专题1.25 《有理数》全章复习与巩固（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题1.25   《有理数》全章复习与巩固（知识讲解）

【学习目标】

 1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.
2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.
3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.

4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用.

5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.

【要点梳理】

要点一、有理数的相关概念

1．有理数的分类：

（1）按定义分类：                                    （2）按性质分类：

特别说明：（1）用正数、负数表示相反意义的量；

（2）有理数“0”的作用：

2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．

特别说明：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．

（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．

3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．

特别说明：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．

（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．

（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．

4．绝对值：

（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作．

（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．

要点二、有理数的运算

1 ．法则：

（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．

（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．

（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．

（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ．

  （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．

　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；

③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．

特别说明：“奇负偶正”口诀的应用：

（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，

－[+（－3）]=3．

（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．

（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．

2．运算律：

（1）交换律:   ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；

（2）结合律:   ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)；  ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)

（3）分配律：a(b+c)=ab+ac

要点三、有理数的大小比较

比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．

要点四、科学记数法、近似数及精确度

1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．

2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.

特别说明：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.

3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.

特别说明：

（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.

（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.

类型一、有理数相关概念 

1．，，，，，4，这些数中，有理数有________个．

【答案】6

【分析】先根据有理数概念判断出有理数，再计算个数即可．

解：∵整数和分数统称有理数，

∴有理数有：，，，，4，，共6个．

故答案为：6．

【点拨】要掌握：整数和分数统称有理数，其中不是有理数．能准确的判断出什么是有理数，知道是无限不循环小数，是无理数．

2．有理数和在数轴上的位置如图所示，则下列结论中：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

其中正确的结论有______个．

【答案】

【分析】根据数轴上点的位置关系，可得、的大小，根据绝对值的意义，判断即可．

 解：由数轴上点的位置关系，得，．

（1），正确；

（2），错误；

（3），正确；

（4），正确；

（5），正确．

故答案为：．

【点拨】本题考查了有理数的大小比较，利用数轴确定、的大小即与的大小是解题关键．

3．数轴上的两点A与B表示的是互为相反数的两个数，且点A在点B的右边，A、B的两点间的距离为12个单位长度，则点A表示的数是___．

【答案】6

【分析】先由条件判定这两个数是6和-6，然后根据点A在点B的右边即可确定点A表示的数．

 解：∵A，B之间的距离是12，且A与B表示的是互为相反数的两个数，

∴这两个数是6和-6，

∵点A在点B的右边，

∴点A表示的数是6．

故答案是：6．

【点拨】本题考查了相反数及数轴上两点间的距离，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

4．若，则_________．

【答案】

【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

 解：∵，且相加得零，

∴，，

解得，，

所以，．

故答案为：．

【点拨】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．

5.今年是重庆提速实施交通建设三年行动计划决胜之年，将力争开工6个高速项目，全市高速通车总里程将达到34780000米，请把数34780000用科学记数法表示为________．

【答案】3.478×107．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

 解：34780000=3.478×107，
故答案为：3.478×107．

【点拨】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

6.用四舍五入法把0.36495精确到0.01后得到的近似数为__________，有________个有效数字．

【答案】0.36    2   

【分析】根据近似数和有效数字的定义即可求解．

解：用四舍五入法把0.36495精确到0.01，即对千分位的数字进行四舍五入后是0.36．

精确后共有3，6两个有效数字．

故答案为：0.36，2．

【点拨】本题考查近似数和有效数字，精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入．有效数字即从左边第一个不是0的数字起所有的数字．

.举一反三：

【变式1】 有六个数：5，0，，，，，其中分数有个，非负整数有个，有理数有个，则______．

【答案】0

【分析】根据分数、非负整数和有理数的定义得到a，b，c的值，即可求解．

  解：分数有，，，∴，

非负整数有0，5，∴，

有理数有5，0，，，，∴，

∴，

故答案为：0．

【点拨】本题考查有理数的定义，掌握分数、非负整数和有理数的定义是解题的关键．

【变式2】等边ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若ABC绕顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2020次后，点B对应的数是__．

