专题12.3 三角形全等的判定1（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题12.3  三角形全等的判定1（知识讲解）

【学习目标】

1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”；

2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.

【要点梳理】

 要点一、全等三角形判定1——“边边边”

全等三角形判定1——“边边边”

三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.

特别说明：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.

要点二、全等三角形判定2——“边角边”

1. 全等三角形判定2——“边角边”

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

特别说明：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.

2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

【典型例题】

类型一、全等三角形的判定1——“边边边”

 1、 如图，点，，，在一条直线上，，，．

求证：（1）；

（2）．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】

（1）利用“边边边”定理证即可；

（2）由全等可得，，根据平行线的判定证明即可．

证明：（1），

，

，

在和中，

，

，

；

（2）由（1）得：，

，

．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，解题关键是依据已知条件证明三角形全等，再根据全等三角形的性质解决问题．

举一反三：

【变式】  已知：如图，，，．

求证：．

 【分析】先由得出 由得出 从而得出由全等即可得结论．

证明：

在与中，

【点拨】本题考查的是三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定是解题的关键．

类型二、全等三角形的判定2——“边角边”

2、 如图，已知是的角平分线，．

求证：．

 【分析】由是的角平分线，可得，由和公共边BD，可证．

     证明：∵是的角平分线（已知），

∴（角平分线定义），

在与中，

∵   ，

∴．

【点拨】本题考查三角形全等证明，掌握三角形全等的证明方法是解题关键．

举一反三：

【变式】（2021·江苏淮安市·八年级期末）如图，，求证：．

 【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出答案．

 证明：∵BF＝CE，

∴BF+CF=CE+CF，

∴BC＝EF，

∴在△ABC和△DEF中

，

∴△ABC≌△DEF（SAS）．

【点拨】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

3、如图，，，，求证：．

 【分析】直接利用SAS证明，再根据全等三角形的性质即可求解；

 证明：∵

∴

即

∴在与中

∴

∴

【点拨】本题考查了全等三角形的证明以及全等三角形的性质，正确掌握知识点是解题的关键；

举一反三：

【变式】（2021·云南昆明市·八年级期末）如图：已知，且，求证：．

证明：∵

∴

∴

又∵

∴

在和中

∴（SAS）

【点拨】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，

4、已知：如图，C为线段BE上一点，AB//DC，AB=EC，BC=CD． 求证：∠A=∠E ．

 【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出△ABC≌△ECD，即可得出答案．

证明：∵AB∥DC，

∴∠B＝∠ECD，

在△ABC和△ECD中，

，

∴△ABC≌△ECD（SAS），

∴∠A＝∠E（全等三角形的对应角相等）．

【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．

举一反三：

【变式】（2021·江苏金湖县·八年级期末）已知：如图，点A、F、E、D在同一条直线上，AB＝CD，∠A＝∠D，AF＝DE，求证：BE∥CF．

 【分析】

根据SAS证明△ABE与△DCF全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．

 证明：∵AF＝DE，

∴AF＋FE＝DE＋FE，

∴AE＝DF，

在△ABE与△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠CFD＝∠BEA，

∴BE∥CF．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确运用三角形全等的判定方法是解题的关键．

类型三、全等三角形判定的实际应用　

5、如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离：现在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝AC；连接BC并延长到E，使CE＝CB；连接DE并测量出它的长度．

（1）求证：DE＝AB；

（2）如果DE的长度是8m，则AB的长度是多少？

【答案】（1）证明见解析；（2）8m

【分析】

（1）先根据SAS证明△CDE≌△CAB，再根据全等三角形的性质即得结论；

（2）由（1）的结论结合已知即得答案．

   （1）证明：在△CDE和△CAB中，

，

∴△CDE≌△CAB（SAS），

∴DE＝AB；

（2）解：∵DE＝AB，DE＝8m，

∴AB＝8m．

【点拨】本题考查了全等三角形的应用，正确理解题意、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

举一反三：

【变式】如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形.如图1是一个四边形的木架，AB＝AD＝2cm，BC＝5cm.

(1)扭动这个木架，四边形的形状就会改变，这说明了什么？

(2)如图2，若固定三根木条AB、BC、AD不动，量得第四根木条CD＝5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由.

(3)在扭动这个木架过程中，当测得A、C之间的距离为6cm时，若CD的长度也是整数，那么CD的长应为多少？

【答案】(1)四边形的不稳定性；(2)相等，理由见解析；(3)CD的长应为5cm或6cm或7cm.

【分析】

(1)根据四边形的特性即可得到结论；

(2)连接AC，根据SSS证明两个三角形全等即可；

(3)根据三角形的三边关系即可得到结论.

解：(1)答：四边形的不稳定性；  (2)相等.

理由：连接AC，

在△ACD和△ACB中，

，

∴△ACD≌△ACB(SSS)，

∴∠B＝∠D；

(3)∵AD＝2，AC＝6，

∴6﹣2＜CD＜2+6，

∴4＜CD＜8，

∵CD的长度也是整数，

∴CD的长应为5cm或6cm或7cm，

【点拨】本题考查了四边形的不稳定性、全等三角形的判定和性质、三角形三边关系定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．