专题5.12 《分式与分式方程》全章复习与巩固（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

这是一份专题5.12 《分式与分式方程》全章复习与巩固（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题5.12 《分式与分式方程》全章复习与巩固 （专项练习）
一、单选题
1．（2019·河北衡水市·八年级期末）下列代数式中，属于分式的是（ ）
A．5x B． C． D．
2．（2019·安徽九年级专题练习）体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是米/秒，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2018·山西九年级专题练习）若代数式有意义，则实数的取值范围是（　　）
A．=0 B．=4 C．≠0 D．≠4
4．（2015·山西九年级专题练习）关于的分式方程有解，则字母的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．且
5．（2020·河南洛阳市·八年级期中）生物学家发现一种病毒的长度约为0.000043mm，用科学记数法表示这个数的结果为（单位：mm）（　　）
A．4.3×10﹣5 B．4.3×10﹣4 C．4.3×10﹣6 D．43×10﹣5
6．（2019·全国八年级单元测试）已知a、b为实数且ab=1，设P=1a+1+1b+1,Q=aa+1+bb+1，则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P＜Q C．P=Q D．大小关系不能确定
7．（2019·全国八年级单元测试）几名同学租一辆面包车去旅游，面包车的租价为240元，出发时又增加了2名同学，结果每个同学比原来少分摊了4元钱车费，设参加旅游的同学共x人，则所列方程为（ ）
A．240x-240x-2=4 B．240x-2-240x=4
C．240x-240x+2=4 D．240x+2-240x=4
8．（2019·全国九年级专题练习）若分式的值等于0，则x的值是( )
A．2 B． C． D．不存在
9．（2019·全国八年级单元测试）如果分式2xx+y中的x和y都同时缩小为原来的12，那么分式的值（ ）
A．缩小到原来的12 B．缩小到原来的14 C．不变 D．扩大 2 倍
10．（2018·全国八年级单元测试）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>3 B．x<2 C． D．
11．（2019·全国八年级单元测试）设 (A，B为常数)，则(　　)
A． B． C． D．
12．（2019·全国八年级单元测试）下列各式计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
13．（2019·全国八年级单元测试）计算的结果是(　　)
A． B． C． D．
14．（2018·全国八年级单元测试）已知a＝，b＝－|-|，c＝(－2)3，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b

二、填空题
15．（2019·上海宝山区·七年级期末）化简:＝ __________.
16．（2019·全国八年级单元测试）已知x为正整数，分式x+1x-1的值也是整数，则x的值可能为_________.
17．（2019·江苏无锡市·八年级期末）若分式方程1x-3-2=k3-x有增根,则k的值是_________.
18．（2019·全国八年级单元测试）对于正数x，规定f(x)＝，例如f(3)＝＝，f()＝＝，计算：f(2020)＋f(2019)＋…＋f(1)＋f()＋f()＋…+ f()＋f()＝_________．
19．（2019·全国八年级单元测试）分式方程＝－2的解为_____．
20．（2018·全国八年级单元测试）如果,那么的值为__________.
21．（2018·全国八年级单元测试）分式的最简公分母是 ______________.
22．（2019·全国八年级单元测试）已知x－3y＝0，且y≠0，则的值等于________．
23．（2019·安徽九年级专题练习）化简：（1_____．
24．（2018·全国八年级单元测试）当x＝________时，分式的值与的值互为相反数．
25．（2020·安徽七年级期中）计算：______．
26．（2018·全国八年级单元测试）当______，分式的值为零．
27．（2019·四川资阳市·八年级期中）若a2＋5ab－b2＝0，则－的值为_____．
28．（2018·贵州遵义市·中考模拟）若单项式2ax+1b与﹣3a3by+4是同类项，则xy=_____．
29．（2018·全国八年级单元测试）分式、、、中，最简分式的个数是____个．

三、解答题
30．（2018·全国八年级单元测试）
计算（1）．; （2）
(3) ．; （4）解方程:



31． （2019·全国八年级单元测试）先化简，再求值：(x－2＋)÷，其中x＝(π－2019)0－＋()－1.