【答案】2020

【分析】先确定AB＝AC＝BC＝1，翻转1次后，点B所对应的数为1；翻转4次后，点B所对应的数为1+3×1；翻转7次后，点B所对应的数为1+3×2，由于2020＝1+673×3，从而可判断△ABC连续翻转2020次后，点B对应的数为1+673×3．

   解：∵点A、C对应的数分别为0和﹣1，

∴AC＝1，

∵△ABC为等边三角形，

∴AB＝AC＝BC＝1，

∵△ABC绕顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，翻转3次后，点B所对应的数为3，翻转4次后，点B所对应的数为1+3×1；翻转7次后，点B所对应的数为1+3×2，

而2020＝1+673×3，

∴△ABC连续翻转2020次后，点B对应的数为1+673×3＝2020．

故答案为2020．

【点拨】本题考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．也考查了等边三角形的性质和数字变换规律型问题的解决方法．

【变式3】 当x＝_____时，代数式2x+1与5x﹣6的值互为相反数．

【答案】

【分析】因为代数式2x+1与5x﹣6互为相反数，则2x+1与5x﹣6的和为0，即可求得．

    ∵代数式2x+1与5x﹣6互为相反数

∴2x+1+5x﹣6=0

解得x=

故答案为：

【点拨】本题考查相反数，掌握互为相反数的两数和为0是解题关键．

【变式4】较大小（填写“＞”或“＜”）：

－2________－3 ；________；________

【答案】>    >    <   

【分析】根据有理数的大小比较方法作答．

    解：∵|-2|<|-3|，

∴-2>-3，

∵

∴，

∴，

∵，

∴，

故答案为>；>；<．

【点拨】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法、分数比较大小的方法及多重符号的化简是解题关键 ．

【变式5】据报道，郑州市私家车拥有量近4500000辆，将数据4500000用科学记数法表示为_______．

【答案】

【分析】根据科学记数法的表示求解即可；

【详解】；

故答案是．

【点拨】本题主要考查了科学记数法的表示，准确计算是解题的关键．

【变式6】根据统计，天猫在2020年“11．11购物狂欢节”的全天成交总额为3684亿元，如果将数据3684用四舍五入法精确到百位，并用科学记数法表示为__________．

【答案】3.7×103．

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．

    解：3684≈3.7×103．
故答案为：3.7×103．

【点拨】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．

类型二、有理数的运算

7.计算：

（1）           （2）42÷2-．

【答案】(1)-1；(2)7.

【分析】（1）根据乘法的分配律计算即可；（2）根据先算乘方，再算乘除，后算加减的顺序计算即可.

解：(1) 

=-6×-（-6）×

=-3+2

=-1；

 (2)

=16÷2-

=8-1

=7.

【点拨】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键.混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序.

8.计算：(1)－×3＋6×；        (2)(－1)2÷×[6－(－2)3]．

【答案】(1)－3；(2)28.

【分析】（1）根据有理数的混合运算顺序依次计算即可；（2）根据有理数的混合运算顺序依次计算即可.

解发：（1）﹣×3+6×（﹣）=﹣1+（﹣2）=﹣3；

（2）（﹣1）2÷×[6﹣（﹣2）3]=1×2×[6﹣（﹣8）]=1×2×14=28．

【点拨】本题考查了有理数的混合运算，熟记有理数的混合运算法则是解决问题的关键.

9.计算：

（1）；      （2）；

（3）．

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果；（2）根据运算顺序，先算乘方再算乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的；（3）先计算小括号中的运算，再计算中括号中的运算，即可得到结果．

解：（1）原式

．

（2）原式

．

（3）原式

．

【点拨】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

 举一反三：

【变式7】计算题

（1）；               ；

；           （4）；

（5）；   （6）

【答案】(1)3;(2)-2;(3)-22;(4)-11;(5)-66;(6)-108.

