专题14.7 同底数幂的除法（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题14.7  同底数幂的除法（知识讲解）

【学习目标】

1.掌握同底数幂的除法运算性质；

2.运用同底数幂的除法运算法则,熟练、准确地进行计算；

3.通过总结除法的运算法则,培养学生的抽象概括能力；

4.通过例题和习题,训练学生的综合解题能力和计算能力；

【要点梳理】

要点一：同底数幂相除运算法则

同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，即：（a≠0，m,n都是整数且m＞n）

注意事项：

（1）因为零不能作除数，所以底数；

（2）同底数幂的除法运算与同底数幂的乘法运算互为逆运算；

（3）运用法则的关键是看底数是否相同，若不相同则不能运用该法则，指数相减是指被除式的指数减去除式的指数；

（4）注意指数是“1”的情况，如而不是；

（5）该法则可以推广运用，如（，、、为正整数，＞）；

（6）底数可以取除零之外的任何数、单项式或多项式；

（7）注意同底数幂的除法法则的逆用，（，、为正整数，＞）；

（8）同底数幂的除法的结果可用乘法来验证.

要点二：零批数、负指数的意义

1．零指数的意义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即

2. 负整数指数的意义：任何不等于零的数的－P（P是正整数）次幂，等于这个数的P次幂的倒数，即：（a≠0,P是正整数）

【典型例题】

类型一、零指数、负指数的有关运算 

1．计算：﹣+（π﹣）0+（﹣2）2021÷（﹣2）2019．

【答案】2．

【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和同底数幂的除法运算法则分别化简得出答案．

解：﹣+（π﹣）0+（﹣2）2021÷（﹣2）2019

=-3+1+（-2）2

=-3+1+4

=2．

【点拨】本题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和同底数幂的除法运算，正确化简各数是解题关键．

举一反三：

【变式1】（﹣1）2018﹣（π﹣3.14）0＋（）﹣2

【答案】4．

【分析】先计算有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂，再计算有理数的加减即可得．

解：原式，

．

【点拨】本题考查了有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．

【变式2】  ．

【答案】

【分析】分别根据有理数的乘方、零次幂和负整数指数幂的运算法则化简各数，再进行加减运算即可得到答案．

解：

=

=．

【点拨】此题主要考查了有理数的混合运算，根据有理数的乘方、零次幂和负整数指数幂的运算法则化简各数是解答此题的关键．

类型二、同底数幂相除运算 

2．计算：

（1）；     （2）；      

【答案】（1）；（2）；

【分析】（1）先根据幂的乘方法则计算，再利用同底数幂的乘除法则计算；

（2）先提取负号，再利用同底数幂的乘除法则计算；

解：（1）

=

=

=；

（2）

=

=

=；

举一反三：

【变式1】化简：（x﹣y）12×（y﹣x）2÷（y﹣x）3．

【答案】

【分析】同底数幂的乘除，底数不变指数相加减，注意提负号即可．

解：．

【点拨】此题考查的是同底数幂的乘除法，掌握同底数幂相乘除法则是解题的关键．

【变式2】 计算：

（1）；             （2）；

（3）．

【答案】（1）1；（2）；（3）1．

【分析】（1）（2）（3）都可以用同底数幂乘除法法则，底数不变指数相加减．

解：（1）；

（2）；

（3）．

【点拨】本题考查了幂的运算性质，正确理解题意、灵活应用幂的乘方逆运算法则是解题的关键．

类型三、同底数相除的逆运算 

3．（1）若，求的值；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）12；（2）8．

【分析】（1）逆运用同底数幂的除法和幂的乘方运算对所求代数式变形后，将直接代入计算即可；

（2）利用幂的乘方公式和同底数幂的乘法计算后，再将整体代入计算即可．

解：（1）∵，

∴；

（2）∵，

∴，

∴．

【点拨】本题考查同底数幂的乘法和除法、幂的乘方运算．熟练掌握运算公式，并能逆运用是解题关键．

举一反三：

【变式1】已知．求：

（1）的值；

（2）的值、（用含a，b的代数式表示）

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由已知逆运用幂的乘方公式可得，再逆运用同底数幂的乘法变形后代入计算即可；

（2）逆运用幂的乘方和同底数幂的除法给所求代数式变形，再将代入计算即可．

解：（1）∵，

∴，

∴；

（2）由（1）得，

∴．

【点拨】本题考查幂的乘方公式、同底数幂的除法和乘法．熟练掌握公式，并能逆运用给代数式正确变形是解题关键．

【变式2】计算：

（1）已知，，求：

①的值；

②的值．

（2）已知，求x的值．

【答案】（1）①6；②；（2）．

【分析】（1）①根据同底数幂的乘法的逆用即可得；

②根据幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用即可得；

（2）根据同底数幂的乘法、幂的乘方法则可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．

解：（1）①，

；

②，

，

，

，

；

（2），

，

，

，

则，

解得．

【点拨】本题考查了同底数幂的乘除法的逆用、幂的乘方的逆用、解一元一次方程等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．

类型四、同底数相除综合运算 

4．计算：

（1）             （2）

（3）                （4）

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．

【分析】（1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘除法即可；

（2）先算积的乘方，在算同底数幂的乘法，再合并同类项即可；

（3）先利用偶数次幂变底数符号，再计算同底数幂乘法即可；

（4）先计算负1的奇数次幂，零指数幂，负指数幂，再算加减法即可．

解：（1），

= ，

=，

=；

（2），

=，

=，

=；

（3），

= ，

=；

（4），

=，

=．

【点拨】本题考查整式乘除乘方混合运算和实数幂的混合运算，掌握整式幂指数运算法则，整式乘法与加减混合运算的顺序，以及负数的乘法，零指数幂负指数幂是解题关键．

举一反三：

【变式1】计算：．

【答案】

【分析】先运用同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方进行化简，然后再合并同类项，最后算除法即可．

解：

=

=

=．

【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂除法，灵活应用相关运算法则成为解答本题的关键．

【变式2】计算

【答案】

【分析】先计算幂的乘方、再同底数幂的乘法，接着合并同类项，最后计算同底数幂的除法．

解：原式

【点拨】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法的运算法则以及运算顺序．