吉林省名校调研（省命题A）2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）

这是一份吉林省名校调研（省命题A）2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年吉林省名校调研（省命题A）九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列图形中，是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
2．（2分）二次函数的最大值是　　
A．5 B． C． D．1
3．（2分）若两个相似三角形的面积比为，则它们的对应边的比是　　
A． B． C． D．
4．（2分）若反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象一定经过点　　
A． B． C． D．
5．（2分）下列事件是随机事件的是　　
A．2021年全年有402天
B．4年后数学课代表会考上清华大学
C．刚出生的婴儿体重50公斤
D．袋中只有10个红球，任意摸出一个球是红球
6．（2分）如图，，是上直径两侧的两点，设，则　　

A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）方程的根是　　．
8．（3分）如图，，，，，则　　．

9．（3分）反比例函数的图象位于第 　　象限．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，点在轴正半轴上，是以点为位似中心，在第三象限内与的相似比为的位似图形．若点的坐标为，则点的坐标为 　　．

11．（3分）如图，在矩形中，，．将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，点落在矩形的边上，则的长是 　　．

12．（3分）小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长为15米（如图），然后在处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长为3米，则楼高为　 　．

13．（3分）如图，以矩形的对角线为直径画圆，点、在该圆上，再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，．则图中影部分的面积和为 　　（结果保留根号和．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线交抛物线于另一点，点、在线段上，分别过点、作轴的垂线交抛物线于、两点，连接，若四边形是矩形，，则线段的长为 　　．

三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）解方程：．
16．（5分）已知图中的两个四边形是相似四边形，分别求未知边的长度和角的度数．

17．（5分）已知反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当且时，直接写出的取值范围．
18．（5分）我校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加泰州市举行的某比赛．
（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是 　　；
（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，在中，，点是边延长线上的一点，作，与交于点．求证：．

20．（7分）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，在线段上找到点，使；
（2）在图②中，在线段上找到点，使．

21．（7分）如图．将矩形置于平面直角坐标系中，，，．
（1）抛物线经过点、．求该抛物线的解析式；
（2）将矩形绕原点顺时针旋转一个角度，在旋转过程中，当矩形的顶点的对应点落在（1）的抛物线的对称轴上时，求此时点的坐标．

22．（7分）已知：如图，中，，以为直径的交于点，于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的值．

五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在函数的图象上，过点作轴交于点．
（1）求的值和直线的解析式；
（2）若点的横坐标为2，求的面积．

24．（8分）如图①，在等边三角形中，点、分别在边、上，，连接、，点、、分别是、、的中点，连接、、、．
（1）观察猜想：图①中是 　　三角形（填“等腰”或“等边” ；
（2）探究证明：如图②，绕点按逆时针方向旋转，其他条件不变，则的形状是否发生改变？并说明理由．

六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线AB﹣BC向终点C运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1cm的速度向终点A运动．以PQ为底边向下作等腰Rt△PQR，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）直接写出AB的长；
（2）用含t的代数式表示BP的长；
（3）当点R在△ABC的内部时，求t的取值范围．

26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当轴时，求的面积；
（3）当该抛物线在点与点之间（包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值；
（4）当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为、，当时，直接写出的取值范围．


2021-2022学年吉林省名校调研（省命题A）九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列图形中，是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
2．（2分）二次函数的最大值是　　
A．5 B． C． D．1
【分析】根据二次函数顶点式的定义即可得出答案．
【解答】解：该二次函数的顶点式为，
该函数的图象开口向下，且顶点坐标为，
该二次函数的最大值为5，
故选：．
3．（2分）若两个相似三角形的面积比为，则它们的对应边的比是　　
A． B． C． D．
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方解决问题即可．
【解答】解：相似多边形的面积比等于相似比的平方，面积比为，
对应边的比为，
故选：．
4．（2分）若反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象一定经过点　　
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数的图象经过点，求出的值，再对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：反比例函数的图象经过点，
．
、，函数图象不过此点，故本选项错误；
、，函数图象不经过此点，故本选项错误；
、，函数图象经过此点，故本选项正确；
、，函数图象不过此点，故本选项错误．
故选：．
5．（2分）下列事件是随机事件的是　　
A．2021年全年有402天
B．4年后数学课代表会考上清华大学
C．刚出生的婴儿体重50公斤
D．袋中只有10个红球，任意摸出一个球是红球
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：、2021年全年有402天，是不可能事件，不符合题意；
、4年后数学课代表会考上清华大学，是随机事件，符合题意；
、刚出生的婴儿体重50公斤，是不可能事件，不符合题意；
、袋中只有10个红球，任意摸出一个球是红球，是必然事件，不符合题意；
故选：．
6．（2分）如图，，是上直径两侧的两点，设，则　　

