吉林省长春五十二中赫行实验中学2021-2022学年九年级上学期调研数学试卷（9月份）（Word解析版）

这是一份吉林省长春五十二中赫行实验中学2021-2022学年九年级上学期调研数学试卷（9月份）（Word解析版），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
吉林省长春五十二中赫行实验中学2021-2022学年九年级上学期调研数学试卷（9月份）解析版
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．﹣（﹣3）等于（　　）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
2．2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为1412000000人，把数字1412000000用科学记数法表示为（　　）
A．14.12×108 B．1.412×1010
C．0.1412×1010 D．1.412×109
3．如图是一个螺栓的示意图，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A．4﹣＝4 B．×＝ C．+＝3 D．÷＝2
5．若关于x的一元二次方程5x2+10x+m＝0没有实数根，则m的取值范围为（　　）
A．m＜5 B．m≤5 C．m＞5 D．m≥5
6．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：AC＝1：3，DE＝3，则EF的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．9
7．如图，在△ABC中，∠ABC＝72°，∠A＝62°，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心、大于BC的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN交AC于点D，则∠ADB的大小为（　　）

A．46° B．92° C．108° D．134°
8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，与函数y＝（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若AB＝2BC，则k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．分解因式：b2﹣2b＝　 　．
10．若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　．
11．甲、乙两名射击运动员各进行10次射击练习，总成绩均为95环，这两名运动员成绩的方差分别是S甲2＝0.6，S乙2＝0.4，则成绩更稳定的是　 　．
12．小华利用灯光下自己的影子长度来测量一盏路灯的高度，如图，身高1.7米的小华从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8米到达点D处，测得影子DE长是2米，则路灯灯泡A离地面的高度AB为 　 　米．

13．2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价x元，可列方程 　 　．
14．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线y＝x+b与△ABC有交点时，b的取值范围是　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：﹣，其中x＝﹣1．
16．（6分）在一个不透明的盒子中放有三张卡片，分别标记为A、B、C，每张卡片除了标记不同外，其余均相同．某同学第一次从盒子中随机抽取一张卡片，卡片放回，第二次又随机抽取一张卡片．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽取的都是A的概率．
17．（6分）如图，某市城建部门计划在新建的城市广场的一块长方形空地ABCD上修建一个面积为1200平方米的停车场，同时将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道．已知整个长方形空地的长AD为50米，宽CD为40米．求四周通道的宽度．

18．（7分）如图，在▱ABCD中，点G为边AB上一点，CG＝BC，延长CG交DA的延长线于点E，过点D作DF∥EC交BC的延长线于点F．
（1）求证：四边形ECFD是菱形；
（2）若AG＝2BG，BC＝2，则菱形ECFD的周长为 　 　．

19．（7分）某校为了解九年级360名学生周末在家体育锻炼的情况，在该校九年级随机抽取了18名男生和18名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了如下数据（单位：分钟）
【收集整理数据】
男生：28，30，32，39，46，57，58，66，68，69，70，70，80，88，95，99，100，105；
女生：29，35，36，48，55，56，62，69，69，72，73，78，88，88，90，98，99，109．
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数如表：
统计量
数值
组别
平均数 （单位：分钟）
中位数 （单位：分钟）
众数 （单位：分钟）
男生
66.7
68.5
a
女生
69.7
b
69，88
根据以上信息解答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）如果该校男、女生人数相同，估计该校九年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）同学的人数．
（3）王老师看了表格数据后认为九年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持王老师观点的理由．
20．（7分）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，PC：PB＝　 　．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．

21．（8分）张师傅开车到某地送货，汽车出发前油箱中有油50升，行驶一段时间，张师傅在加油站加油，然后继续向目的地行驶，已知加油前、后汽车都匀速行驶，汽车行驶时每小时的耗油量一定．油箱中剩余油量Q（升）与汽车行驶时间t（时）之间的函数图象如图所示．
（1）张师傅开车行驶 　 　小时后开始加油，本次加油 　 　升．
（2）求加油前Q与t之间的函数关系式．
（3）如果加油站距目的地320千米，汽车行驶速度为80千米/时，张师傅要想到达目的地，油箱中的油是否够用？请通过计算说明理由．

