2020-2021学年莆田市第二中学九年级上学期期末数学试题（含答案与解析）

这是一份2020-2021学年莆田市第二中学九年级上学期期末数学试题（含答案与解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 实数的绝对值是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【详解】解：实数-2的绝对值是2，
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的性质，负数的绝对值是它的相反数，非负数的绝对值是它本身．
2. 截至北京时间2020年6月26日9时30分，全球新冠肺炎确诊病例超过961万，将961万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：961万=9610000=，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 乘坐公共汽车恰好有空座B. 同位角相等
C. 打开手机就有未接电话D. 三角形内角和等于180°
【答案】D
【详解】A．乘坐公共汽车恰好有空座，是随机事件；B．同位角相等，是随机事件；C．打开手机就有未接电话，是随机事件；D．三角形内角和等于180°，是必然事件，
故选D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，则A、原式=，A错误；
同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，则B正确；
C不是同类项，无法进行加减法计算，则C错误；
D、原式=，则D错误．
故选：B
5. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据左视图的定义: 由物体左边向右做正投影得到的视图(不可见的用虚线),判断即可.
【详解】解:根据左视图的定义可知: 该几何体的左视图为:
故选:B.
【点睛】此题考查的是判断一个几何体的左视图,掌握左视图的定义: 由物体左边向右做正投影得到的视图(不可见的用虚线),是解决此题的关键.
6. 我国古代名著《九章算术》中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭）设野鸭与大雁从北海和南海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为（ ）
A. （9﹣7）x=1B. （9+7）x=1C. D.
【答案】D
【分析】直接根据题意得出野鸭和大雁的飞行速度，进而利用它们相向而行何时相逢进而得出等式．
【详解】解：设野鸭大雁与从北海和南海同时起飞，经过x天相遇，
可列方程为：．
故选D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出每天飞行的距离是解题关键．
7. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据题意可得方程的判别式△=0，进而可得关于k的方程，解方程即得答案．
【详解】解：由题意，得：，解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基础题型，熟知一元二次方程的根的判别式与方程根的个数的关系是解题关键．
8. 如图，四边形是边长为5的正方形，E是上一点，，将绕着点A顺时针旋转到与重合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据旋转变换的性质求出、，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：由旋转变换的性质可知，，
∴正方形的面积＝四边形的面积，
∴，，
∴，，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握性质的概念、旋转变换的性质是解题的关键．
9. 如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连结AB、AD，若AD＝，则半径R的长为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【分析】由弦AC=BD，可得，，继而可得，然后由圆周角定理，证得∠ABD=∠BAC，即可判定AE=BE；连接OA，OD，由AE=BE，AC⊥BD，可求得∠ABD=45°，继而可得△AOD是等腰直角三角形，则可求得AD=R，可解答．
【详解】解：∵弦AC=BD，
∴，
∴，
∴∠ABD=∠BAC，
∴AE=BE；
连接OA，OD，
∵AC⊥BD，AE=BE，
∴∠ABE=∠BAE=45°，
∴∠AOD=2∠ABE=90°，
∵OA=OD，
∴AD=R，
∵AD=，
∴R=1，
故选：A．
【点睛】此题考查了圆周角定理、弧与弦关系、等腰直角三角形的性质与判定等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
10. 平面直角坐标系中，已知点P（m﹣1，n2），Q（m，n﹣1），其中m＜0，则下列函数的图象可能同时经过P，Q两点的是（ ）
A. y＝2x+bB. y＝﹣x2+2x+c
C. y＝ax+2 （a＞0）D. y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）
【答案】D
【分析】用先判断n2与n﹣1和m﹣1与m的大小，从而判断P（m﹣1，n2），Q（m，n﹣1）的增减关系，再依次判断即可.
【详解】解：∵n2﹣（n﹣1）＝（n﹣）2+＞0，
∴n2＞n﹣1，
∵m﹣1＜m，
∴当m＜0时，y随x的增大而减小，
A、y＝2x+b中，y随x的增大而增大，故A不可能；
B、y＝﹣x2+2x+c中，开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，故B不可能；
C、y＝ax+2 中，a＞0，y随x的增大而增大，故C不可能；
D、y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）中，开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故D有可能，
故选：D．
【点睛】本题是对函数知识的综合考查，熟练掌握一次函数，二次函数知识是解决本题的关键.
