第12讲 旋转图形的构造技巧-讲义2021-2022学年九年级数学人教版上册学案

第12讲  旋转图形的构造技巧

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若两条共顶点的等边(等腰三角形两腰)中，有一条边旁边有三角形时，可以将这个三角形旋转到另一等边处，构造全等三角形.

【板块一】利用角度构造旋转图形的技巧

方法技巧

1.遇等腰直角三角形或垂直且相等的边，常构造旋转90°的全等三角形;遇60°的等腰三角形常构造旋转60°的全等三角形;遇120°的等腰三角形常构造旋转120°的全等三角形;

2线段之间存在特殊的数量关系，如勾股数关系，倍关系，倍关系，结合图中等线段，可以构造旋转的全等三角形

题型一 利用45°或90°的角构造

【例1】如图，∠BAC＝90°，BD＝AE，AB＝CE，将△ABE绕点P逆时针旋转a得到△BFD

(1)请在图中画出点P及△BFD;

(2)求证:旋转角a＝90

(3)求∠CDF的度数

【解析】(1)略;

(2)由旋转性质得PA＝PB，PE＝PD，又BD＝AE:△PBD≌△PAE，∴∠PAE＝∠PBA，

又PB＝PA，∴∠PBA＝∠PAB，∴∠PAB＝∠PAE，

又∠PAB＋∠PAE＝∠BAC＝90°，∠PAB＝∠PBA＝45°，

∴∠APB＝90°，α＝90;

(3)连接CF，由△ABE≌△BFD，∠BFD＝∠DBE，

又∠DBE＋∠EBF＝90°，∴∠BFD＋∠EBF＝90°，即得DF⊥BE，

又EC∥BF，EC＝BF，可得四边形BFCE为平行四边形，

∴CF＝BE＝DF，且CF⊥DF，∴△DCF为等腰直角三角形，∴∠CDF＝45°

【例2】如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在直线BC上，若∠DAE＝135°，BC＝CE，求的值

【解析】将△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ACF，连接DF，则∠ACF＝∠ABE＝45°

∴FC⊥CD，再证△DAF≌△DAE，∴DF＝DE，

设BD＝1，BC＝CE＝x，则CF＝BE＝2x，DF＝DE＝2x＋1，

在Rt△DCF中，DF2＝DC2＋CF2;∴(2x＋1)2＝(x＋1)2＋(2x)2

∴x＝2，CE＝2，CD＝3，∴

题型二  利用60°或120°的角构造

【例3】如图，在等边△ABC中，AC＝7，点P在△ABC内部，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC

的面积

【解析】将△ABP绕A逆时针旋转60°得△ACQ，连接PQ由已知可求∠AQC＝∠APB＝150°，

又∠APQ＝∠AQP＝60°，∴∠PQC＝90°，∠CPQ＝30°，

设CQ＝x，则PC＝2x，AP＝PQ＝，

Rt△APC中，∴x2＝7

∴S△APC＝

【例4】如图，在△ABC中，BC＝4，∠ABC＝60°，AB＝1，将边AC绕着点A逆时针旋转120°，得到

AD，连接BD，求BD的长

【解析】将AB绕点A顺时针旋转120°得AE，连EB，EC，易求∠EBA＝30°，∠EBC＝90°，

在△AEB中可求EB＝3，又BC＝4，∴

由△EAC≌△BAD可得BD＝EC＝

题型三 利用中点旋转构造

【例5】如图，∠BAC＝α，∠EDC＝180°－α，AB＝AC，DC＝DE，P为BE的中点

(1)如图1，点A，C，D共线，求∠PAC的大小(用含α的式子表示);

(2)如图2，点A，C，D不共线，求证:AP⊥DP

【解析】(1)延长AP，DE交于点F，△ABP≌△FEP，∠DAF＝∠F＝;

(2)倍长AP至点F，连接EF，DF.则△ABP≌△FEP，延长AC交EF于点M，

可证∠CDE＋∠AHE＝180°，∠DCH＋∠DEH＝180°，∴∠ACD＝∠DEF

∴△ACD≌△FED，△DPA≌△DPF ，∴∠APD＝∠DPF＝90°，∴AP⊥DP

【例6】已知四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形

(1)如图1，点E，G分别在AB，AD上，连接CF，点H为CF的中点，EH与DH的位置关系是______，数量关系是_________

(2)如图2在图1的基础上，把正方形AEFG绕点A顺时针旋转角度a(a为锐角)，(1)中结论是否仍成立?若成立，请证明;若不成立，请说明理由

【解析】(1)垂直，相等.过点H作MN∥BC交AB于点M，交CD于点N.