32．（2019·全国八年级单元测试）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？





32． （2020·河南洛阳市·八年级期中）在“母亲节”前期，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销售量大，店主决定将玫瑰每枝降价1元促销，降价后30元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的1.5倍，求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？





34．（2019·保定市第一中学分校八年级期末）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明.

参考答案
1．C
【分析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，从而得出答案．
【详解】
根据分式的定义
A．是整式，答案错误；
B．是整式，答案错误；
C．是分式，答案正确；
D．是根式，答案错误；
故选C．
【点拨】
本题考查了分式的定义，在解题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
2．C
【分析】
先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可．
【详解】
小进跑800米用的时间为秒，小俊跑800米用的时间为秒，
∵小进比小俊少用了40秒，
方程是，
故选C．
【点拨】
本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．
3．D
【解析】
由分式有意义的条件:分母不为0，即x-4≠0，解得x≠4，
故选D.
4．D
【分析】
根据题意先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据“关于的分式方程有解”，即且建立不等式，进而即可求的取值范围.
【详解】
解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
∵关于的分式方程有解，
∴，且，
即，
系数化为1得：，
∴且，
即，，
综上所述：关于的分式方程有解，则字母的取值范围是，，
故选：D.
【点拨】
本题考查分式方程，熟练掌握分式方程的求解方法以及根据分式方程的解和分母不为0的前提求字母的取值范围是解题的关键.
5．A
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】
0.000043的小数点向右移动5位得到4.3，
所以0.000043用科学记数法表示为4.3×10﹣5，
故选A．
【点拨】
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．C
【解析】
【分析】
分别通分化成同分母的分式相加，再根据同分母分式相加的法则进行计算，最后比较即可．
【详解】
解：P=1a+1+1b+1
=b+1+a+1（a+1）（b+1）
=b+a+2（a+1）（b+1）
∵ab=1，
∴Q=aa+1+bb+1
=a(b+1)+b(a+1)（a+1）（b+1）
=2ab+a+b（a+1）（b+1）
=2+a+b（a+1）（b+1）
∴P=Q，
故选：C．
【点拨】
本题考查分式的加减法则的运用和学生的计算能力，解题关键是熟练掌握法则，题目比较好，难度适中．
7．B
【解析】
【分析】
设参加旅游的同学共x人，原有人数为（x-2）人，根据每个同学比原来少分摊了4元钱车费，列方程．
【详解】
解：设参加旅游的同学共x人，原有人数为（x-2）人，
由题意得，240x-2-240x=4
故选：B．
【点拨】
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．
8．A
【解析】
【分析】
分式等于零：分子等于零，且分母不等于零．
【详解】
解：由题意，得
x2-4=0，且x+2≠0，
解得，x=2．
故选A．
【点拨】
本题考查分式有意义的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
9．C
【解析】
【分析】
根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数或者整式，分式的值不变，可得答案．
【详解】
解：分式2xx+y中的x和y都同时缩小为原来的12，那么分式的值不变，故C符合题意；
故选：C．
【点拨】
本题考查分式基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数或者整式，分式的值不变．
10．D
【分析】
根据零指数幂和负整数幂有意义的条件进行解答．
【详解】
若式子有意义，则x-3≠0且3x-6≠0，
解得：x≠3且x≠2．
故选D．
【点拨】
本题主要考查零指数幂和负指数次幂有意义这一个条件．
11．A
【解析】
【分析】
对等式右边通分加减运算和，再根据对应项系数相等列方程组求解即可．
【详解】
．
所以，
解得．
故选A．
【点拨】
此题考查了分式的减法，比较灵活，需要熟练掌握分式的加减运算．
12．D
【解析】
