高中物理人教版 (新课标)必修27.生活中的圆周运动学案

这是一份高中物理人教版 (新课标)必修27.生活中的圆周运动学案，共20页。

8.生活中的圆周运动
［教材习题研讨］
方法点拨
1.解析：小螺丝钉P需要的向心力
F=mr（2nπ）2=0.01×0.2×（2×1000π）2 N=7.9×104 N
由牛顿第三定律可知，转动轴受到的力大小为7.9×104 N.
答案：7.9×104 N
2.解析：汽车转弯所需的向心力
F=m=2.0×103×N=1.6×104 N
大于轮胎所受的最大静摩擦力，所以汽车会发生侧滑.
答案：会侧滑
3.解析：（1）汽车在桥顶时，如图6－8－14所示.由向心力公式可得
mg－N=m
N=mg－m
=（800×9.8－800×）N=7440 N

图6－8－14
由牛顿第三定律可知，车对桥的压力为7440 N.
（2）若汽车恰好对桥无压力，则仅受重力且重力正好充当向心力，故有mg=m
得v==9.8×50 m/s=22 m/s
（3）由上面（1）中可知，车受支持力N=mg－m
可见，拱桥的圆弧半径越大，支持力越大，也即车对桥的压力越大，汽车越安全.
（4）由上面（2）可知，汽车恰好腾空时v=
其中R=6400 km为地球的半径，代入上式可得
v=7.9×103 m/s.
答案：（1）7440 N （2）22 m/s （3）半径大一些安全 （4）7.9 km/s
4.解析：如图6－8－15所示，小孩由最高点摆到最低点过程中，仅有重力做功，机械能守恒.取最低点为零势能面，则有
mv2=mgl（1－cos60°） ①
在最低点，由向心力公式得
FN－mg=m ②
由①②可得：
FN=mg+2mg（1－cos60°）=2mg=490 N

图6－8－15
由牛顿第三定律得：小孩对秋千板向下的压力为490 N.
答案：490 N
5.解析：如图6－8－16所示，小球由弧形轨道最高点到达圆轨道最高点过程中，机械能守恒.取圆轨道最低点为零势能点，则有
mgh=mv2+mg·2R ①

图6－8－16
可见，小球在轨道最高点的速度越小，h越小.当小球过轨道最高点的速度最小时，只有重力充当向心力，于是mg=m ②
由①②可得：h=R，所以h最小值为R.
答案：R


［教材优化全析］
（一）铁路的弯道

1.火车车轮的结构特点：
火车的车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上运行时，有凸出轮缘的一边在两轨道内侧，这种结构特点，主要是有助于固定火车运动的轨迹.（如图6－8－1所示）
　　　　　　　　　　
图6－8－1 　　　　　图6－8－2
2.如果转弯处内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力就是火车转弯的向心力，见图6－8－2.但火车质量太大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损.
全析提示
从这个例子我们再一次看出，向心力是按效果命名的力，任何一个力或几个力的合力，只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力.如果认为做匀速圆周运动的物体除了受到另外物体的作用，还要再受一个向心力，那就不对了.
3.如果在转弯处使外轨略高于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力.这就减轻了轮缘与外轨的挤压.在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力FN的合力来提供（图6－8－3）.

图6－8－3
设内外轨间的距离为L，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，火车转弯的规定速度为v0.由图6－8－3所示力的合成得向心力为
F合=mgtanα≈mgsinα=mg
由牛顿第二定律得：F合=m
所以mg=m
即火车转弯的规定速度v0=.
4.对火车转弯时速度与向心力的讨论：
a.当火车以规定速度v0转弯时，合力F等于向心力，这时轮缘与内外轨均无侧压力.
b.当火车转弯速度v>v0时，该合力F小于向心力，外轨向内挤压轮缘，提供侧压力，与F共同充当向心力.
c.当火车转弯速度v （二）拱形桥
要点提炼
火车在转弯时，一定要正确确定圆心及半径.这时圆心在火车重心所在的水平面上，而不是斜面上.确定了圆心位置后，半径也就确定了.这是解决问题的一个很关键的点.
1.汽车过拱桥时，车对桥的压力小于其重力.
汽车在桥上运动经过最高点时，汽车所受重力G及桥对其支持力FN提供向心力.如图6－8－4所示.

