝2，
∴BM＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查折叠的性质，通过条件证明四边形BNB'M是菱形是解题的关键．
16．2
【分析】
作点P关于AB的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AB于M，交BC于N，连接CE、CF．此时△PMN的周长最小，再确定△PMN是等边三角形，可得MN＝PC＝PN，即可求MN．
【详解】
解：作点P关于AB的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AB于M，交BC于N，连接CE、CF，
由对称的性质可知，EM＝MP，PN＝NF，
∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，
∴此时△PMN的周长最小，
∵PF⊥BC，∠C＝60°，
∴∠CPF＝30°，
∵PE⊥AB，∠A＝60°，
∴∠APE＝30°，
∴∠EPF＝120°，
∵P是AC的中点，
由对称性可得PE＝PF，
∴∠E＝∠F＝30°，
∴∠EPM＝∠NPF＝30°，
∴∠MPN＝60°，
∴△MNP是等边三角形，
∴MN＝PN＝PC，
∵AB＝4，
∴PC＝2，
∴MN＝2，
故答案为2．
【点睛】
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，能够确定△PMN是等边三角形是解题的关键．
17．见解析
【分析】
根据简单几何体的三视图的画法画出相应的图形即可．
【详解】
解：从该几何体的正面、上面看所得到的图形如图所示：
【点睛】
本题考查了画三视图，画三视图时注意“长对正，宽相等、高平齐”．
18．（1）k的取值范围为k≤8；（2）k＝﹣11
【分析】
（1）根据一元二次方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的意义得到△≥0，即62﹣4×（k+1）≥0，解不等式即可得到k的范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝6，x1x2＝k+1，则，即（k+1）2﹣2（k+1）﹣120＝0，利用因式分解法解得k1＝11，k2＝﹣11，然后由（1）中的k的取值范围即可得到k的值．
【详解】
解：（1）∵关于x的方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2．
∴△≥0，即62﹣4×（k+1）≥0，解得k≤8，
∴k的取值范围为k≤8；
（2）∵方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2．
∴x1+x2＝6，x1x2＝k+1，
∵，
∴，
∴，即（k+1）2﹣2（k+1）﹣120＝0，
∴k1＝11，k2＝﹣11，
∵k≤8，
∴k＝﹣11．
【点睛】
本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
19．（1）3；（2）；（3）或．
【分析】
（1）先把B（2，6）代入（x＞0），求出反比例函数解析式为（x＞0），再A点代入反比例解析式，确定m的值；
（2）利用A、B两点坐标，用待定系数法确定一次函数解析式；
（3）观察函数图象得到当0＜x＜2或x＞3时，反比例函数图象在一次函数图象上方．
【详解】
解：（1）把代入得
，
解得：
∴反比例函数解析式为，
把代入得
，
解得，，
∵，
∴；
（2）把，代入得，
解得，
所以一次函数解析式为；
（3）观察图象，当时，反比例函数图象在一次函数图象上方；当时，反比例函数图象也在一次函数图象上方．
∴一次函数的值小于反比例函数的值时，自变量的取值范围是或．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求反比例函数与一次函数解析式的问题；利用图象法比较两个函数的大小体现了数形结合思想．学生会观察图象，通过图象信息得出答案是关键．
20．（1）见解析；（2）EF＝4
【分析】
（1）利用两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；
（2）利用勾股定理求得线段DE的长度，再根据△EFD∽CDE得出比例式即可求得EF的长．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠C＝∠BAD＝∠B＝90°．
∴∠FAG＝90°．
∴∠FAG＝∠C．
∵EF⊥ED，
∴∠BEG+∠CED＝90°．
∵∠BGE+∠BEG＝90°，
∴∠BGE＝∠CED．
∵∠BGE＝∠FGA，
∴∠FGA＝∠CED，
∴△ECD∽△GAF．
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝AB＝4．
∵点E为BC中点，
∴BE＝EC＝2．
,
由（1）知：△ECD∽△GAF，
∴∠F＝∠CDE．
∵EF⊥ED，
∴∠FED＝90°．
∴∠FED＝∠C＝90°．
∴△EFD∽CDE．
∴．
∴．
∴EF＝4．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理．发现图中的相似三角形是解题的关键．
21．AC=6米；CD=5.2米.
【分析】
根据题意和正弦的定义求出AB的长，根据余弦的定义求出CD的长．
【详解】
解：由题意得，AB⊥EB，CD⊥AE，
∴∠CDA＝∠EBA＝90°，
∵∠E＝30°，
∴AB＝AE＝8米，
∵BC＝2米，
∴AC＝AB﹣BC＝6米，
∵∠DCA＝90°﹣∠DAC＝30°，
∴CD＝AC×cs∠DCA＝6×≈5.2(米)．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是①掌握特殊角的函数值，②能根据题意做构建直角三角形，③熟练掌握直角三角形的边角关系.
22．（1）；（2）
【分析】
（1）根据概率公式直接计算即可；
（2）画出树状图，得出所有可能的情况数和符合要求的情况数，再利用概率公式计算．
【详解】
解：（1）∵两个品牌共有5个种类的奶制品，每个品牌都有一种纯牛奶，
∴选购到纯牛奶的概率=，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
可知共有6种等可能的结果，其中两人选购到同一种类奶制品的情况有2种，
∴两人选购到同一种类奶制品的概率为=．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（1）1：4，1：2；（2）；（3）m＝30时，△EFG的面积最大，最大值为900，总费用＝550000（元）
【分析】
（1）利用三角形中位线定理以及相似三角形的性质求解即可．
（2）利用等高模型解决问题即可．
（3）如图②中，过点E作EH⊥BC于H，过点A作AP⊥EF于P．设BH＝n．由题意，当△EFG的面积最大时，费用最小．构建二次函数，求出△EFG的面积的最大值，可得结论．
【详解】
解：（1）如图①中，
∵DE∥BC，AD＝DB，
∴DE是△ABC的中位线，△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB
∴DE＝BC，
∴，
∴，
故答案为：1：4，1：2．
（2）如图①中，
∵DE∥BC，AD＝mBD，
∴△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB，，
∴，,
∴，
∴，
∴，，
∴；
（3）如图②中，过点E作EH⊥BC于H，过点A作AP⊥EF于P．设BH＝n．
由题意，当△EFG的面积最大时，费用最小．
∵AD∥BC，EF∥BC，
∴AD∥BC∥EF，
∴∠AEP=∠B
∵tanB＝，BH＝n，
∴EH＝2n，
∵EF∥CH，∠EHC＝∠C＝90°，
∴∠EFC＝90°，
∴四边形EFCH是矩形，
∴EF＝CH＝60﹣n，EH=FC，
∴S△EFG＝•EF•EH＝×2n×（60﹣n）＝﹣n2+60n＝﹣（n﹣30）2+900，
∵﹣1＜0，
∴n＝30时，△EFG的面积最大，最大值为900平方米，
∴FC=EH=60m
同理可以证明四边形APFD是矩形，
∴AP=DF，AD=PF=20m，
∴EP=10m，
∴AP=DF=2EP=20m，
∴CD=CF+DF=80m
∴总费用＝900×100+[（20+60）×80﹣900]×200＝550000（元）．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，二次函数的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．