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. ＝______________．
【答案】2．
【分析】将12分解为4×3，按照二次根式的性质化简二次根式即可．
【详解】将12分解为4×3，进而开平方得出即可．
解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟悉相关性质是解题的关键．
12. 分解因式：__________．
【答案】
【详解】试题分析：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．先把式子写成a2-32，符合平方差公式的特点，再利用平方差公式分解因式．
a2-9=a2-32=（a+3）（a-3）．
故答案（a+3）（a-3）．
考点：因式分解-运用公式法．
13. 已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a+b=_____．
【答案】5
【分析】根据方程组解的定义，把问题转化为关于a、b的方程组，求出a、b即可解决问题；
【详解】∵是关于x，y的二元一次方程组的一组解，
∴，解得，
∴a+b=5，
故答案为5．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解题意，用转化的思想解答是解题的关键.
14. 抛掷一枚均匀的硬币，前3次都正面朝上，第4次正面朝上的概率为________．
【答案】
【分析】根据概率的计算方法求解即可.
【详解】∵第4次抛掷一枚均匀的硬币时，正面和反面朝上的概率相等，
∴第4次正面朝上的概率为.
故答案为.
【点睛】此题考查了概率公式的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
15. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为_____．
【答案】.
【分析】根据已知条件得到∠AOB=60°，推出△AOB是等边三角形，得到OA=OB=AB=2，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
扇形的面积，
故答案为．
【点睛】此题考查等边三角形的性质，扇形的面积，解题关键在于掌握计算公式.
16. 如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A，点B，已知点C的坐标是(6，0)，且AC⊥BC，连结AC，交反比例函数图象于点D，若AD＝CD，则k的值为_____．
【答案】8
【分析】设A（t，），利用线段的中点坐标公式得到D点坐标，进而求出A的坐标，再证明OC为Rt△ACB斜边上的中线，则OA＝OC＝6，然后利用勾股定理，即可求解．
【详解】解：设A(t，)，
∵C(6，0)，AD＝CD，根据中点坐标公式可得，
∴D点坐标为(，)，
∵点D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴，解得t＝2，
∴A（2，），
∵ACBC，
∴∠ACB＝90°，
∵过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A，B两点，
∴点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，O点为A、B中点，且直角三角形斜边上中线为斜边一半，
∴OC＝OA＝OB＝6，根据A点坐标应用勾股定理，
∴，解得，
故答案为．
【点睛】本题主要考察了线段中点公式的应用、反比例函数与一次函数的综合、勾股定理、直角三角形斜边中线定理，解题的关键在于用k表示 A点的坐标．
三、解答题（共86分）
17. 解不等式组：
【答案】
【分析】分别解两个不等式，再找解集的公共部分．
【详解】解：
由①得：，
，
解得：，
由②得：，
，
解集在数轴上表示如下：
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
18. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中．
【答案】，2
【分析】利用通分,因式分解,运算法则细心计算即可．
【详解】解：原式=
=
=，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简，熟练运用分式的通分，因式分解，约分进行化简是解题的关键．
19. 如图，无人机在空中处测得地面、两点的俯角分别为60〫、45〫，如果无人机距地面高度米，点、、在同水平直线上，求、两点间的距离．（结果保留根号）
【答案】A、B两点间的距离为100（1+）米
【分析】如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100，然后计算AD+BD即可．
【详解】∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，
∴∠A=60°，∠B=45°，
在中，∵=，
∴AD==100，
在中，BD=CD=100，
∴AB=AD+BD=100+100=100(1+)．
答：A、B两点间的距离为100(1+)米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
20. 为抗击新型肺炎疫情，某服装厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产10万件，第三天生产14.4万件，若每天增长的百分率相同．求每天增长的百分率．
【答案】20%．
【分析】设每天增长的百分率x，根据第一天和第三天的生产数量，结合每天的增长率相同列出方程求解即可得到答案.