A． B． C． D．
【分析】连接，根据圆周角定理可得的度数，再根据平角的性质可得的度数，再根据圆周角定理即可求出的度数．
【解答】解：连接，如图，
，
，
，
．
解法二：因为是直径，
所以
所以．
故选：．

二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）方程的根是　，　．
【分析】方程左边分解得到，原方程转化为或，然后解一次方程即可．
【解答】解：，
或，
，．
故答案为，．
8．（3分）如图，，，，，则　　．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：，
，
，，，
，
解得：，
故答案为：．
9．（3分）反比例函数的图象位于第 　二、四　象限．
【分析】根据反比例函数的性质：，时，图象位于一三象限，时，图象位于二四象限，可得答案．
【解答】解：反比例函数的，
反比例函数的图象位于第二四象限，
故答案为：二、四．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，点在轴正半轴上，是以点为位似中心，在第三象限内与的相似比为的位似图形．若点的坐标为，则点的坐标为 　　．

【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：是以点为位似中心，在第三象限内与的相似比为的位似图形．若点的坐标为，
点的坐标为，，即点的坐标为，
故答案为：．
11．（3分）如图，在矩形中，，．将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，点落在矩形的边上，则的长是 　4　．

【分析】由题意可知，，，在中，由勾股定理求出．
【解答】解：由题意可知，
，，
在中，
，
故答案为4．
12．（3分）小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长为15米（如图），然后在处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长为3米，则楼高为　　．

【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
【解答】解：
即，
楼高米．
故答案为：．
13．（3分）如图，以矩形的对角线为直径画圆，点、在该圆上，再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，．则图中影部分的面积和为 　　（结果保留根号和．

【分析】根据，可得结论．
【解答】解：设的中点为，连接，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，．，
，，
，，
，
．
故答案为：．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线交抛物线于另一点，点、在线段上，分别过点、作轴的垂线交抛物线于、两点，连接，若四边形是矩形，，则线段的长为 　2　．

【分析】通过待定系数法求出函数解析式，然后设点横坐标为，则，由，从而得出点坐标为，将点坐标代入解析式求解．
【解答】解：把代入中得，
解得，
，
设点横坐标为，则，
，

点坐标为，
，
解得（舍或．
．
故答案为：2．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）解方程：．
【分析】利用求根公式求解即可．
【解答】解：，，，
△，
则，
，．
16．（5分）已知图中的两个四边形是相似四边形，分别求未知边的长度和角的度数．

【分析】由相似多边形的性质和图中表明的数字求解即可．
【解答】解：因为两个四边形是相似四边形，
所以，．
17．（5分）已知反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当且时，直接写出的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）根据反比例函数图象的性质作答．
【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为；

（2），
双曲线在二、四象限，
把代入，得，
当且时，或．

18．（5分）我校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加泰州市举行的某比赛．
（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是 　　；
（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，所选代表恰好为1名女生和1名男生的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，所选代表恰好为1名女生和1名男生的结果有8种，
所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，在中，，点是边延长线上的一点，作，与交于点．求证：．

【分析】由余角的性质可证，由相似三角形的判定可得结论．
【解答】证明：，
，
，
又，
．
20．（7分）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，在线段上找到点，使；
（2）在图②中，在线段上找到点，使．

【分析】（1）根据网格即可在线段上找到点，使；
（2）根据相似三角形的性质即可在线段上找到点，使．
【解答】解：（1）如图，点即为所求；

（2）如图，点即为所求．
21．（7分）如图．将矩形置于平面直角坐标系中，，，．
（1）抛物线经过点、．求该抛物线的解析式；
（2）将矩形绕原点顺时针旋转一个角度，在旋转过程中，当矩形的顶点的对应点落在（1）的抛物线的对称轴上时，求此时点的坐标．

【分析】（1）根据矩形，得到，，根据的坐标确定出的坐标，把与的坐标代入抛物线解析式求出与的值，即可确定出解析式；
（2）如图所示，将矩形绕原点顺时针旋转一个角度，在旋转过程中，当矩形的顶点的对应点落在（1）的抛物线的对称轴上，设对称轴与轴交于点，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，确定出的坐标即可．
【解答】解：（1）矩形，，，，抛物线经过点、，
，，
把和的坐标代入抛物线解析式得：，
解得：，
则抛物线解析式为；
（2）当点落在对称轴上时，连接，设对称轴与轴交于点，
，
，
在△中，根据勾股定理得：，
，．

22．（7分）已知：如图，中，，以为直径的交于点，于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的值．

【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到和，则，于是可判断，由于，所以，然后根据切线的判定定理可得到是的切线；
（2）由为直径得，根据等腰三角形的性质得，所以，在中，根据含30度的直角三角形三边的关系得，，所以．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；

（2）解：连接，如图，
为直径，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
．

五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在函数的图象上，过点作轴交于点．
（1）求的值和直线的解析式；
（2）若点的横坐标为2，求的面积．