22．（9分）根据已知图形解答下列问题
（1）问题发现：
如图①，A、B、C、D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库P和Q分别位于AD和DC上，且两条直路BP⊥AQ．易证：BP＝AQ．
（2）类比探究：
如图②，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．点P在边AD上，连结BP，过点A作AQ⊥BP于点M，交射线DC于点Q．
①求的值．
②DQ的最大值为 　 　．

23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，△ABC的面积为10．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ∥BC交边AC于点Q，以PQ为边向下作正方形PQMN．设点P的运动时间为t秒．
（1）边AC的长为 　 　．
（2）当点N落在边BC上时，求正方形PQMN的面积．
（3）设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
（4）点D为边BC的中点，连结PD．若直线PD将正方形PQMN分成两部分图形的面积比为1：2时，直接写出t的值．

24．（12分）已知函数y＝，其中m为常数，该函数图象记为G．
（1）当m＝1时．
①若点A（a，4）在图象G上，求a的值．
②当﹣1≤x≤2时，直接写出函数值y的取值范围．
（2）点B在图象G上，点B的横坐标为2m．
①用含m的代数式表示点B的坐标．
②当m＞0时，直线y＝4m与图象G交于点C、D，当△BCD的面积为9时，求点B的坐标．
③过点B作x轴的垂线，与直线y＝x+交于点H，当BH≥2时，直接写出m的取值范围．


参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．﹣（﹣3）等于（　　）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣（﹣3）＝3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为1412000000人，把数字1412000000用科学记数法表示为（　　）
A．14.12×108 B．1.412×1010
C．0.1412×1010 D．1.412×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：1412000000＝1.412×109．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．
3．如图是一个螺栓的示意图，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看该零件的示意图是一个正六边形，且中间有一个圆，
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
4．下列运算正确的是（　　）
A．4﹣＝4 B．×＝ C．+＝3 D．÷＝2
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A.4﹣＝3，故此选项不合题意；
B.×＝，故此选项符合题意；
C.+＝2，故此选项不合题意；
D.÷＝，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．若关于x的一元二次方程5x2+10x+m＝0没有实数根，则m的取值范围为（　　）
A．m＜5 B．m≤5 C．m＞5 D．m≥5
【分析】先表示出“Δ”．再根据没有实数根，判别式小于0求解．
【解答】解：根据题意得：Δ＝100﹣20m＜0，
解得：m＞5，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，正确计算是解题的关键．
6．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：AC＝1：3，DE＝3，则EF的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．9
【分析】由平行线可得比例式，代入可求得EF．
【解答】解：∵AB：AC＝1：3
∴AB：BC＝1：2，
∵a∥b∥c
∴，即，
解得EF＝6，
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，∠ABC＝72°，∠A＝62°，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心、大于BC的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN交AC于点D，则∠ADB的大小为（　　）

A．46° B．92° C．108° D．134°
【分析】先根据三角形内角和计算出∠C＝46°，再利用基本作图得到DN垂直平分BC，接着根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠DBC＝∠C＝46°，然后利用三角形外角性质得到∠ADB的度数．
【解答】解：∵∠ABC＝72°，∠A＝62°，
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠A＝46°，
由作法得DN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝46°，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝2×46°＝92°．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，与函数y＝（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若AB＝2BC，则k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】如图，过点C作CD⊥x轴于点D，所以OB∥CD，所以AB：AC＝OB：CD＝OA：AD＝2：3．由直线y＝x+2与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，可知A（﹣4，0），B（0，2），所以OA＝4，OB＝2，所以AD＝6，CD＝3，则OD＝2，由此可得C（2，3）．根据反比例函数上点的坐标特点可得出结论．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，