【详解】解：设每天增长的百分率x，由题意可得：
10（1+x）2=144，
（1+x）2=1.44
1+x=±12
解得：x=0.2或x=-2.2（舍去）
∴每天增长的百分率为20%
答：每天增长的百分率为20%．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解.
21. 如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠A=36°．
（1）在AC边上确定点D，使得△ABD与△BCD都是等腰三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求BC的长．
【答案】（1）答案见解析；（2）BC的长为．
【分析】（1）作BD平分∠ABC交AC于D，则△ABD、△BCD、△ABC均为等腰三角形；
（2）依据相似三角形的性质即可得出BC的长．
【详解】解：（1）如图所示，作BD平分∠ABC交AC于D，则△ABD、△BCD、△ABC均为等腰三角形，
（2）∵∠A=∠CBD=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
设BC=BD=AD=x，则CD=4﹣x．
∵BC2=AC×CD，
∴x2=4×（4﹣x），
解得：x1=，x2=（舍去），
∴BC的长为：．
【点睛】本题主要考查了复杂作图以及相似三角形的判定与性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22. 如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A．白开水，B．瓶装矿泉水，C．碳酸饮料，D．非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题
（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；
（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？
（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的3名班委干部（其中有两位班长记为A，B，剩余一位记为C）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率．
【答案】（1）50人，补图见解析；（2）2.2元；（3）
【分析】（1）由B饮品的人数及其所占百分比可得总人数，再根据各饮品的人数之和等于总人数求出C的人数即可补全图形；
（2）根据加权平均数的定义计算可得；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式计算可得．
【详解】解（1）∵B种饮品的人数为15人，占比为30%
∴这个班级的学生人数=人，
选择C饮品的人数=人，
补全图形如下：
（2）元，
答：该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元；
（3）列表如下：
由表格共有6种等可能结果，其中恰好抽到2名班长的有2种结果，
所以恰好抽到2名班长的概率为：
【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，加权平均数，用树状图或列表法求概率，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且PC＜BC，连接MP交AC于点H．将射线MP绕点M逆时针旋转60°交线段CA的延长线于点D．
（1）找出与∠AMP相等的角，并说明理由．
（2）若CP=BC，求的值．
【答案】（1）∠D=∠AMP，理由见解析；（2）．
【分析】（1）由旋转的性质可得∠PMD=60°，即可得到∠AMD+∠AMP=60°，只需要找到一个角与角∠AMD的度数和为60度即可得到答案；
（2）过点C作CG∥BA交MP于点G，证明△MDA≌△MGC，△CGP∽△BMP，然后计算求解即可得到答案.
【详解】解：（1）∠D=∠AMP，理由如下：
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠D+∠DMA=∠BAC =60°
由旋转的性质知，∠DMA+∠AMP=∠PMD =60°，
∴∠D=∠AMP；
（2）如图，过点C作CG∥BA交MP于点G，
∵CG∥BA
∴∠GCP=∠B=30°，∠BCG=180°-∠B =150°．
∵∠ACB=90°，点M是AB的中点，∠B=30°
∴∠BAC=60°
∴，
∴∠MCB=∠B=30°，
∴∠MCG=120°，
∵∠MAD=180°﹣∠BAC =120°，
∴∠MAD=∠MCG．