图6－8－4
G－FN=m
所以FN=G－
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力与反作用力，故汽车对桥的压力小于其重力.
全析提示
对汽车受力分析，找出向心力的来源，是解决此题的关键.
思考：汽车的速度不断增大时，会发生什么现象？
由上面表达式FN=G－可以看出，v越大，FN越小.当FN=0时，由G=m可得v=.若速度大于时，汽车所需的向心力会大于重力，这时汽车将“飞”离桥面.我们看摩托车越野赛时，常有摩托车飞起来的现象，就是这个原因.
2.汽车过凹桥时，车对桥的压力大于其重力.
思维拓展
物体在竖直面内通过最高点时，若向心力等于重力，此时速度v=，物体与支承物间无相互作用力.

如图6－8－5，汽车经过凹桥最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，其合力充当向心力.则有：FN－G=m，所以FN=G+m

图6－8－5
由牛顿第三定律知，车对桥的压力FN′=G+m，大于车的重力.而且还可以看出，v越大，车对桥的压力越大.
思考：汽车不在拱形桥的最高点或最低点时，如图6－8－6所示.它的运动能用上面的方法求解吗？

图6－8－6
可以用上面的方法求解，但要注意向心力的来源发生了变化.如图6－8－6，重力沿半径方向的分力和垂直桥面的支持力共同提供向心力.设此时汽车与圆心的连线和竖直方向的夹角为θ，则有
mgcosθ－FN=m
所以FN=mgcosθ－m
桥面支持力与夹角θ、车速v都有关.
（三）航天器中的失重现象

全析提示
这里讨论的仅是汽车在拱桥最高点、凹桥最低点的情况.当汽车不在最高点或最低点时，情况更复杂.
飞船环绕地球做匀速圆周运动，当飞船距地面高度为一二百千米时，它的轨道半径近似等于地球半径R，航天员受到的地球引力近似等于他在地面测得的体重mg.除了地球引力外，航天员还可能受到飞船座舱对他的支持力FN.引力与支持力的合力为他提供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力F=，即
mg－FN=也就是FN=m（g－）
由此可以解出，当v=时，座舱对航天员的支持力FN=0，航天员处于失重状态.
思考：地球可以看作一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球半径R（约为6400 km）.地面上有一辆汽车，重量是G=mg，地面对它的支持力是FN.汽车沿南北方向行驶，不断加速.如图6－8－7所示.会不会出现这样的情况：速度大到一定程度时，地面对车的支持力是零？这时驾驶员与座椅之间的压力是多少？驾驶员躯体各部分之间的压力是多少？他这时可能有什么感觉？

图6－8－7
其实，这和飞船的情况相似.当汽车速度达到v=时（代数计算可得v=7.9×103 m/s），地面对车的支持力是零，这时汽车已经飞起来了.此时驾驶员与座椅间无压力.驾驶员、车都处于完全失重状态.驾驶员躯体各部分之间没有压力，他会感到全身都飘起来了.
（四）离心运动
要点提炼
当v=时，航天员仅受重力（约等于在地表时地球对他的引力），由牛顿第二定律知，尽管航天员的运动方向沿圆周切线方向，但加速度的方向却是竖直向下、大小为g，因此航天员处于完全失重状态.
1.定义：做匀速圆周运动的物体，在所受合力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动.
2.本质：离心现象是物体惯性的表现.
3.如图6－8－8所示：

图6－8－8
（1）向心力的作用效果是改变物体的运动方向，如果它们受到的合外力恰好等于物体所需的向心力，物体就做匀速圆周运动.此时，F=mrω2.
从定义可以看出，离心运动并不是受到什么离心力作用.根本就没有离心力这种力，因为没有任何物体提供这种力.
（2）如果向心力突然消失（例如小球转动时绳子突然断裂），则物体的速度方向不再变化，由于惯性，物体将沿此时的速度方向（即切线方向）按此时的速度大小飞出.这时F=0.
（3）如果提供的外力小于物体做匀速圆周运动所需的向心力，虽然物体的速度方向还要变化，但速度方向变化较慢，因此物体偏离原来的圆周做离心运动.其轨迹为圆周和切线间的某条线，如图所示.这时，F 思维拓展
惯性是任何物体都有的、保持其原来运动状态不变的性质.即静止的物体继续静止，匀速直线运动的物体继续做匀速直线运动.
4.离心运动的应用和危害
（1）利用离心运动制成离心机械.例如离心干燥器、洗衣机的脱水筒和离心转速计等等.
（2）在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供的.如果转弯时速度过大，所需向心力F很大，大于最大静摩擦力Fmax，汽车将做离心运动而造成交通事故.如图6－8－9所示.因此，在转弯处，为防止离心运动造成危害：一是限定车辆的转弯速度；二是把路面筑成外高内低的斜坡以增大向心力.

