专题12.1 全等三角形（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题12.1  全等三角形（知识讲解）

【学习目标】

1、从图形重合中理解图形全等的对应边、对应角的关系；

2．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素；

3．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.

【知识要点】

要点一、全等图形

形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.

特别说明：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.

要点二、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.

要点三、对应顶点，对应边，对应角

1. 对应顶点，对应边，对应角定义

两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.

特别说明：

在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.

2. 找对应边、对应角的方法

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

（3）有公共边的，公共边是对应边；

（4）有公共角的，公共角是对应角；

（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；

（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.

要点四、全等三角形的性质
　　全等三角形的对应边相等；

全等三角形的对应角相等.

特别说明：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
【典型例题】

类型一、全等三角形的概念 

1．已知：如图，△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，写出其余的对应角和各对对应边．

【答案】∠A与∠C，∠ADB与∠CBD是对应角；BD与DB，AD与CB，AB与CD是对应边．

【解析】 关键是找准对应顶点．

    解：△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，则∠A与∠C，∠ADB与∠CBD是对应角；BD与DB，AD与CB，AB与CD是对应边．

举一反三：

【变式1】 如图，在中，已知，，，试把下面运用“叠合法”说明和全等的过程补充完整：

说理过程：把放到上，使点A与点重合，因为            ，所以可以使                    ，并使点C和在AB（）同一侧，这时点A与重合，点B与重合，由于             ，因此，                  ；

由于             ，因此，                   ；于是点C（射线AC与BC的交点）与点（射线与的交点）重合，这样                      ．

【答案】见解析．

【分析】根据“叠合法”说明两三角形全等即可．

解答：把放到上，使点A与点重合，因为，所以可以使AB与重合，并使点C和在AB（）同一侧，这时点A与重合，点B与重合，由于，因此， 射线AC与射线叠合 ；

由于 ，因此，射线BC与射线叠合；于是点C（射线AC与BC的交点）与点（射线与的交点）重合，这样重合，即

全等．

【点拨】本题主要考查三角形全等的定义，掌握“叠合法”说明三角形全等，是解题的关键．

【变式2】周长相等的两圆相同，周长相等的两个正方形相同，那么，周长相等的两个三角形全等吗？

【答案】不一定全等．

【解析】分析:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，周长相等的两个三角形，构成三角形的三条边不一定全部相等，可得周长相等的两个三角形不一定全等．

本题解析:例如，两个三角形的周长均为10，一个三角形的三边长为4，3，3，而另一个三角形的三边长为4，4，2，这两个三角形显然不全等，但当两个三角形为正三角形时，这两个三角形全等．

点睛：本题考查了全等图形的知识，要求学生熟练掌握全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.

类型二、全等三角形的识别

2．找出下列图形中的全等图形.

    （1）       （2）     （3）      （4）      （5）        （6）

 （7）       （8）     （9）      （10）      （11）             （12）

【答案】（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等图形

【解析】试题分析：根据全等图形的概念，能够完全重合的图形叫全等图形，直接判断即可.

试题解析：根据全等图形的概念，可知：（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等图形.

举一反三：

【变式1】观察下列图形的特点：

有几组全等图形？请一一指出：___________．

【答案】1与6；2与12；3与5与11；4与9；7与10

【分析】根据全等图形的定义判断即可．

 解：根据全等图形可得：1与6、2与12、3与5与11、4与9、7与10；
故答案为：1与6、2与12、3与5与11、4与9、7与10

【点拨】本题考查了全等图形，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．

【变式2】 如图，沿着方格线，把下列图形分割成四个全等的图形．

 【详解】直接利用图形总面积得出每一部分的面积，进而求出答案．

解：如图所示：红色分割线即为所求．

考点：作图—应用与设计作图．

 类型三、全等三角形的性质

3、在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；

（2）设，．

①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；

②当点在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

【答案】（1）90；（2）①，理由见解析；②当点D在射线BC.上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β．

【分析】

（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题；

（2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题；

②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题．

解：（1）；

（2）①．

理由：∵，

∴．

即．

又，

∴．

∴．

∴．

∴．

∵，

∴．

②当点在射线上时，．

当点在射线的反向延长线上时，．

【点拨】该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点．

举一反三：

【变式1】如图所示，已知AE⊥AB，△ACE≌△AFB，CE、AB、BF分别交于点D、M．证明：CE⊥BF．

 【分析】先利用垂直定义得到∠BAE=90°，在利用三角形全等的性质得∠CAE=∠BAF，∠ACE=∠F，则∠CAF=∠BAE=90°，然后根据三角形内角和定理易得∠FMC=∠CAF=90°，然后根据垂直的定义即可得到结论．

 证明：∵AE⊥AB，

∴∠BAE=90°，

∵△ACE≌△AFB，

∴∠CAE=∠BAF，∠ACE=∠F，

∴∠CAB+∠BAE=∠BAC+∠CAF，

∴∠CAF=∠BAE=90°，

而∠ACE=∠F，

∴∠FMC=∠CAF=90°，

∴CE⊥BF．

【点拨】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．

【变式2】如图，点E在AB上，△ABC≌△DEC，求证：CE平分∠BED．

【答案】见解析

【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠DEC，全等三角形对应边相等可得BC=EC，根据等边对等角可得∠B=∠BEC，从而得到∠BEC=∠DEC，再根据角平分线的定义证明即可．

解：∵△ABC≌△DEC，

∴∠B=∠DEC，BC=EC，

∴∠B=∠BEC，

∴∠BEC=∠DEC，

∴CE平分∠BED．

【点拨】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角的性质，熟练掌握全等三角形的性质并准确识图是解题的关键．

 类型四、全等三角形的应用

4、图①，图②都是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形.

（1）用实线把图①分割成六个全等图形；

（2）用实线把图②分割成四个全等图形.

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【分析】设正方形的面积为2，则等腰直角三角形的面积为1，

（1）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成六等腰个直角三角形即可；

（2）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形即可．

   解：如图所示：

【点拨】本题考查复杂作图，根据面积确定出分成的每一个图形的面积是解题的关键，难度中等，但不容易考虑．

举一反三：

【变式1】把大小4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形,例如,图1,请在图2中,沿着虚线画出四种不同的分法,把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形.

 【分析】可以利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形．

   解：∵要求分成全等的两块，

∴每块图形要包含有8个小正方形.

【变式2】在中，，，请将其分成三个三角形，使之符合：

(1)三个三角形是全等的直角三角形．

(2)三个三角形均为等腰三角形．

分别在图1、图2中画出分割线，并标出三角形的角度．

 【分析】先将点C对折到点E，将对折后的纸片再沿DE对折.此题要理解折叠的实质是重合，根据重合可以得到BC＝BE，AD＝BD，∠DBE＝∠DAE＝30°，∠BDE＝∠ADE＝60°，∠AED＝∠BED＝90°.

解答：(1) 如下图1   (2) 如下图2 .

【点拨】本题考查折叠问题，此题要理解折叠的实质是重合，要求学生理解折叠的实质是解题的关键.