【分析】
根据分式的运算法则对各选项逐一判断即可.
【详解】
A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项错误；
C.=，故该选项错误；
D.==0, 故该选项正确.
故选D.
【点拨】
本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键.
13．A
【分析】
将第一个分式的分子、分母进行因式分解后，再约分即可得解.
【详解】
，
=，
=.
故选A.
【点拨】
本题考查分式的乘法，约分是分式乘法的关键.
14．C
【解析】
【分析】
根据乘方的运算、绝对值的定义将a、b、c去括号、去绝对值后进行比较即可.
【详解】
a＝，b＝﹣|﹣|＝，c＝（﹣2）3＝﹣8，∴c＜b＜a.故选C.
【点拨】
本题主要考查乘方和绝对值的运算，熟练掌握运算法则是解答的关键.
15．a+b
【解析】
【分析】
将原式通分相减，然后用平方差公式分解因式，再约分化简即可。
【详解】
解：原式=
=
=
=a+b
【点拨】
此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．2，3．
【解析】
【分析】
按题意分情况讨论x为整数满足分式的值为整数的取值即可，注意分母不能为0的情况．
【详解】
解：因为x为正整数，分式x+1x-1=1+2x-1的值也为整数，所以x-1=1或2，满足条件的有以下情况：
当x=2时，分式值为3；
当x=3时，分式值为2；
故答案为：2，3．
【点拨】
本题考查分式的性质，注意分式分母不能为0的隐性条件．解题关键是分类讨论思想，注意不要漏解．
17．-1
【解析】
【分析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x-7=0，所以增根是x=7，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
【详解】
解：方程两边都乘（x-3），得
1-2（x-3）=-k，
∵方程有增根，
∴最简公分母x-3=0，即增根是x=3，
把x=3代入整式方程，得k=-1．
故答案为：-1．
【点拨】
考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
18．2020
【分析】
根据运算规则可得：f(3)+ f()=1，据此可推出结果.
【详解】
根据运算规则可得：f(3)+ f()=1，f(2020)＋f()=1，
所以，f(2020)＋f(2019)＋…＋f(1)＋f()＋f()＋…+ f()＋f()＝1×2020=2020
故答案为2020
【点拨】
本题考查了分式的加减，找出规律是解题的关键.
19．x＝
【分析】
先去分母，再解整式方程即可.
【详解】
解：方程两边乘以2(x-1)，得
2x=3-4(x-1)
解得x＝
检验：当x＝时，2(x-1)≠0，
所以，分式方程的解是x＝.
故答案为x＝
【点拨】
本题考查了解分式方程，熟练掌握运算步骤是解题的关键.
20．11
【解析】
【分析】
根据完全平方公式代入进行计算.
【详解】
∵
∴两边平方:=9，
∴=11.
【点拨】
主要考察的是完全平方公式的应用，熟练掌握是解题的关键.
21．72xyz2
【解析】
【分析】
根据通分的知识进行计算.
【详解】
12、9、8的最小公倍数为72，
x的最高次幂为1，y的最高次幂为1，z的最高次幂为2，
所以最简公分母为72xyz2.
故答案为72xyz2.
【点拨】
主要考察的是你对通分等知识点的理解.
22．
【解析】
【分析】
把小括号内分式通分并把分母分解因式，然后根据分式的乘法运算进行计算，再把x=3y代入进行计算即可得解．
【详解】
，
=，
=，
=，
∵x-3y=0，且y≠0，
∴x=3y，
∴原式=．
故答案为．
【点拨】
本题考查了分式的化简求值，一般分子、分母能因式分解的先因式分解，本题先计算然后再对分母分解因式更简便．
23．．
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】
(1+)÷
=
=
=，
故答案为.
【点拨】
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．
24．1
【解析】
【分析】
根据相反数的定义可知，当与互为相反数时，（其中x≠﹣5，x≠2），计算求解即可.
【详解】
∵与互为相反数，∴（其中x≠﹣5，x≠2），解得x＝1.故答案为1.
【点拨】
本题主要考查相反数的定义和解分式方程，根据相反数的定义得到（其中x≠﹣5，x≠2）是解题的关键.
25．4
【解析】
【分析】
原式第一项利用零指数幂法则化简，第二项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【详解】
原式＝1×2+2=2+2=4．
故答案为：4．
【点拨】
本题考查了零指数幂和负整数指数幂运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
26．-1
【解析】
【分析】
让分子为0，分母不为0列式求解即可．
【详解】
由题意得：，解得：，∴x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点拨】
