专题2.7 整式的加减-去括号与添括号（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题2.7 整式的加减-去括号与添括号（知识讲解）

【学习目标】

1．掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；

2. 会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值．

【知识点梳理】

 要点一、去括号法则

   如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；

   如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．

 特别说明：

(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．  

（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．

  (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．

（4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．

要点二、添括号法则

添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；

添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．

特别说明：

(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．

    (2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：

如：，     

要点三、整式的加减运算法则

一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．

 特别说明：

（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．

（2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来．

   (3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．

　【典型例题】

类型一、去括号 

1．去掉下列各式中的括号：

（1）8m–(3n+5)；            （2）n–4(3–2m)；            （3）2(a–2b)–3(2m–n)．

【答案】（1）8m–3n–5；（2）n–12+8m；（3）2a–4b–6m+3n

【分析】根据去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，对各式进行处理即可．

解：（1）8m–(3n+5)=8m–3n–5.

（2）n–4(3–2m)=n–(12–8m)=n–12+8m.

（3）2(a–2b)–3(2m–n)=2a–4b–(6m–3n)=2a–4b–6m+3n.

【点拨】考查去括号法则，去括号时,当括号前面为“-”时常出现错误,常常是括号内前面的项符号改变了,后面就忘记了，是易错点.

举一反三：

【变式1】 先去括号，再合并同类项：                   

（1）2（2b-3a）+3（2a-3b）；    （2）4a2+2（3ab-2a2）-（7ab-1）．

【答案】（1）-5b；（2）-ab+1

【分析】（1）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，根据合并同类项，可得答案；

（2）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，根据合并同类项，可得答案；

解：（1）2（2b-3a）+3（2a-3b）=4b-6a+6a-9b=-5b；

（2）4a2+2（3ab-2a2）-（7ab-1）=4a2+6ab-4a2-7ab+1=-ab+1.

【点拨】本题考查了去括号与添括号，合并同类项，括号前是正号去掉括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号．

【变式2】有理数、、在数轴上的位置如图所示，且表示数的点、数的点与原点的距离相等．

（1）用“>”“=”或“<”填空：________0，________0，________0，________0；

（2）化简．

【答案】（1）；=；；；（2）．

【分析】（1）根据数轴判断a、b、c的符号和绝对值，进而即可判断各式的符号；

（2）先脱去绝对值，在去括号计算即可．

    解：（1）由数轴得a＞0＞c＞b，，

∴b0；a+b =0；a-c0；b-c0；

故答案为：；=；；；

（2）解：∵，，，

∴原式．

【点拨】本题考查了根据数轴判断代数式的符号，绝对值的化简，有理数的运算法则，整式的计算等知识，根据数轴判断各式的符号是解题关键．

 类型二、添括号

2．把多项式x4y﹣4xy3+2x2﹣xy﹣1按下列要求添括号：

（1）把四次项结合，放在带“+”号的括号里；

（2）把二次项相结合，放在带“﹣”号的括号里．

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【分析】（1）根据添括号法则，把四次项-4xy3，放在前面带有“﹢”号的括号里；
（2）根据添括号法则，把二次项2x2放在前面带有“-”号的括号里．

 解：（1）∵把四次项结合，放在带“+”号的括号里，

∴x4y﹣4xy3+2x2﹣xy﹣1=x4y+（﹣4xy3）+2x2﹣xy﹣1；

（2）∵把二次项相结合，放在带“﹣”号的括号里，

∴x4y﹣4xy3+2x2﹣xy﹣1=x4y﹣4xy3﹣（﹣2x2+xy）﹣1．

【点拨】本题考查了去括号与添括号，解题的关键是掌握本题考查了去括号与添括号的概念和步骤.

举一反三：

【变式1】按下列要求给多项式添括号．

（1）使次数最高项的系数变为正数；

（2）把奇次项放在前面是“-”的括号里，其余的项放在前面是“+”的括号里．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据题意，次数最高项是，要把它的系数变为正数，就要提出一个负号，其余整体加上括号并变号；

（2）根据题意，奇次项和提取负号变成，其余两项加上括号不用变号．

解：（1）．

（2）．

【点拨】本题考查整式加括号的法则，需要注意整式前面是负号的时候加上括号，括号里面的式子需要变号．

【变式2】 已知，，试计算，并把结果放在括号前带“”的括号内.

