2016年浙江台州路桥区中考一模数学试卷(详解版)

2016年浙江台州路桥区中考一模数学试卷

选择题

（本大题共10小题，每小题4分，共40分。）

1.下列计算正确的是（  ）．

A.

B.

C.

D.

【答案】 B

【解析】 、，故错误；

、，故正确；

、，故错误；

、，故错误．

故选．

2.节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约亿千万人．用科学记数法表示为（  ）．

A.

B.

C.

D.

【答案】 B

【解析】 ．

3.如图为主视图方向的几何体，它的俯视图是（　　）．

A.

B.

C.

D.

【答案】 D

【解析】 从上面看可得到三个左右相邻的长方形，故选．

4.如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，则等于（     ）．

A.

B.

C.

D.

【答案】 C

【解析】 如图，过点作，

则．

又∵，

∴，

∴，

∴．

故选．

5.已知，那么在数轴上与实数对应的点可能是（   ）．

A.

B.

C.或

D.或

【答案】 D

【解析】 根据实数在数轴上表示的法方可得，

∵，

∴，

∴或．

故选．

6. 人民商场对上周女装的销售情况进行了统计，如下表所示：

经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（  ）．

A.平均数

B.中位数

C.众数

D.方差

【答案】 C

【解析】 方法一：众数：出现次数最多的数，

∵红色出现次数最多，

∴正确．

方法二：在决定本周进女装时多进一些红色的，主要考虑的是各色女装的销售的数量，而红色上周销售量最大．由于众数是数据中出现次数最多的数，故考虑的是各色女装的销售数量的众数．

故选．

7.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，把剪下的这个角展开，若得到一个锐角为的菱形，则剪口与折痕所成的角的度数应为（  ）．

A.或

B.或

C.或

D.或

【答案】 D

【解析】 ∵四边形是菱形，

∴，

，，

∵，

∴，

∴，．

∴剪口与折痕所成的角的度数应为或．

故选：．

8.已知，，为非负实数，且，则代数式的最小值为（  ）．

A.

B.

C.

D.

【答案】 D

【解析】 ∵，，为非负实数，且，

∴，，最小为，当时，最大为：，

∴，

∵，

∴，∴时，代数式的值随的增大而减小，

∴时，代数式的最小值为：．

9.如图，是等腰直角三角形，是过点的直线，，，则与通过下列变换：

①绕点旋转后重合．

②沿的中垂线翻折后重合．

③沿方向平移后与重合．

④绕中点逆时针旋转度，则与重合．

⑤先沿方向平移，使点与点重合后，再将平移后的三角形绕点逆时针旋转度，则与重合．

其中正确的有（   ）．

A.个

B.个

C.个

D.个

【答案】 B

【解析】

∵，，

∴，

又，

∴（同角的余角相等），

∴在与中，

，

∴≌，

∴，，

①绕点旋转后，与不重合，

即与不重合，

故①错误．

②与不关于的中垂线对称，

则沿的中垂线翻折后不重合，

故②错误．

③沿方向平移后，与不重合，

即与不重合，

故③错误．

④因为是等腰直角三角形，所以，

所以绕中点逆时针旋转度，

则与重合，

故④正确．

⑤先沿方向平移，

使点与点重合后，

再将平移后的三角形绕点逆时针旋转度，

则与重合，

故⑤正确⑤

综上所述，正确的结论有个．

故选．

10.如图，点在直线上，若存在过点的直线交抛物线于、两点，且，则称点为“优点”，下列结论中正确的是（   ）．

A.直线上的所有点都是“优点”

B.直线上仅有有限个点是“优点”

C.直线上的所有点都不是“优点”

D.直线上有无穷多个点（不是所有的点）是“优点”