∴OB∥CD，
∴AB：AC＝OB：CD＝OA：AD，
∵AB＝2BC，
∴AB：AC＝2：3，
∴OB：CD＝OA：AD＝2：3，
∵直线y＝x+2与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，
∴A（﹣4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
∴AD＝6，CD＝3，
∴OD＝2，
∴C（2，3）．
∵点C在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝2×3＝6．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数和反比例函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，平行线分线段成比例等相关内容，作出辅助线，得出比例求出点C的坐标是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．分解因式：b2﹣2b＝　b（b﹣2）　．
【分析】通过观察可知公因式是b，将b提取出来即可．
【解答】解：b2﹣2b＝b（b﹣2）．
【点评】本题考查学生提取法因式分解的方法．注意公因式应该是多项式中各项相同字母最低次幂与系数最大公约数的积，提取时，一定要提尽公因式．
10．若二次根式有意义，则x的取值范围是 　x＞1　．
【分析】根据二次根式（a≥0），以及分母不为0，可得≥0且x﹣1≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
≥0且x﹣1≠0，
∴x﹣1＞0，
解得：x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式（a≥0），以及分母不为0是解题的关键．
11．甲、乙两名射击运动员各进行10次射击练习，总成绩均为95环，这两名运动员成绩的方差分别是S甲2＝0.6，S乙2＝0.4，则成绩更稳定的是　乙　．
【分析】由方差反映了一组数据的波动情况，方差越小，则数据的波动越小，成绩越稳定可以作出判断．
【解答】解：∵S甲2＝0.6，S乙2＝0.4，
则S甲2＞S乙2，
可见较稳定的是乙．
故答案为：乙．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12．小华利用灯光下自己的影子长度来测量一盏路灯的高度，如图，身高1.7米的小华从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8米到达点D处，测得影子DE长是2米，则路灯灯泡A离地面的高度AB为 　8.5　米．

【分析】由AB⊥BE，CD⊥BE，得到AB∥CD，推出△ECD∽△EAB，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．
【解答】解：∵AB⊥BE，CD⊥BE，
∴AB∥CD，
∴△ECD∽△EAB，
∴＝，
∴＝，
解得：AB＝8.5，
答：路灯灯泡A离地面的高度AB为8.5米，
故答案为：8.5．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，平行线的判定，证得△ECD∽△EAB是解题的关键．
13．2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价x元，可列方程 　（50﹣x）（300+10x）＝16000　．
【分析】设每盒粽子降价x元，则每盒的利润为（50﹣x）元，平均每天可卖（300+10x）盒，根据总利润＝每盒的利润×平均每天的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程即可．
【解答】解：设每盒粽子降价x元，则每盒的利润为（50﹣x）元，平均每天可卖（300+10x）盒，
依题意得：（50﹣x）（300+10x）＝16000，
故答案为：（50﹣x）（300+10x）＝16000．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线y＝x+b与△ABC有交点时，b的取值范围是　﹣≤b≤1　．

【分析】利用函数图象，把C点和B点坐标分别代入y＝x+b中求出对应的b的值，从而得到直线y＝x+b与△ABC有交点时，b的取值范围．
【解答】解：把C（2，2）代入y＝x+b得1+b＝2，解得b＝1，
把B（3，1）代入y＝x+b得+b＝1，解得b＝﹣，
所以当直线y＝x+b与△ABC有交点时，b的取值范围是﹣≤b≤1．
故答案为﹣≤b≤1．
【点评】本题考查了一次函数与系数的关系：由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．当k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：﹣，其中x＝﹣1．
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣＝＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（6分）在一个不透明的盒子中放有三张卡片，分别标记为A、B、C，每张卡片除了标记不同外，其余均相同．某同学第一次从盒子中随机抽取一张卡片，卡片放回，第二次又随机抽取一张卡片．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽取的都是A的概率．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的都是A的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，两次抽取的都是A的有1种情况，
∴两次抽取的都是A的概率为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（6分）如图，某市城建部门计划在新建的城市广场的一块长方形空地ABCD上修建一个面积为1200平方米的停车场，同时将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道．已知整个长方形空地的长AD为50米，宽CD为40米．求四周通道的宽度．