图6－8－9
乘客在汽车急转弯时会不由自主地向外侧倾或向外滑去，就是发生了离心现象.

8.生活中的圆周运动

［学习目标导航］
1.知道如果一个力或几个力的合力的效果是使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力.会在具体问题中分析向心力的来源.
2.知道向心力和向心加速度的公式也适用于变速圆周运动.会求变速圆周运动中物体在特殊点（该处物体所受合外力全部提供向分力，无切向分力）的向心力和向心加速度.
3.知道什么是离心现象，知道物体做离心运动的条件.
4.能结合课本所分析的实际问题，知道离心运动的应用和防止.
5.培养理论联系实际的科学作风.
学习提示
本节重点是能熟练运用向心力公式及圆周运动公式解决有关圆周运动的实际问题.本节重点是准确地确定向心力和判断物体在运动中的临界状态问题.


［自主学习互动］
1.做匀速圆周运动的物体所受的合外力总是指向 ，所以叫 .它是根据力的 来命名的.向心力公式： .
答案：圆心 向心力 作用效果 Fn=m=mrω2
2.向心力总是指向圆心，而线速度沿圆的切线方向，故向心力始终与线速度垂直，所以向心力的作用效果只是改变物体线速度的 而不改变线速度的 .
答案：方向 大小
3.向心力产生的加速度也总是指向 ，叫 .
公式：a= = =r（）2.
答案：圆心 向心加速度 rω2
知识链接
火车转弯、汽车过拱形桥以及卫星绕地球旋转时，都是在做圆周运动，因此分析它们的受力情况，找出向心力的来源，结合向心力公式，就可以研究它们做圆周运动的问题了.
●规律总结
关于圆周运动规律的应用举例
1.火车拐弯处外轨高于内轨;高速公路或盘山公路的急转弯处路面的外侧高于内侧.
2.过山车在圆轨道的最高点处游客掉不下来.
3.离心装置:离心式水泵、离心干燥器、离心沉淀装置.
4.天体运动中失重现象的解释与解决.
关于圆周运动、离心运动、向心运动的力学原因的分析思路
1.将物体的惯性运动和力的作用效果综合起来考查.
2.从数量关系上,即从外界提供的向心力在物体在某轨道上做圆周运动所需要的向心力的对比关系上理解.
关于匀速圆周运动与变速圆周运动
1.它们共同遵守的规律是瞬时作用规律和一些瞬时关系:如牛顿第二定律,an== ω2r,v=ωr等.
2.它们的不同之处是:变速圆周运动物体受到大小也在不断变化的切向力的作用,产生着切向加速度,改变着物体的速率.定量地解决这类问题往往还需要应用功能关系或能的转化和守恒定律.
关于疑难现象和困惑的解释
1.水平转盘上的物体随转盘一起匀速转动时,物体相对于盘的运动趋势是沿着半径远离圆心的方向,绝不是与物体线速度方向相反.如图6-8-9所示,物体做匀速圆周运动的向心力是靠静摩擦力提供的,是沿着半径指向圆心的方向,根据静摩擦力产生的条件知道,物体相对于盘的运动趋势一定和所受到的静摩擦力方向相反,因此是背离圆心的方向.再者,物体做的匀速圆周运动,速率大小不变,在切线方向上所受合力为零,由此可以断定物体在任一时刻的速度方向上不受摩擦力的作用,所以不可能存在着沿圆周切线方向的相对运动趋势.

图6-8-9
如果物体在水平转盘上不是匀速转动,而是处在转盘加速转动且与物体保持与盘相对静止状态,此时物体受到的静摩擦力不再指向圆心,而是与任一时刻速度的方向夹一锐角的方向.物体相对于盘的运动趋势也不再是沿着半径背离圆心,而是与线速度方向夹一钝角的方向,如图6-8-10所示.

图6-8-10
2.物体做圆周运动虽然受到沿着半径指向圆心的力的作用,但是物体并不沿着半径向圆心运动,像这种理解上的困难主要原因是对惯性以及一些惯性现象理解不够.不妨这样想一想,如果没有向心力作用的话,物体将由于惯性而沿着直线做远离圆心的运动,就不可能沿着圆周运动,也正是因为这个向心力,把要远离圆心运动的物体拉回到圆周的轨道上来,而不是沿着半径的方向运动.当然这个力的大小不满足要求时,会出现向心运动,或者离心运动,但也不是沿着半径方向运动.
物体做离心运动时,并不是有一个离心力作用在物体上而使物体这样运动,离心力是不存在的,离心运动的原因是向心力不足所导致,同理,物体做向心运动是向心力过大的原因.
离心运动和向心运动都不再是圆周运动,而是变加速曲线运动或者匀速直线运动.
离心运动和向心运动皆有利有弊,一方面要开发运用,另一方面还要注意避免.