【答案】 A

【解析】 设，，则，

∵，在上，

∴，，

消去，整理得关于的方程：①，

∵恒成立，

∴方程（）恒有实数解，

∵点的随意性，

∴直线上的所有点都是“优点”．

故选：．

填空题

（本大题共6小题，每小题5分，共30分。）

1.写一个在和之间的无理数             ．

【答案】 ，（答案不唯一）

【解析】 在和之间的无理数是，（答案不唯一）．

2.已知反比例函数，当时，则的取值范围是             ．

【答案】

【解析】 ∵反比例函数中，，

∴此函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，

∵当时，，

∴当时，．

3.如图，是的角平分线，，，则图中的等腰三角形有             个．

【答案】

【解析】 是的角平分线，

，

，

是等腰三角形①．

，

，

是等腰三角形②

，，

是等腰三角形③．

故图中的等腰三角形有个．

故答案为：．

4.如图，温度计上表示了摄氏温度（）与华氏温度（）的刻度，如果气温是摄氏，则相当于华氏             ．

【答案】

【解析】 设摄氏度为，

华氏度为，，

由图可知，

，

解得，

所以，，

当时，

．

故答案为：．

5.如图，在中，点、是的三等分点，点、是的三等分点，点、、、是的五等分点，记四边形、的面积分别为、，若，则五边形的面积为             ．

【答案】

【解析】 如图，连结，．设，，，，分别为其所在三角形的面积．

∵，，，

∴，

∴，

∴，

∴，同理可证：，

∵，

∴，

∵，

∴，同理，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴五边形的面积，

故答案为：．

6.如图，在等腰中，，，于点，动点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向终点运动，过点作于点，过点作，交于点，设点运动的时间为秒，若以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，当线段与线段有公共点时，则的取值范围是             ．

【答案】

【解析】 如图中，当点与点重合时，

∵，，，

∴，

在中，

，

∵，

∴，

∴，

∴此时，

如图中，当点在线段上时．

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴此时，

∴当线段与线段有公共点时，

则的取值范围是，

故答案为．

解答题

（本大题共8小题，共80分。）

1.计算：．

【答案】 ．

【解析】 原式．

2.如图，在中，，分别是，的中点，，延长到点，使得，连接．求证：四边形是菱形．

【答案】 证明见解析．

【解析】 ∵、是、的中点，

∴，．

又，，

∴，．

∴四边形是平行四边形，

又∵，

∴四边形是菱形．

3. 某校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，对学校部分捐款人数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）．已知、两组捐款人数的比为．

捐款人数分组统计表

请结合以上信息解答下列问题．

( 1 )             ，本次调查样本的容量是             ．

( 2 )先求出组的人数，再补全“捐款人数分组统计图”．

( 3 )若任意抽出名学生进行调查，恰好是捐款数不少于元的概率是多少？

【答案】 (1)

(2) ，画图见解析．

(3) ．

【解析】 (1) ∵、两组捐款人数的比为，组捐款人数为人，

∴组捐款人数为：，

、两组捐款人数所占的百分比的和为：，

、两组捐款的人数的和为：，．

(2) ，

组的人数为，

补图见图．

(3) ∵、两组的人数和为：，

∴捐款数不少于元的概率是：．

【或：】．

4.如图，现有一张宽为练习纸，相邻两条格线间的距离均为．调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上，已知．

( 1 )求一个矩形卡通图案的面积．

( 2 )若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印，最多能印几个完整的图案？

【答案】 (1) ．

(2) 个．

【解析】 (1) 如图，在中，

∵，

∴，

∵矩形中，

∴，

∴，

又∵在中，

∴，

∴．

在中，

∵，

∴，

∴卡通图案的面积为．

(2) 如图，在中，易求得．

∵，

∴，

在中，．

∵，

∴，

又∵，，

∴最多能印个完整的图案．

5.某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．

小丽：如果以元/千克的价格销售，那么每天可售出千克，

小强：如果每千克的利润为元，那么每天可售出千克，

小红：如果以元/千克的价格销售，那么每天可获取利润元，

【利润=(销售价进价) 销售量】

( 1 ) 请根据他们的对话填写下表：

( 2 )请你根据表格中的信息判断每天的销售量（千克）与销售单价（元）之间存在怎样的函数关系，并求（千克）与（元）的函数关系式．

( 3 )设该超市销售这种水果每天获取的利润为元．求与的函数关系式．当销售单价为何值时．每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？

【答案】 (1) ，，

(2) 是的一次函数，．

(3) 即当销售单价为元时，每天可获得的利润最大，最大利润是元．

【解析】 (1) 每千克利润的利润为元即售价为元/千克时销售量为．

设售价为元/千克时的销售量为千克

∵利润=(销售价进价)销售量

∴

∴

∴以元/千克的价格销售，那么每天售出千克．

故答案为，，.