【分析】设四周通道的宽度为xm，则停车场的长为（50﹣2x）m，宽为（40﹣2x）m，根据停车场的面积为1200m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设四周通道的宽度为xm，则停车场的长为（50﹣2x）m，宽为（40﹣2x）m，
依题意得：（50﹣2x）（40﹣2x）＝1200，
整理得：x2﹣45x+200＝0，
解得：x1＝5，x2＝40．
当x＝5时，40﹣2x＝40﹣2×5＝30，符合题意；
当x＝40时，40﹣2x＝40﹣2×40＝﹣40＜0，不符合题意，舍去．
答：四周通道的宽度为5m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．（7分）如图，在▱ABCD中，点G为边AB上一点，CG＝BC，延长CG交DA的延长线于点E，过点D作DF∥EC交BC的延长线于点F．
（1）求证：四边形ECFD是菱形；
（2）若AG＝2BG，BC＝2，则菱形ECFD的周长为 　24　．

【分析】（1）先证四边ECFD是平行四边形，再证∠ADC＝∠ECD，则DE＝CE，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得DE＝CE＝CF＝DF，再证△AEG∽△BCG，得EG＝2CG＝4，则CE＝EG+CG＝6，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，
∵DF∥EC，
∴四边ECFD是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠ECD＝∠CGB，
∵CG＝BC，
∴∠B＝∠CGB，
∴∠ADC＝∠ECD，
∴DE＝CE，
∴平行四边形ECFD是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形ECFD是菱形，
∴DE＝CE＝CF＝DF，
∵AD∥BC，
∴△AEG∽△BCG，
∴＝，
∵AG＝2BG，
∴＝＝2，
∴EG＝2CG，
∵BC＝2，
∴CG＝2，
∴EG＝2CG＝4，
∴CE＝EG+CG＝4+2＝6，
∴菱形ECFD的周长＝4CE＝4×6＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
19．（7分）某校为了解九年级360名学生周末在家体育锻炼的情况，在该校九年级随机抽取了18名男生和18名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了如下数据（单位：分钟）
【收集整理数据】
男生：28，30，32，39，46，57，58，66，68，69，70，70，80，88，95，99，100，105；
女生：29，35，36，48，55，56，62，69，69，72，73，78，88，88，90，98，99，109．
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数如表：
统计量
数值
组别
平均数 （单位：分钟）
中位数 （单位：分钟）
众数 （单位：分钟）
男生
66.7
68.5
a
女生
69.7
b
69，88
根据以上信息解答下列问题：
（1）a＝　70　，b＝　70.5　；
（2）如果该校男、女生人数相同，估计该校九年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）同学的人数．
（3）王老师看了表格数据后认为九年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持王老师观点的理由．
【分析】（1）根据中位数、众数的意义进行计算即可；
（2）求出男、女生中“优秀”所占的百分比即可；
（3）从平均数、中位数的比较得出结论即可．
【解答】解：（1）这18名男生体育锻炼时间出现次数最多的是70分钟，因此众数是70分钟，即a＝70；
将这18名女生的体育锻炼时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝70.5（分钟），因此中位数是70.5分钟，即b＝70.5；
故答案为：70，70.5；
（2）180×+180×＝70（人），
答：估计该校九年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）同学的人数大约为70人；
（3）理由一：因为69.7＞66.7，所以女生周末锻炼时间的平均时间比男生的长，因此女生做得更好；
理由二：因为70.5＞68.5，所以女生周末锻炼时间的中位数比男生的高，因此女生做得更好．
【点评】本题考查中位数、众数、平均数，理解平均数、中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提．
20．（7分）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，PC：PB＝　1：3　．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．

【分析】（1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论；
（2）①根据勾股定理得AB的长为5，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P；
②作点A的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD．
【解答】解：（1）图1中，
∵AB∥CD，
∴＝＝，
故答案为1：3．
（2）
①如图2所示，点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，
点P即为所要找的点，
∵AB∥CD，
∴△APB∽△CPD．
【点评】本题考查了作图﹣相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
21．（8分）张师傅开车到某地送货，汽车出发前油箱中有油50升，行驶一段时间，张师傅在加油站加油，然后继续向目的地行驶，已知加油前、后汽车都匀速行驶，汽车行驶时每小时的耗油量一定．油箱中剩余油量Q（升）与汽车行驶时间t（时）之间的函数图象如图所示．
（1）张师傅开车行驶 　3　小时后开始加油，本次加油 　31　升．
（2）求加油前Q与t之间的函数关系式．
（3）如果加油站距目的地320千米，汽车行驶速度为80千米/时，张师傅要想到达目的地，油箱中的油是否够用？请通过计算说明理由．