由旋转的性质得∠PMD=60°
∵∠AMC=∠MCB+∠B=60°
∴∠AMG=∠PMD
∵∠DMG﹣∠AMD=∠AMG=∠AMC﹣∠GMC，
∴∠DMA=∠GMC．
在△MDA与△MGC中，
∴△MDA≌△MGC（ASA），
∴AD=CG．
∵CP=BC，
∴CP=BP．
∵∠GCP=∠B，∠GPC=∠MPB
∴△CGP∽△BMP，
∴
∴
设CG=AD=t，则BM=3t，AB=6t．
在Rt△ABC中，，
∴
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角函数等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
24. 已知：如图AB为⊙O直径，PA切⊙O于点A，且PA=AB，连接PO，过点A作AC⊥PO于D，交⊙O于点C，连接PB交⊙O于点E，连接DE、BC．
（1）求tan∠BAC的值．
（2）若AC=4，求DE．
【答案】（1）tan∠BAC=；（2）DE=
【分析】（1）利用角等量代换证出，再利用圆的性质得到，根据三角函数的比值关系即可求解；
（2）连接，证出为的中线，得到，根据三角函数的关系和勾股定理可得到，，，的长，由比值关系可判定出，再由相似三角形的性质列出比值关系运算即可．
【详解】解：（1）∵，为的切线
∴
∴，
∴
又∵为的直径，为圆心
∴
∴
（2）连接
∵为的直径
∴
∵
∴为中点
∵
∴
∴在中，
∴，
在中，
在中，
∴
又∵，，
∴
∴
∴，
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查了圆综合，其中涉及到了圆的性质，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，三角函数等知识点，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
25. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋3（a＞0），对于任意x的值，y≥3．
（1）求b的值；
（2）若P是抛物线上到直线l：y＝x距离最小的点，且距离最小值为．
①求a的值及点P的坐标；
②在点P右侧抛物线上任取一点A，连接AP并延长交直线l与点C，作CBy轴交抛物线于点B，连接AB，设A的横坐标为m，求证：对于每个给定的m，直线AB恒过某一定点．
【答案】（1）b＝0；（2）①，P（2，4）；②证明见解析．
【分析】（1）根据y≥3可得ax2＋bx≥0，再根据a＞0可得b2≤0，结合b2的非负性即可求得答案；
（2）①过点P作PH⊥直线l，垂足为点H，作PQy轴，交直线l于点Q，先证得PQ＝PH，再结合PHmin＝可得PQmin＝2，设设P（m，am2＋3），则Q（m，m），由此可表示出PQ的长，再求出它的最小值，令＝2，由此即可求得答案；
②用待定系数法求得直线AP的函数解析式，再结合直线l：y＝x可求得交点C的横坐标，也就是B的横坐标，再将此代入抛物线的函数解析式可求得点B的坐标，再用待定系数法求得直线AB的函数关系式，由此可证得AB所经过的定点坐标．
【详解】解：（1）∵y≥3，
∴ax2＋bx＋3≥3，
∴ax2＋bx≥0，
又∵a＞0，
∴△＝b2≤0，
又∵b2≥0，
∴b＝0；
（2）①如图，过点P作PH⊥直线l，垂足为点H，作PQy轴，交直线l于点Q，
则∠PQH＝∠yOH＝45°，
由（1）得：y＝ax2＋3，
由题意得：PHmin＝，
∵∠PHQ＝90°，∠PQH＝45°，
∴sin∠PQH＝＝，
∴PQ＝PH，
∴PQmin＝2，
设P（m，am2＋3），则Q（m，m），
∴PQ＝am2＋3－m
＝，
当时，PQmin＝＝2，
解得：a＝，
此时，am2＋3＝×22＋3＝4，
∴a＝，点P的坐标为（2，4）；
②如图，
∵点A的横坐标为m，抛物线为y＝x2＋3，
∴点A的坐标为（m，m2＋3），
设直线AP的函数解析式为y＝kx＋b，
将A（m，m2＋3），P（2，4）代入，得：
，
解得：，
∴直线AP的函数解析式为，
令y＝x，
则，
解得：，
将代入y＝x2＋3，得：
y＝，
∴点B的坐标为（，），
设直线AB的函数解析式为y＝k1x＋b1，
将A（m，m2＋3），B（，），代入，得：
，
解得：，
∴直线AB的函数解析式为
，
∴当x＝2时，
，
∴对于每个给定的m，直线AB恒过某一定点，该定点坐标为（2，6）．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数关系式，解直角三角形，二次函数的最值问题，图像过定点问题，题目较难，能够灵活运用所学知识用含m的代数式求得相应的函数关系式是解决本题的关键．饮品名称
白开水
瓶装矿泉水
碳酸饮料
非碳酸饮料
平均价格（元/瓶）
0
2
3
4