专题2.12 《整式的加减》全章复习与巩固（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题2.12  《整式的加减》全章复习与巩固（知识讲解）

【学习目标】

1．理解并掌握单项式与多项式的相关概念；

2．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的加减运算、求值；

3．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想．

【知识网络】

【知识点梳理】

要点一、整式的相关概念

 1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．

特别说明：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．

 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．

特别说明：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．

3. 多项式的降幂与升幂排列：
　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．

特别说明：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；
　　（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．

4．整式：单项式和多项式统称为整式．

要点二、整式的加减

1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．

特别说明：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：

（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；

（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．

2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．

特别说明：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．

3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．

4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．

5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．

【典型例题】

类型一、整式的相关概念

1．在式子①﹣x2，②﹣2xy，③xy2﹣x2，④⑤﹣x，⑥，⑦0中，整式有_____个．

【答案】5

【分析】根据整式的概念求解可得．

解：所列代数式中整式有①，②，③，⑥，⑦0这5个，

故答案为：5．

【点拨】本题主要考查整式，解题的关键是掌握整式的概念：概念：单项式和多项式统称为整式．

举一反三：

【变式1】 在代数式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中单项式有________；多项式有________；整式有________．

【答案】①⑤⑦⑧    ③    ①⑤⑦⑧③   

【分析】根据单项式是数与字母的乘积，多项式是单项式的和，单项式与多项式统称整式，可得答案．

解：单项式有：①，⑤，，⑦，⑧；

多项式有：③，

整式有：①，③，⑤，⑦，⑧

故答案为：①⑤⑦⑧，③，①⑤⑦⑧③

【点拨】本题考查了整式，单项式是数与字母的乘积，多项式是单项式的和，单项式与多项式统称整式．

【变式2】下列代数式：

（1）mn，（2）m，（3） ，（4），（5）2m+1，（6），（7），（8）x2+2x+，（9）y3﹣5y+中，整式有______．（填序号）

【答案】1）、（2）、（3）、（5）、（6）、（8）．

【解析】单项式和多项式统称整式，由此可得（1）mn，（2）m，（3） ，（5）2m+1，（6）都是整式，所以整式有（1）、（2）、（3）、（5）、（6）、（8）．

类型二、同类项及合并同类项

2．若，则单项式和是同类项吗？如果是，请把它们进行加法运算；如果不是同类项，请从下列代数式中找出同类项进行加法运算：，

【解析】先根据题意求出m与n的值，然后把m与n的值代入3x2ym+n-1和进行化简，最后根据合并同类项的法则求出答案即可．

试题解析：∵|m-2|+（-1）2=0，

∴m-2=0，-1=0，

∴m=2     n=3

∴m+n-1=4，n2-2m=5，

∴单项式为：3x2y4与x5y4，不是同类项，

∴3x2y4+（-2x2y4）=x2y4

举一反三：

【变式1】在 2x2y，－2xy2 ，3x2y ，－xy这四个代数式中，哪两项是同类项，并合并这两项．

【答案】2x2y ，3x2y； 5x2y.

 分析：先根据同类项的定义找出同类型，然后根据合并同类项的方法合并即可.

详解：同类项是2x2y ，3x2y；

合并同类项，即2x2y +3x2y= 5x2y.

点拨：本题考查了利用同类项的定义及合并同类项，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变.

【变式2】合并同类项：

（1）        （2）

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）去括号，合并同类项即可；

（2）去括号，合并同类项即可．

 解：（1）

=

=；

（2）

=

=

【点拨】本题考查了合并同类项，解题的关键是掌握运算法则．

类型三、类型三、去（添）括号

3、（_________）（_________）（__________）．

【答案】c-d,    -b-c+d,    b+c-d,   

【分析】根据添括号的法则即可解答．

解：原式=a-b-c+d=a-b-(c-d)=a+(-b-c+d)=a-(b+c-d),

【点拨】本题考查了添括号，添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．

4、计算：(2xy－y)－(－y＋xy)＝________．

【答案】xy

【分析】根据去括号法则:去括号时,括号前是减号,去括号要变号,正变负,负变正;,再根据合并同类项的法则合并同类项即可求解.

解：(2xy－y)－(－y＋xy),

=2xy－y+y-xy,

= xy,

故答案为: xy.

【点拨】本题主要考查整式的化简,解决本题的关键是要熟练掌握去括号和合并同类项的法则.

举一反三：

【变式1】m+n－p的相反数为__________．

【答案】p－m－n

【解析】m+n－p的相反数为-（m+n-p）=-m-n+p=p-m-n，

故答案为：p-m-n.

【点拨】本题考查了相反数的知识，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．

【变式2】在等式的括号内填上恰当的项，x2﹣y2+8y﹣4=x2﹣（___________）．

【答案】y2﹣8y+4

【解析】

试题解析：x2﹣y2+8y﹣4=x2﹣（y2﹣8y+4）．

点拨：添括号的法则括号前为负号，括号内各项改变符号.