【答案】

【分析】此题可将A，B的值代入2A-3B，化简，然后进行适当变形即可得出答案

解：依题意得

2A−3B

=2(x3+6x−9) −3(−x3−2x2+4x−6)

=5x3+6x2

=.

【点拨】本题考查整式的加减，整式的加减即去括号、合并同类项，在本题中添括号时还需注意，如果括号前面是加号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是减号，括到括号里的各项都改变符号.

 类型三、 整式的加减

3、化简下列各式：

（1）；      （2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据合并同类项的法则解答即可；

（2）先去括号，再合并同类项．

    解：（1）原式；

（2）原式．

【点拨】本题考查了整式的加减运算，属于基础题型，熟练掌握整式加减运算的法则是关键．

举一反三：

【变式1】计算题

（1）       

【答案】（1）；（2）；

【解析】

【分析】（1）去括号后合并同类项即可求解；（2）去括号后合并同类项即可求解.

解：原式

；

原式

．

【点拨】本题考查了整式的加减运算，熟练运用去括号法则及合并同类项法则是解决问题的关键.

【变式2】老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用一张纸挡住了一个二次三项式，形式如下：+3（x﹣1）=x2﹣5x+1．

（1）求所挡的二次三项式；

（2）若x=﹣2，求所挡的二次三项式的值．

【答案】（1）x2﹣8x+4；（2）24

【分析】（1）根据“已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数用减法”，列出代数式并合并即可；

（2）把x=-2代入（1）的结果，计算即可．

解：（1）x2﹣5x+1﹣3（x﹣1）

=x2﹣5x+1﹣3x+3

=x2﹣8x+4；

∴所挡的二次三项式为x2﹣8x+4．

（2）当x=﹣2时，x2﹣8x+4

=（﹣2）2﹣8×（﹣2）+4

=4+16+4

=24．

【点拨】本题考查了整式的加减．根据加数与和的关系，列出求挡住的二次三项式的式子是解决本题的关键．

 类型四、整式加减的应用

4、（1）已知，若，求的值；

（2）已知多项式与 多项式的差中不含有，求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据题意求得x和y的值，然后将化简，化简后代入x、y的值运算即可；

（2）先求出两个多项式的差，不含有，代表含有，项的系数为0，求出m和n的值代入原式即可求解．

解：（1）∵

∴，

=

=

=

当，时，原式==

（2）

=

∵两多项式的差中不含有，

∴，

∴，

当，时，

原式==

故答案为（1）；（2）．

【点拨】本题考查了整数的加减混合运算，绝对值的非负性，偶次方的非负性，整式的意义，多项式中不含有某项，令该项的系数为0即可．

举一反三：

【变式1】已知：A=2x2+ax﹣5y+b，B=bx2﹣x﹣y﹣3．

（1）求3A﹣（4A﹣2B）的值；

（2）当x取任意数值，A﹣2B的值是一个定值时，求（a+A）﹣（2b+B）的值．

【答案】（1）（2b﹣2）x2﹣（a+3）x﹣（b+6）；（2）﹣3．

【分析】（1）先化简原式，再分别代入A和B的表达式，去括号并合并类项即可；

（2）先代入A和B的表达式并去括号并合并类项，由题意可令x和x2项的系数为零，求解出a和b的数值，再化简原式后代入相关数值即可求解.

解：解：（1）∵A=2x2+ax﹣5y+b，B=bx2﹣x﹣y﹣3，

∴原式=3A﹣4A+2B=﹣A+2B=﹣2x2﹣ax+5y﹣b+2bx2﹣3x﹣5y﹣6=（2b﹣2）x2﹣（a+3）x﹣（b+6）；

（2）∵A=2x2+ax﹣5y+b，B=bx2﹣x﹣y﹣3，

∴A﹣2B=2x2+ax﹣5y+b﹣2bx2+3x+5y+6=（2﹣2b）x2+（a+3）x+（b+6），

由x取任意数值时，A﹣2B的值是一个定值，得到2﹣2b=0，a+3=0，

解得：a=﹣3，b=1，

则原式=a﹣2b+（A﹣2B）=﹣3﹣2+=﹣3．

【点拨】理解本题中x取任意数值时A﹣2B的值均是一个定值的意思是整式化简后的x和x2项的系数均为零是解题关键.