【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以写出张师傅开车行驶几小时后开始加油，本次加油多少升；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出加油前Q与t之间的函数关系式；
（3）根据图象中的数据，可以计算出每小时耗油多少升，然后再根据后来加油后油箱中的升数，即可计算出可以最多跑的路程，再与320比较大小即可．
【解答】解：（1）由图象可得，
张师傅开车行驶3小时后开始加油，本次加油45﹣14＝31（升），
故答案为：3，31；
（2）设加油前Q与t之间的函数关系式是Q＝kt+b，
∵点（0，50），（3，14）在该函数图象上，
∴，
解得，
即加油前Q与t之间的函数关系式是Q＝﹣12t+50（0≤t≤3）；
（3）张师傅要想到达目的地，油箱中的油不够用，
理由：由图象可得，
汽车的耗油量为：（50﹣14）÷3＝12（升/时），
45÷12×80
＝×80
＝300（千米），
∵300＜320，
∴张师傅要想到达目的地，油箱中的油不够用．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
22．（9分）根据已知图形解答下列问题
（1）问题发现：
如图①，A、B、C、D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库P和Q分别位于AD和DC上，且两条直路BP⊥AQ．易证：BP＝AQ．
（2）类比探究：
如图②，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．点P在边AD上，连结BP，过点A作AQ⊥BP于点M，交射线DC于点Q．
①求的值．
②DQ的最大值为 　　．

【分析】（1）结论：AQ＝BP．如图1中，设AQ交BP于O．证明△ADQ≌△BAP（AAS）可得结论；
（2）①证明△ADQ∽△BAP，推出；
②如图2，当P与D重合时，BP最长，则AQ有最大值，此时DQ最大．由勾股定理可求出答案．
【解答】（1）证明：如图1中，设AQ交BP于O，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BAP＝90°，AD＝AB，
∴∠DAQ+∠AQD＝90°，
∵AQ⊥BP，
∴∠AOP＝90°，
∴∠DAQ+∠APB＝90°，
∴∠AQD＝∠APB，
∴△ADQ≌△BAP（AAS），
∴AQ＝BP；
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAP＝90°，
∴∠DAQ+∠AQD＝90°，
∵AQ⊥BP，
∴∠AMP＝90°，
∴∠DAQ+∠APB＝90°，
∴∠AQD＝∠APB，
∴△ADQ∽△BAP，
∴；
②如图2，当P与D重合时，BP最长，则AQ有最大值，此时DQ最大．

由（2）可知，，
∵AB＝2，AD＝3，
∴BD＝＝＝，
∴AQ＝BD＝，
∴DQ＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，△ABC的面积为10．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ∥BC交边AC于点Q，以PQ为边向下作正方形PQMN．设点P的运动时间为t秒．
（1）边AC的长为 　2　．
（2）当点N落在边BC上时，求正方形PQMN的面积．
（3）设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
（4）点D为边BC的中点，连结PD．若直线PD将正方形PQMN分成两部分图形的面积比为1：2时，直接写出t的值．

【分析】（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于点H．利用三角形的面积公式求出AH，再利用勾股定理求出AC即可；
（2）由tanB＝＝＝，tanC＝＝＝2，推出BN＝t，CM＝t，可得t+t+t＝5，解方程即可解决问题；
（3）分两种情形：当0＜t≤时，重叠部分是正方形PQMN，当＜t＜5，如图3中，重叠部分是矩形PQJK，分别求解即可；
（4）分两种情形：如图4﹣1中，设直线PD交NM于点T，PN交BC于点K，QM交BC于点J．如图4﹣2中，设PD交QM于点T，当QY＝2TM时，分别构建方程求解．
【解答】解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于点H．