易证EM＝HN，MH＝DN，∴△EMH≌△HND，

∴EH＝DH，∠EHM＝∠HDN，∴∠EHM＋∠DHN＝90°，∴∠EHD＝90°，∴EH⊥DH;

(2)延长EH到点M，使HM＝EH，连接CM

∴△EFH≌△MCH，EF＝CM，EF∥CM，M∥MG，

延长MC交EA延长线于点P，∴∠EPC＝∠ADC＝90°，∴∠PAD＝∠DCP，∠EAD＝∠DCM

又∵AE＝CM，AD＝DC，∴△AED≌△CMD，∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠FDM＝90°

∴△DEM是等腰直角三角形，∴EH＝DH，EH⊥DH

题型四 利用互补的角构造

【例7】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，边BC绕点B顺时针旋转120得到BE，边DC绕点D逆时针旋转120°得到DF，四边形ABEG和四边形ADFH均为平行四边形

(1)如图1，若BC＝CD，∠BCD＝120°，则∠GCH的度数为________

(2)如图2，若BC≠CD，探究∠GCH的大小是否发生变化，并证明你的结论

【解析】(1)60°;

(2)不变，∠GCH＝60°理由如下:连接BG，BD，DH，设BD与CG交于点O.可得△ABD为等边三角形.

由∠ABD＝∠ADB＝60°，AB＝BD.四边形ABEG是平行四边形，得AG＝BE，

∠BAG＝180°－∠ABE，BE＝BC，得AG＝BC，又∠DBC＝180°－∠ABE，

故∠BAG＝∠DBC可证△BAG≌△DBC.∴BG＝CD，∠ABG＝∠BDC

同理△DBC≌△ADH，BC＝DH，∠DBC＝∠ADH.

由∠ABG＝∠BDC，∠ABD＝∠ADB，∠DBC＝∠ADH，得∠GBC＝∠CDH.

可证△GBC≌△CDH.故∠BGC＝∠HCD.

由∠GCH＋∠HCD＋∠BDC＋∠COD＝∠ABD＋∠BGC＋∠ABG＋∠BOG＝180°

故∠GCH＝∠ABD＝60°

(也可连接BG，BD.DH，HG，证△GBC≌△CDH≌△HAG，△GCH是等边三角形)

【例8】给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形

(1)以下四边形中，是勾股四边形的为__________（填写序号即可）

①矩形;②有一个角为直角的任意凸四边形;③有一个角为60°的菱形

(2)如图1，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转n得到△EDC

①n＝60，∠BAD＝30°时，连接AD，求证:四边形ABCD是勾股四边形

②如图2，将DE绕点E顺时针方向旋转得到EF，连接BF，BF与AE交于点P，连接CP，若∠DEF＝

(180－n)°，CP＝4，AE＝10，求AC的长度，

【解析】(1)①②;

(2)①连接AE.

∵n＝60，AC＝CE，∴△ACE为等边三角形，∴∠ACE＝60°

∵∠BAD＝30°，∴∠CAD＋∠CED＝30°

∴∠DAE＋∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°，∴AD2＋DE2＝AE2

∵AE＝AC，DE＝AB，AD2＋AB2＝AC2，∴四边形ABCD是勾股四边形;

②延长ED交AB于点H

∵∠EDC＝∠ABC，∴∠HDC＋∠HBC＝180°

∴∠DHB＋∠BCD＝360°－180°＝180°

∴∠DHB＝180°－n－∠DEF，∴EF∥AB

∵EF＝DE＝AB，∴△APB≌∠EPF，∴AP＝EP＝AE＝5

∴CP⊥AE，∴AC＝＝

针对练习1

1.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC，若AC＝6，求四边形ABCD的面积.

解：将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，易证G、D、C三点共线，AG＝AC且AG⊥AC，

∴

同理：将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADG，也可以求得结论.

2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，

若BD＝2CE，求DE的长.

解：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得△ACF，证△ADE≌△AFE，DE＝EF，CF＝BD.

∠ACD＝∠B＝30°，∠FCE＝60°，过点E作EH⊥CF于点H.设CF＝BD＝2CE＝4x，

则CH＝x，CF＝4x，FH＝3x，EH＝，由FE2＝FH2＋EH2，得(6－6x)2＝(3x)2＋()2，

解得，(舍). ∴DE＝6－6x＝.

另解：取CF的中点K，则△CEK为等边三角形可得∠EFC＝30°，∴∠FEC＝90°，

∴EF＝，∴，∴.

3.△ABC和△AEF都为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AEF＝90°，连接EC，BF，点D为BF的中点，

连接CD.

（1）如图1，当点E落在AB边上时，请判断线段EC与DC的数量关系，并证明你的结论；

（2）将△AEF绕点A顺时针旋转n°(n＜180)，如图2，请判断线段EC与DC的数量关系，并证明你的结论.

解：（1）连接ED，证∠EDF＝2∠ABF，∠CDF＝2∠CBF，∴∠EDC＝2∠ABC＝90°，

又ED＝CD＝BF，∴△EDC为等腰直角三角形，∴EC＝DC；

（2）延长CD到点G，使GD＝CD，连接GE，GF，DE，延长GF交CA的延长线于点H，

先证△GFD≌△CBD，得GF＝BC＝AC，由 GF∥BC可知∠H＝90°＝∠AEF，∴∠EFH＝∠EAH，

∴∠EFG＝∠EAC，得△GFE≌△CAE，∴EG＝EC，∠EGF＝∠ECH，∴∠GEC＝∠H＝90°，

∴△AEC是等腰直角三角形， D是GC的中点，∴△ECD是等腰直角三形，∴.