【变式2】学习了整式的加减运算后，张老师给同学们布置了一道课堂练习题“当，，求的值”.小明做完后对同桌说：“老师给的条件是多余的，这道题不给的值，照样可以求出结果来”.同桌不相信他的话．亲爱的同学们，你相信小明的说法吗？

【答案】-21

【分析】首先化简代数式，通过去括号、合并同类项，得出结论即含有b的代数式相加为0，即可说明．

   解

 ＝

 ＝

当时

原式＝

＝－21.

【点拨】考查整式的化简求值，熟练掌握去括号法则以及合并同类项法则是解题的关键.

 类型五、整式加减化简求值

5、先化简，再求值：

(1)3x2－[7x－(4x－3)－2x2]，其中x＝5；

(2)，其中．

【答案】（1）5x2－3x－3，原式＝107；（2）-xy+2xy 2；原式=-4．

【分析】（1）原式去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值；

（2）原式去括号合并得到最简结果，由得x＝－4   y＝- ，把x、y的值代入计算即可求出值.

解：（1）原式＝5x2－3x－3

∵x＝5，

∴原式＝107

（2）原式=-3xy-2xy2+2xy-5x2y +4xy 2+5x2y

=-xy+2xy 2 

由得x＝－4   y＝- ，   

∴原式=-(-4)×（-）+2×（-4）×（-）2=-2-2=-4．

【点拨】此题考查了整式的加减-化简求值，也考查了非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

举一反三：

【变式1】先化简，再求值

（1），其中；

（2），其中，．

【答案】（1）；20；（2）0；0；

 【分析】（1）把所给的整式去括号后合并同类项化为最简后，再代入求值即可；（2）把所给的整式去括号后合并同类项化为最简后，再代入求值即可.

解：原式

，

当时，原式

；

解：原式

，

当，时，原式．

【点拨】本题考查了整式的化简求值，利用整式的加减运算法则把整式化为最简是解决问题的关键.

【变式2】先化简，再求值： ，其中， ．

【答案】

 试题分析：原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．

解：原式

当时,原式

 类型六、整式加减中无关型问题

5、化简求值：，其中使得关于的多项式不含项和项．

【答案】原式=．

【解析】本题先将第一个整式按照先去小括号,再去中括号的依次顺序去掉括号,然后合并同类项化简,然后根据第二个整式中不含项和项,可令式子中的项和项的系数为0,从而计算出a,b的值,然后将a,b的值代入到第一个化简的式子中进行计算求值.

试题解析:原式=,

=,

=,

由题意知:,,

∴,,

当,时,

原式=,

=,

=.

举一反三：

【变式1】 已知多项式与差的值与字母x的取值无关，求代数式的值．

【答案】，14．

【分析】已知多项式相减列出关系式，去括号合并得到最简结果，根据结果与x无关求出a与b的值，原式去括号合并得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．

解：∵多项式与差的值与字母x的取值无关，

，

∴，，解得：，，

则原式==，

当，时，．

考点：1．整式的加减；2．整式的加减—化简求值．

【变式2】 如果关于x、y的代数式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）的值与字母x所取的值无关，试求代数式的值．

【答案】.

【分析】首先去括号，然后再合并同类项，化简后，把a、b的值代入计算即可．

解：（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1），

＝2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y+1，

＝（2﹣2b）x2+（a+3）x﹣6y+7，

∵代数式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）的值与字母x所取的值无关，

∴2﹣2b＝0，a+3＝0，

解得：b＝1，a＝﹣3，

a3﹣2b2﹣2（a3﹣3b2）＝a3﹣2b2﹣a3+6b2＝a3+4b2．

当b＝1，a＝﹣3，

原式＝×（﹣27）+4×1＝．

【点拨】此题主要考查了整式的加减﹣﹣化简求值，给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．