【分析】

（1）计算加减法即可求解；（2）计算乘除法即可求解；

（3）根据乘法分配律简便计算；（4）先算乘除，再算加减；

（5）（6）先算乘方，再算乘除，最后算加减；

    解：（1）；

；

；

（4），
；

（5），
；

（6），
．

【点拨】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．

【变式8】阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时，根据以上阅读完成：

________．

计算：．

【答案】；（2）0.9.

【分析】

（1）因为3.14﹣π＜0，所以根据当a≤0时，|a|=﹣a，直接写出结果即可．

（2）先根据当a≥0时，|a|=a；当a≤0时，|a|=﹣a，计算绝对值，再进行加减运算．

 解 ：（1）|3.14﹣π|=π﹣3.14．

（2）原式=+…+.

=．

【点拨】本题主要考查了绝对值的性质，注意读懂题意，是解决本题的关键．

【变式9】用简便方法计算：

（1）；        （2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）将转换成的形式，再用乘法分配率求解即可．

（2）将转换成的形式，再用乘法分配率求解即可．

（1）

．

（2）

．

【点拨】本题考查了有理数简便运算的问题，掌握乘法分配律是解题的关键．

类型三、数学思想在本章中的应用

　11．阅读理解）点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．

例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．

（知识运用）

如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．

（1）数　　　　  所表示的点是{M，N}的奇点；数　　　　  所表示的点是{N，M}的奇点；

（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，当P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？

【答案】（1）3，－1；（2）－30，10、．

【分析】

（1）根据定义发现：奇点表示的数到{ M，N}中，前面的点M是到后面的数N的距离的3倍，从而得出结论；根据定义发现：奇点表示的数到{N，M}中，前面的点N是到后面的数M的距离的3倍，从而得出结论；

（2）点A到点B的距离为6，由奇点的定义可知：分两种情况列式：①PB=3PA；②PA=3PB；③AB=3PA；④PA=3AB；可以得出结论．

 解：5－(－3)＝8，

8÷(3＋1)＝2，

5－2＝3，

－3＋2＝－1；

故表示数3的点是{M，N}的奇点；表示数－1的点是{N，M}的奇点；

故答案为3；-1；

(2)由题意得：AB=30－(－50)＝80，

80÷(3＋1)＝20，

①当PA=3PB，则点P表示的数为：30－20＝10；

②当PB=3PA，则点P表示的数为：－50＋20＝－30；

③当AB=3PA，则，所以点P表示的数为：；

④当PA=3AB时，则PA=240，所以P表示的数为：；

故点P运动到数轴上表示－30、10、的点的位置时，P，A，B中恰有一个点为其余两点的奇点．

【点拨】本题考查数轴及数轴上两点的距离、动点问题，解题的关键是认真理解新定义：奇点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的3倍，列式可得结果．

【变式11】如图，数轴的单位长度为1．

（1）如果点A，D表示的数互为相反数，那么点B表示的数是多少？
（2）如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中表示的四个点中，哪一点表示的数的绝对值最大？为什么？
（3）当点B为原点时，若存在一点M到A的距离是点M到D的距离的2倍，则点M所表示的数是____.

【答案】（1）-1；（2）点A表示的数的绝对值最大．理由是点A的绝对值是4最大；（3）2或10；

【分析】（1）先确定原点，再求点B表示的数，（2）先确定原点，再求四点表示的数，
（3）分两种情况①点M在AD之间时，②点M在D点右边时分别求解即可．

解：（1）根据题意得到原点O，如图，则点B表示的数是-1； 

       
（2）当B，D表示的数互为相反数时，A表示-4，B表示-2，C表示1，D表示2，
所以点A表示的数的绝对值最大．点A的绝对值是4最大．
（3）2或10．设M的坐标为x．
当M在A的左侧时，-2-x=2（4-x），解得x=10（舍去）
当M在AD之间时，x+2=2（4-x），解得x=2
当M在点D右侧时，x+2=2（x-4），解得x=10
故答案为：①点M在AD之间时，点M的数是2②点M在D点右边时点M表示数为10．

【点拨】本题主要考查了数轴，解题的关键是熟记数轴的特点．