8.生活中的圆周运动
●合作讨论
1.举出几个变速圆周运动实例,说明物体做变速圆周运动的原因,及处理变速圆周运动问题的依据.
我的思路:(1)研究物体做曲线运动的条件,弄清物体做曲线运动时合外力切向分量和法向分量的作用效果:合力的法向分量改变速度的方向,切向分量改变速度的大小.再对比匀速圆周运动的条件,便可明晓物体做变速圆周运动的原因.
(2)处理变速圆周运动的依据应从此种运动的性质和特点入手思考,如此运动属于经典的运动学过程,此过程中物体受到的合外力以及线速度时刻都在变化着等.
2.结合实例分析说明离心运动和向心运动的原因是什么.
我的思路:从向心力公式Fn==mω2r的意义分析研究.公式的左边Fn是物体实际受到的力在半径方向上的分量,是外界对物体提供的向心力,而公式的右边是指质量为m的物体在半径为r的圆周上以线速度大小v运动时所需要的向心力的大小.Fn和是一种供需关系,理解了这种关系,便理解了离心运动和向心运动现象.
3.过山车通过圆形轨道的最高点时,游客头朝下却不会掉下来,你理解这种现象吗?试说明不掉下来的原因.
我的思路:游客在圆轨道的最高点受重力作用而不掉下来,引发出下列问题:(1)此时重力的作用效果是什么?
(2)如果没有重力的作用也没有轨道的约束,游客将怎样运动?
(3)游客在轨道的最高点还可能受到哪个力的作用,这个力与游客的运动速度大小有关吗?这个力的作用效果是使人与车分离,还是使人压紧车?弄清这几个问题之后,对本题的现象及原因就真正理解了.
4.过山车通过圆轨道的最高点时,人一定处于失重状态,对吗?试说明其原因.
我的思路:研究人在轨道最高点受到的作用力,理解失重现象的意义,问题得到解决.

●思维过程
对圆周运动过程中一些瞬时关系的理解:
1.在任一时刻或任一位置都可以应用牛顿第二定律.
2.向心加速度a==ω2r以及线速度与角速度的关系v=ωr在任一时刻或任一位置都适用,无论物体做匀速圆周运动,还是变速圆周运动.
对向心运动和离心运动的理解:
1.外界对物体提供的向心力大于物体做圆周运动所需的向心力,即Fn＞时,物体做靠近圆心的运动.
2.外界对物体提供的向心力小于物体做圆周运动所需要的向心力时,即Fn＜时,称为向心力不足,物体做远离圆心的运动.
3.无论是向心运动,还是离心运动,都不是圆周运动,这种运动过程“向心力”要做功,导致物体速度发生变化.
利用圆周运动知识解决实际问题的方法:
1.将实际问题抽象成圆周运动.
2.弄清圆周运动的轨迹及圆心、半径.
3.应用牛顿第二定律及圆周运动的知识分析解决.
【例1】 在高速公路的拐弯处,路面造得外高内低,即当车向右拐弯时,司机左侧的路面比右侧的高一些.路面与水平面间的夹角为θ,设拐弯路段是半径为R的圆弧,要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零,θ应等于
A.arcsin B.arctan
C.arcsin D.arccot
思路:汽车在水平面内做圆周运动,如果路面是水平的,汽车做圆周运动的向心力只能由静摩擦力提供;如果外侧路面高于内侧路面一个适当的高度,也就是路面向内侧倾斜一个适当的角度θ,地面对车支持力的水平分量恰好提供车所需要的向心力时,车轮与路面的横向摩擦力正好等于零.在此临界情况下对车受力分析,明确汽车所受合外力的方向:水平指向圆心.然后由牛顿第二定律列方程求解.
答案:B
【例2】 如图6-8-1所示,一小球被一绳子牵引,在光滑水平的平板上以速度v做匀速圆周运动,半径R=30 cm,v=2.0 m/s.现将牵引的绳子迅速放长20 cm,使小球在更大半径的轨道上做匀速圆周运动,求:

图6-8-1
(1)实现这一过渡所经历的时间;
(2)在新轨道上运动时,小球旋转的角速度.
思路:本题关键是要弄清楚小球做圆周运动的轨道半径R′=30 cm变化为R′=30 cm+ 20 cm=50 cm的过程中小球的运动状态.
由题中“将牵引的绳子迅速放长20 cm”可知，在绳子放长过程中,绳子对球无作用力,进一步得到小球在绳子放长过程中所受合外力为零.因此,若从小球运动到A点开始放绳,则小球将沿A点的圆周切线方向做匀速直线运动,直到B点绳子再次张紧.如图6-8-1所示.
答案:(1)0.2 s (2)2.4 rad/s

●新题解答
【例3】 一辆汽车匀速通过半径为R的圆弧形路面,关于汽车的受力情况,下列说法正确的是
A.汽车对路面的压力大小不变,总是等于汽车的重力
B.汽车对路面的压力大小不断发生变化,总是小于汽车所受重力
C.汽车的牵引力不发生变化
D.汽车的牵引力逐渐变小
解析:汽车受重力mg、路面对汽车的支持力FN、路面对汽车的牵引力F(暂且不考虑汽车运动过程中受到的阻力),如图6-8-2所示.设汽车所在位置路面切线与水平面所夹的角 为θ.

图6-8-2
汽车运行时速率大小不变，沿轨迹切线方向合力为零，所以
F-mgsinθ=0,F=mgsinθ
汽车在到达最高点之前，θ角不断减小，由上式可见，汽车的牵引力不断减小；从最高点向下运动的过程中,不需要牵引力,反而需要制动力,所以C选项不正确,D选项正确.
在沿着半径的方向上,汽车有向心加速度,由牛顿第二定律:
mgcosθ-FN=,FN=mgcosθ-.
可见,路面对汽车的支持力FN随θ的减小而增大,当到达顶端时θ=0,FN=mg-达到最大,FN＜mg,所以A选项不正确,B选项正确.
点评：从解题过程看,首先应当明确汽车的运动是匀速圆周运动,时时刻刻汽车都在做变加速运动,任何一个时刻或一个位置汽车所处的状态都不是平衡状态;其二应当明确汽车的速率大小不变,汽车在沿轨迹切线的方向上所受合力始终为零.也就是说:明确汽车的运动情况,抓住“切向平衡”“法向有向心加速度”是解决这类问题的关键.
答案:BD
【例4】 如图6-8-3所示,A、B、C三个小物体放在水平旋转的圆盘上,它们与圆盘间的最大静摩擦力与其重力成正比,比例系数均为k.已知mA=2mB=2mC,rC=2rA=2rB,圆台以角速度ω旋转时,A、B、C均没有滑动,则

图6-8-3
A.C的向心加速度最大
B.B所受静摩擦力最小
C.当圆盘转速逐渐增大时,C比B先开始滑动
D.当圆盘转速逐渐增大时,A比B先开始滑动
解析:对其中任一个物体进行受力分析,如图6-8-4所示,物体的重力与盘对物体的支持力相互平衡,仅有静摩擦力F提供向心力使在半径为r处的物体做匀速圆周运动.由牛顿第二定律,物体受到的静摩擦力F=mω2r,可见:

图6-8-4
当ω一定时,静摩擦力正比于物体的质量和做圆周运动的半径,因mA=2mC,rC=2rA,所以FA=FC＞FB,所以B选项正确.
物体的向心加速度与质量无关,其大小a==ω2r,在ω一定时,半径越大的物体向心加速度也越大,故A选项正确.
当物体刚要相对于盘滑动时,静摩擦力F达到最大值Fmax,由题设知Fmax=kmg,所以kmg=mω2r,由此可以求得物体刚要滑动时的临界角速度ωC=.
上式ωC=告诉我们:物体到圆心的距离越小,盘面越粗糙,k越大时,物体刚要开始相对滑动的角速度ωC越大.换句话说,接触面越粗糙,物体越靠近轴时,物体越不易相对滑动.本题中,k相同,即接触面的情况完全一样,越靠近圆盘边缘处的物体半径越大,ωC越小,越易滑动,所以C比A和B都先滑动,C选项正确.
ωC的大小与物体的质量无关,所以A、B同时滑动,D选项不正确.
点评：(1)解决物理问题切忌想当然地作出结论:“质量大的物体容易甩出去，质量小的物体不易相对盘滑动.”这是片面的，当然也是错误的.
(2)用代表例法分析问题是论证的技巧,如盘上的A、B、C三个物体运动的性质完全一样,不同的只是一些量的不同,没有必要逐一讨论,只要选一个为代表讨论就可以了.
(3)注意抓住临界状态进行分析.
答案:ABC