本题考查了分式值为0的条件．用到的知识点为：分式的值为零，则分子为0，同时要考虑分母不为0这个条件．
27．5
【解析】
原式通分并利用同分母分式的加法法则变形，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
解：∵a2-5ab+b2=0，∴a2+b2=5ab，
则原式===5．
故答案为5．
“点拨”此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
28．
【解析】
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出x，y的值，再代入代数式计算即可．
【详解】∵单项式2ax+1b与﹣3a3by+4是同类项，
∴x+1=3，y+4=1，
∴x=2，y=﹣3．
∴xy=2﹣3=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了同类项的定义、负指数幂的计算，熟知同类项定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）以及负指数幂的运算法则是解题的关键.
29．1
【解析】
试题解析：是最简分式.
故答案为：1.
30．（1） （2） （3） （4）
【分析】
根据分式的乘除法则、分式的加减法则等等知识进行计算.
【详解】
（1）原式=×4=，
（2）原式=÷--×=
（3）原式===-=
（4）原式：，
=3+
，
两边同除得，=3x-2，
解得x=.
【点拨】
本题主要考察的是分式的乘除法则、分式的加减法则等等知识，熟练掌握是本题的解题关键.
31．.
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出x的值代入计算即可求出值．
【详解】
(x－2＋)÷
=
=
＝.
x＝(π－2019)0－＋()－1＝1－2＋3＝2，
当x＝2时，原式＝＝.
【点拨】
此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
32．（1）9万元 （2）共有5种进货方案 （3）购买A款汽车6辆，B款汽车9辆时对公司更有利
【解析】
分析：（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量=去年的销售数量．
（2）关系式为：公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆．
（3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；多进B款汽车对公司更有利，因为A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，所以要多进B款．
详解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：
，
解得：m=9．
经检验，m=9是原方程的根且符合题意．
答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；
（2）设购进A款汽车x辆，则购进B款汽车（15﹣x）辆，根据题意得：
　99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．
解得：6≤x≤10．
∵x的正整数解为6，7，8，9，10，∴共有5种进货方案；
（3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，则：
W=（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）=（a﹣0.5）x+30﹣15a．
当a=0.5时，（2）中所有方案获利相同．
此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆时对公司更有利．
点拨：本题考查了分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键．
33．降价后每枝玫瑰的售价是2元．
【解析】
分析：设降价后每枝玫瑰的售价是x元，则降价前每枝玫瑰的售价是（x+1）元，根据降价后30元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
详解：设降价后每枝玫瑰的售价是x元，则降价前每枝玫瑰的售价是（x+1）元，
根据题意得：
解得：x=2，
经检验，x=2是原分式方程的解，且符合题意．
答：降价后每枝玫瑰的售价是2元．
点拨：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
34．（1）；（2），证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据观察到的规律写出第6个等式即可；
（2）根据观察到的规律写出第n个等式，然后根据分式的运算对等式的左边进行化简即可得证.
【详解】（1）观察可知第6个等式为：，
故答案为；
（2）猜想：，
证明：左边====1，
右边=1，
∴左边=右边，
∴原等式成立，
∴第n个等式为：，
故答案为.
【点拨】本题考查了规律题，通过观察、归纳、抽象出等式的规律与序号的关系是解题的关键.