4.在正方形ABCD中，将CD绕着D点逆时针旋转角度(0°＜＜180°)到DE，连接AE.

（1）求∠AEC的度数；

（2）取线段AE的中点O，将BO绕点O逆时针旋转90°到OF，连接CF，BF，求证：CF∥AE.

解：（1）∠ADE＝90°＋，∠AED，在等腰△DCE中，

∠DEC，故∠AEC＝∠CDE－∠AED＝.

（2）延长FO至点P，使PO＝FO.连接EF，PA，可证△AOP≌△EOF，AP∥EF，AP＝EF.

连接BP，延长PA交FC的延长线于点Q，可证△APB≌△CFB，CF＝AP，∠APB＝∠BFC，

∴∠Q＝∠PBF＝90°，又AP//EF，故∠EFC＝180°－∠Q＝90°，又EF＝AP＝CF，

由（1）可得∠ECF＝45°＝∠AEC，故CF//AE.

【板块二】利用线段关系构造旋转图形的技巧

题型一  垂直线段的运用技巧

【例1】如图1，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AE＝DE＝a，AB＝CB＝b（a＜b），

点D在AC上，且AD＝2CD.

（1）求的值；

（2）把图1中的△ADE绕点A顺时针旋转角度(0＜＜ 90°)，如图2，连接BE，CD，BE＝，

求五边形ABCDE的面积；

【解析】（1），，，，

（2）过点B在BC下方作BF⊥BE，使BF＝BE，连接EF交CD于点O，连接CF，

可证△ABE≌△CBF，CF＝AE＝DE，延长FC交AE于点H，

由∠CFB＝∠BEH得∠EHF＝∠EBF＝90°，故DE//CF，

又 DE＝AE＝CF，可证△EDO≌△FCO.S五边形ABCDE＝S△BEF＝

【例2】如图，在△ABC中，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD.∠ABC＝，∠ACD＝，BC＝4，BD＝6.若改变，的大小，且满足，求△ABC的面积.

【解析】在BA的上方作∠BAE＝∠DAC，使AE＝AB，连接EB，EC，可证△AEC≌△ABD，EC＝BD＝6，

又∠DAC＝180°－2＝∠BAE，故∠EBA＝.∠EBC＝＝90°，

在Rt△BEC中，.过点A作AH⊥BE于点H，则，

∴S△ABC＝

题型二  线段与角度的组合技巧

【例3】如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∠ADC＝90°，且，

则的值为              .

【解析】在AD上方作∠EAD＝120°，使AE＝AD，连接EC，由∠EAD＝∠BAC＝120°得∠BAD＝∠EAC，

可证△EAC≌△DAB，EC＝BD，令AD＝2，DC＝，可求得DE＝.∠EDC＝30°＋90°＝120°，

过点E作EF⊥CD于点F，FD＝，FC＝，EF＝3，，

BD＝EC＝，故

【例4】如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝3，

BD＝4，则CD的长为（   ）

A.3 B.4 C.5 D.

【解析】在DC的右侧作等边△DCE，证△ACE≌△BCD，∴AE＝BD＝4，

由∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝30°＋60°＝90°，得，

故CD＝DE＝，选D.

针对练习2

1.点P为△ABC内一点，AB＝BC，∠ABC＝90°，PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的度数.

解：在AB左侧作DB⊥PB，使DB＝PB，连接PD，AD，可证△DBA≌△PBC，AD－PC＝6.

DP2＝BD2＋PB2＝2BD2＝32，AP2＝4，AD2＝36，即AP2＋DP2＝AD2，∠DPA＝90°，又∠DPB＝45°，

故∠APB＝135°.

2.如图，∠ABC＝60°，AC＝BC.若AD＝12，DC＝5，BD＝13，则S△ABD的值为         .

解：在AD的右侧作等边△ADE，连接CE，过点A作AH⊥CD于点H，可证△ABD≌△ACE，

CE＝BD＝13，DE＝12，CD＝5，故CD2＋DE2＝CE2，∴∠CDE＝90°，∠CDA＝30°，

，，，

S△ABD ＝S△ACE＝S△ADE＋S△ACD－S△DEC＝

3.如图，点O是△ABC内一点，∠OBC＝60°，∠AOC＝120°，OA＝OC＝，OB＝1，则AB边的长为      

解：在直线OB的右侧作∠B′OB＝120°，使OB'＝OB＝1，可求BB'＝，

可证△AOB≌△ COB，∠AB′O ＝∠OBC＝60°，AB'＝BC，∠OB'B＝30°，故∠BB'A＝90°，

过点O作OH⊥BC于点H，则，，，故BC＝4＝AB'，在Rt△ABB'中，AB＝.