【分析】（1）把代入，可求得的值；设直线的解析式为，代入点，可得直线的解析式；
（2）作于点，先求出、两点的坐标，再根据三角形面积公式可得答案．
【解答】解：（1）点在函数的图象上，
，
设直线的解析式为，代入点，
得，，
即直线的解析式为；

（2）如图，作于点，
在函数的图象上，点的横坐标为2，
当时，，
．
直线的解析式为，
当时，，
，
，
又，
．

24．（8分）如图①，在等边三角形中，点、分别在边、上，，连接、，点、、分别是、、的中点，连接、、、．
（1）观察猜想：图①中是 　等边　三角形（填“等腰”或“等边” ；
（2）探究证明：如图②，绕点按逆时针方向旋转，其他条件不变，则的形状是否发生改变？并说明理由．

【分析】（1）利用三角形的中位线定理证明，再证明即可解决问题．
（2）的形状不发生改变，仍为等边三角形．如图2中，连接，．证明，即可解决问题．
【解答】解：（1）结论：是等边三角形．
理由：如图1中，

是等边三角形，
，，
，
，
，，，
，，，，
，，，
，
是等边三角形，
故答案为等边．
（2）的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：
如图2中，连接，．

由旋转可得，
是等边三角形，
，
又，
，
，，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，且．
同理可证且，
，，，
，
，
是等边三角形．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线AB﹣BC向终点C运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1cm的速度向终点A运动．以PQ为底边向下作等腰Rt△PQR，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）直接写出AB的长；
（2）用含t的代数式表示BP的长；
（3）当点R在△ABC的内部时，求t的取值范围．

【分析】（1）根据勾股定理求得AB；
（2）分为点P在AB上和在BC上，在AB上时，BP＝AB＝AP，在BC上时，BP＝2t﹣AB；
（3）当点P在AB上时，以点C为原点，分别以BC、AC所在的直线为x，y轴建立坐标系，作PD⊥AC于D，RE⊥PD于E，QG⊥RE于G，设R（x，y），可证△PER≌△RGQ，从而PE＝RG，ER＝GQ，进而得出y与x的函数关系式是一次函数，求得该直线与BC及AB的交点，进而求得t的范围．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，
∴AB＝＝＝5（cm）；
（2）当0＜t≤时，BP＝AB﹣AP＝5﹣2t，
当t＜4时，BP＝2t﹣AB＝2t﹣5；
（3）如图，

当点P在BC上时，R在△ABC外部，
当点P在AB上时，以点C为原点，分别以BC、AC所在的直线为x，y轴建立坐标系，
作PD⊥AC于D，RE⊥PD于E，QG⊥RE于G，
∴∠E＝∠G＝90°，
∴∠PRE+∠RPE＝90°，
∵∠PRQ＝90°，
∴∠PRE+∠GRQ＝90°，
∴∠REP＝∠GRQ，
∵PR＝QR，
∴△PER≌△RGQ（AAS），
∴PE＝RG，ER＝GQ，
∵AP＝2t，sin∠BAC＝，cos＝，
∴PD＝2t•sin∠BAC＝，AD＝2t•cos∠BAC＝，
设点R（x，y），
∴PE＝﹣，RG＝y﹣t，GQ＝﹣x，ER＝4﹣﹣y，
∴，
∴，
∴y＝﹣，
∴点R在直线y＝﹣上运动，
当y＝0时，﹣＝0，
∴x＝﹣，
由＝﹣得，
t＝，
∵A（0，4），B（﹣3，0），
∴AB的解析式是：y＝+4，
由得，
，
∴x＝﹣，
∴﹣2＝﹣，，
∴t＝，
∴＜t＜．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当轴时，求的面积；
（3）当该抛物线在点与点之间（包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值；
（4）当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为、，当时，直接写出的取值范围．

【分析】（1）利用待定系数法可得该抛物线的解析式；
（2）根据配方法可得抛物线的对称轴，确定点的坐标，知道轴，根据三角形的面积公式可得结论；
（3）根据图象可得当抛物线在点与点之间（包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为4时，点的位置，从而确定的取值范围；
（4）分三种情况讨论满足时，的取值范围．
【解答】解：（1）把点、代入得：
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，，
点为，
当轴时，点与点关于对称轴对称，
点，
，点到的距离为1，
，
的面积为1；
（3）设抛物线与轴的另一交点为点，如图所示，

点与点关于直线对称，
点为
当点在点和点之间时，点与点之间（包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值4，
此时的取值范围为：；
（4）过点作轴交抛物线于点，此时点与点关于对称轴对称，，如图所示：

①当点在点和点之间时，即时，，，
，
，
解得：（不合题意）；
②当点在点和点之间时，即时，，，
符合题意，
，
③当点在点下方时，即时，，
，
，
，
或，
解得：或或，
，
．
综上所述，的取值范围为或．