∵BC＝5，S△ABC＝10，
∴×5×AH＝10，
∴AH＝4，
∴BH＝＝＝3，
∴CH＝BC＝BH＝5﹣3＝2，
∴AC＝＝＝2；

（2）如图2中，

∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠C，
∵PQ∥CB，
∴∠PAQ＝∠AQP，
∴PA＝PQ＝t，
∵四边形PQMN是正方形，
∴PQ＝MN＝PN＝QM＝t，
∵tanB＝＝＝，tanC＝＝＝2，
∴BN＝t，CM＝t，
∴t+t+t＝5，
解得，t＝，
∴PQ＝，
∴正方形PQMN的面积＝；

（3）当0＜t≤时，重叠部分是正方形PQMN，S＝t2．

当＜t＜5，如图3中，重叠部分是矩形PQJK，S＝PQ•PK＝t×（5﹣t）＝﹣t2+4t．

∴S＝；

（4）如图4﹣1中，设直线PD交NM于点T，PN交BC于点K，QM交BC于点J．

当NT＝2TM时，满足条件，
∴NT＝t，
∵DK∥NT，
∴＝，
∴＝，
∴DK＝（5﹣t），
∵BD＝CD＝，
∴（5﹣t）+（5﹣t）＝，
∴t＝．
如图4﹣2中，设PD交QM于点T，当QY＝2TM时，满足条件．

由△PDK∽△TPQ，可得＝＝，
∴＝，
∴t＝．
综上所述，满足条件的t的值或．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
24．（12分）已知函数y＝，其中m为常数，该函数图象记为G．
（1）当m＝1时．
①若点A（a，4）在图象G上，求a的值．
②当﹣1≤x≤2时，直接写出函数值y的取值范围．
（2）点B在图象G上，点B的横坐标为2m．
①用含m的代数式表示点B的坐标．
②当m＞0时，直线y＝4m与图象G交于点C、D，当△BCD的面积为9时，求点B的坐标．
③过点B作x轴的垂线，与直线y＝x+交于点H，当BH≥2时，直接写出m的取值范围．

【分析】（1）①将m＝1代入函数解析式，分别讨论a≥1，a＜1，将点A的坐标代入对应解析式求解．
②分别求出当1≤x≤2时和当﹣1≤x＜1时，y的取值范围．
（2）①分别将x＝2m代入y＝2x+2m，y＝﹣x+2m求解．
②令y＝4m，求出CD的长度，再由S△BCD＝CD•|yB﹣yC|求解．
③将x＝2m代入y＝x+求出点H坐标，进而求解．
【解答】解：（1）当m＝1时，y＝，
①当a≥1时，4＝2a+2，
解得a＝1，
当a＜1时，4＝﹣a+2，
解得a＝﹣2．
∴a的值为1或﹣2．
②当1≤x≤2时，y＝2x+2中，y随x增大而增大，
∴4≤y≤6，
当﹣1≤x＜1时，y＝﹣x+2，y随x增大而减小，
∴1＜y≤3．
综上所述，4≤y≤6或1＜y≤3．
（2）①当2m≥m时，m≥0，将x＝2m代入y＝2x+2m得y＝6m，
∴点B坐标为（2m，6m），
当2m＜m时，m＜0，将2m代入y＝﹣x+2m得y＝0，
∴点B坐标为（2m，0），
综上所述，点B坐标为（2m，6m）或（2m，0）．
②将y＝4m代入y＝2x+2m得4m＝2x+2m，
解得x＝m，
将y＝4m代入y＝﹣x+2m得4m＝﹣x+2m，
解得x＝﹣2m，
∴CD＝m﹣（﹣2m）＝3m，
∵S△BCD＝CD•|yB﹣yC|＝m|6m﹣4m|＝3m2＝9，
解得m＝或m＝﹣（舍），
∴点B坐标为（2，6）．
（3）把x＝2m代入y＝x+得y＝2m+，
∴点H坐标为（2m，2m+），
当m＞0时，点B坐标为（2m，6m），
∴BH＝|6m﹣2m﹣|＝|4m﹣|≥2，
解得m≥或m≤﹣（舍），
当m＜0时，点B坐标为（2m，0），
∴BH＝|2m+|≥2，
解得m≥（舍）或m≤﹣，
综上所述，m≥或m≤﹣．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，通过分类讨论求解．