类型四、整式的加减

5、整式的加减

（1）化简：3b＋5a＋2a－4b；

（2）化简：(a2＋2ab＋b2)－(a2－2ab＋b2)．

（3）化简并代入求值：(4a2－3a)－2(1－2a＋2a2)，其中a＝－2

【答案】（1）；（2）；（3），

【分析】

（1）直接合并同类项，即可得到答案；

（2）先去括号，然后合并同类项，即可得到答案；

（3）先去括号，然后合并同类项，再把a＝－2代入计算，即可得到答案．

   解：（1）3b＋5a＋2a－4b=；

（2）(a2＋2ab＋b2)－(a2－2ab＋b2)

=a2＋2ab＋b2－a2+2ab－b2

=；

（3）(4a2－3a)－2(1－2a＋2a2)

=4a2－3a－2+2a－4a2

=；

当时，

原式=．

【点拨】本题考查了整式的化简求值，整式的加减运算，解题的关键是熟练运算法则进行解题．

举一反三：

【变式1】已知与是同类项，计算的值．

【答案】2

【解析】

【分析】

由与是同类项得到m=1,n=2，将原式去括号合并得到最简结果，把m与n的值代入计算即可求出值.

【详解】

解：∵与是同类项，

∴，，

∴

，

当，时，原式．

故答案为：2.

【点拨】

本题考查了同类顶的定义和整式的加减

【变式2】 计算:

( 1)3x2y-3xy2-xy2+x2y;             (2)4(a-2b+1)-3(-4a+b-5).

【答案】(1)x2y-xy2;(2) 16a-11b+19

【分析】

(1)直接合并同类项即可;

(2)先去括号,再合并同类项即可.

解：(1)3x2y-3xy2-xy2+x2y=x2y-xy2.

 (2)4(a-2b+1)-3(-4a+b-5)

=4a-8b+4+12a-3b+15

=16a-11b+19.

【点拨】本题主要考查整式运算：去括号及合并同类项，注意运算的准确性.

【变式3】 嘉淇准备完成题目：化简：，发现系数“”印刷不清楚．

（1）他把“”猜成3，请你化简：（3x2+6x+8）–（6x+5x2+2）；

（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？

【答案】（1）–2x2+6；（2）5.

【详解】

【分析】（1）原式去括号、合并同类项即可得；

（2）设“”是a，将a看做常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0，据此得出a的值．

解：（1）（3x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）

=3x2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2

=﹣2x2+6；

（2）设“”是a，

则原式=（ax2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）

=ax2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2

=（a﹣5）x2+6，

∵标准答案的结果是常数，

∴a﹣5=0，

解得：a=5．

【点拨】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则．

类型五、综合应用

6、如图是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．

（1）用含字母a，b的代数式表示矩形中空白部分的面积；

（2）当a＝3，b＝2时，求矩形中空白部分的面积．

【答案】（1）S＝ab﹣a﹣b+1；（2）矩形中空白部分的面积为2；

【分析】

（1）空白区域面积=矩形面积-两个阴影平行四边形面积+中间重叠平行四边形面积；
（2）将a=3，b=2代入（1）中即可；

【详解】

（1）S＝ab﹣a﹣b+1；

（2）当a＝3，b＝2时，S＝6﹣3﹣2+1＝2；

【点拨】

本题考查阴影部分面积，平行四边形面积，代数式求值；能够准确求出阴影部分面积是解题的关键．

举一反三：

【变式1】设A=2x2﹣3xy+y2+2x+2y，B=4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y，

（1）求B-2A

（2）若|x﹣2a|+（y﹣3）2=0，且B﹣2A=a，求a的值．

【答案】（1）﹣7x﹣5y；（2）-1.

【解析】

分析：(1)、根据多项式的减法计算法则得出答案；(2)、根据非负数的性质得出x和y的值，然后根据B－2A=a进行代入得出a的值．

详解：解：(1)、B﹣2A=4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y﹣2（2x2﹣3xy+y2+2x+2y）

=4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y﹣4x2+6xy﹣2y2﹣4x﹣4y=﹣7x﹣5y

(2)、∵|x﹣2a|+（y﹣3）2=0    ∴x=2a，y=3

又B﹣2A=a，   ∴﹣7×2a﹣5×3=a，   ∴a=﹣1．

点拨：本题主要考查的是多项式的减法计算法则，属于基础题型．在解答这个问题的时候我们一定要注意去括号的法则．

【变式2】“十一”期间，某中学七年级(1)班的三位老师带领本班a名学生(学生人数不少于3名)去北京旅游，春风旅行社的收费标准为：教师全价，学生半价；华北旅行社不论教师、学生一律八折优惠，这两家旅行社的基本收费都是每人500元．

(1)用代数式表示，选择这两家旅行各需要多少钱？

(2)如果有学生20名，你认为选择哪家旅行社较为合算，为什么？

【答案】(1)详见解析；（2）春风旅行社合算，理由见解析.

【分析】

（1）利用旅行社的收费标准可列出代数式，

（2）把a=20代入即可求解．

解：(1)春风旅行社的总费用为3×500＋500a×50%＝1 500＋250a(元)，

华北旅行社的总费用为(3＋a)×500×80%＝1 200＋400a(元)；

(2)当a＝20时，

春风旅行社费用为1 500＋250×20＝6 500(元)，

华北旅行社费用为1 200＋400×20＝9 200(元)，

6 500元<9 200元，故春风旅行社合算．

【点拨】本题考查了列代数式以及代数式求值，正确理解题意列出代数式是解题的关键.