(2) 是的一次函数，

设，

∵，；，．

∴，解得．

∴．

经检验：，也适合上述关系式．

∴．

(3)

，

∵，

∴当时，的最大值为．

即当销售单价为元时，每天可获得的利润最大，最大利润是元．

6.【倾听理解】（这是习题讲评课上师生围绕一道习题的对话片段）

如图，在半径为的扇形中，，点是弧上的一个动点（不与、重合），，，垂足分别为、．师：当时，同学们能求哪些量呢？

生：求、的长．

生：求、的长．

师：正确！老师还想追问的是：去掉“”，大家能提出怎样的问题呢？

生：求证：的长为定值．

生：连接，求面积的最大值．

师：你们设计的问题真精彩，解法也很好！

【一起参与】

( 1 )求“生”的问题：“当时，求、的长”．

( 2 )选择“生”或“生”提出的一个问题，并给出解答．

【答案】 (1) ，．

(2) 选“生”，面积的最大值为．

【解析】 (1) ∵，

∴，

在与中，

，

∴≌，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

．

(2) 选“生”．

解：∵，，

∴．

当位于的中点时，

取得最大值，

连接与交于点，

∴，，

∴，

∴，

∴，

，

，

∴面积的最大值为．

7.如图，在四边形中，，，，点在边上，且，．

( 1 )求证：．

( 2 )定义：如果某四边形的一条边上（除顶点外）有一个点，使得除该边两个顶点外的另外两个顶点与它的连线互相垂直，我们把满足这种条件的点叫做该四边形的“勾股点”，例如点在边上，且，所以点是四边形的勾股点，请探究在边上有没有四边形的勾股点？并说明你的理由．

( 3 )请判断在边上有没有四边形的勾股点？并说明你的理由．

【答案】 (1) 证明见解析．

(2) 点是四边形的勾股点，证明见解析．

(3) 点不是四边形的勾股点，证明见解析．

【解析】 (1) 如图中，

∵，，

∴，，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

即．

(2) 线段的中点是四边形的勾股点，

如图中，连接、，延长交的延长线于点，

∵，，，

∴≌，

∴，，

∴，

∴是等腰三角形，

是底边上的中线，

∴，

即点是四边形的勾股点．

(3) 在边上没有四边形的勾股点，

如图中，设点是线段任意一点，连接、，

∵，而，

∴，

∴点不是四边形的勾股点．

8.如图，在矩形中，，，动点、同时从点出发，点沿的方向运动，速度为每秒；点沿的方向运动，速度为每秒，当点、有一点到达终点时（即点到达点，点到达点），运动结束，以线段为边向右侧作正方形，设运动时间为（秒）．

( 1 )当为何值时，点落在边上？

( 2 )若正方形与矩形重叠部分的面积为，当时，求关于的关系式．

( 3 )在点、运动的过程中，是否存在某一时刻，使点落在正方形的边上？若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由．

【答案】 (1) 当秒时，点落在边上．

(2) ①当时，．

②当时，．

③当 时，．

④当时，．

(3) 存在，．

【解析】 (1) 如图中，当点落在边上时，

∵四边形是正方形，

∴，，

∴，

∵ ，

∴，

在和中，

，

∴≌，

∴，

，

∵，

∴，

∴，

∴当秒时，点落在边上．

(2) ①如图中，

当时，重叠部分是正方形．

∵，，

∴．

②如图中，

当，重叠部分是五边形．

设交于点，交于，则，

∵，，

∴，，，

∴，

∴，

∴

．

③当正方形的边落在上时，，

∴，

∴，

如图中，

当 时，重叠部分是四边形，作于点，

由，

∴，

∵，，

∴，

，，

∴，

∴

．

④当点落在时上，

由≌，得，

∵，，

∴，

∴，

如图中，

当时，重叠部分是四边形，

由，得，

∵，，

∴，

∴，，

∴，

∴

．

(3) 如图中，作于，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴或（舍弃）．

∴秒时，点落在正方形的边上．