●新题解答
【例3】 一辆汽车匀速通过半径为R的圆弧形路面,关于汽车的受力情况,下列说法正确的是
A.汽车对路面的压力大小不变,总是等于汽车的重力
B.汽车对路面的压力大小不断发生变化,总是小于汽车所受重力
C.汽车的牵引力不发生变化
D.汽车的牵引力逐渐变小
解析:汽车受重力mg、路面对汽车的支持力FN、路面对汽车的牵引力F(暂且不考虑汽车运动过程中受到的阻力),如图6-8-2所示.设汽车所在位置路面切线与水平面所夹的角 为θ.

图6-8-2
汽车运行时速率大小不变，沿轨迹切线方向合力为零，所以
F-mgsinθ=0,F=mgsinθ
汽车在到达最高点之前，θ角不断减小，由上式可见，汽车的牵引力不断减小；从最高点向下运动的过程中,不需要牵引力,反而需要制动力,所以C选项不正确,D选项正确.
在沿着半径的方向上,汽车有向心加速度,由牛顿第二定律:
mgcosθ-FN=,FN=mgcosθ-.
可见,路面对汽车的支持力FN随θ的减小而增大,当到达顶端时θ=0,FN=mg-达到最大,FN＜mg,所以A选项不正确,B选项正确.
点评：从解题过程看,首先应当明确汽车的运动是匀速圆周运动,时时刻刻汽车都在做变加速运动,任何一个时刻或一个位置汽车所处的状态都不是平衡状态;其二应当明确汽车的速率大小不变,汽车在沿轨迹切线的方向上所受合力始终为零.也就是说:明确汽车的运动情况,抓住“切向平衡”“法向有向心加速度”是解决这类问题的关键.
答案:BD
【例4】 如图6-8-3所示,A、B、C三个小物体放在水平旋转的圆盘上,它们与圆盘间的最大静摩擦力与其重力成正比,比例系数均为k.已知mA=2mB=2mC,rC=2rA=2rB,圆台以角速度ω旋转时,A、B、C均没有滑动,则

图6-8-3
A.C的向心加速度最大
B.B所受静摩擦力最小
C.当圆盘转速逐渐增大时,C比B先开始滑动
D.当圆盘转速逐渐增大时,A比B先开始滑动
解析:对其中任一个物体进行受力分析,如图6-8-4所示,物体的重力与盘对物体的支持力相互平衡,仅有静摩擦力F提供向心力使在半径为r处的物体做匀速圆周运动.由牛顿第二定律,物体受到的静摩擦力F=mω2r,可见:

图6-8-4
当ω一定时,静摩擦力正比于物体的质量和做圆周运动的半径,因mA=2mC,rC=2rA,所以FA=FC＞FB,所以B选项正确.
物体的向心加速度与质量无关,其大小a==ω2r,在ω一定时,半径越大的物体向心加速度也越大,故A选项正确.
当物体刚要相对于盘滑动时,静摩擦力F达到最大值Fmax,由题设知Fmax=kmg,所以kmg=mω2r,由此可以求得物体刚要滑动时的临界角速度ωC=.
上式ωC=告诉我们:物体到圆心的距离越小,盘面越粗糙,k越大时,物体刚要开始相对滑动的角速度ωC越大.换句话说,接触面越粗糙,物体越靠近轴时,物体越不易相对滑动.本题中,k相同,即接触面的情况完全一样,越靠近圆盘边缘处的物体半径越大,ωC越小,越易滑动,所以C比A和B都先滑动,C选项正确.
ωC的大小与物体的质量无关,所以A、B同时滑动,D选项不正确.
点评：(1)解决物理问题切忌想当然地作出结论:“质量大的物体容易甩出去，质量小的物体不易相对盘滑动.”这是片面的，当然也是错误的.
(2)用代表例法分析问题是论证的技巧,如盘上的A、B、C三个物体运动的性质完全一样,不同的只是一些量的不同,没有必要逐一讨论,只要选一个为代表讨论就可以了.
(3)注意抓住临界状态进行分析.
答案:ABC
●变式练习
1.一辆卡车在丘陵地匀速行驶,地形如图6-8-5所示,由于轮胎太旧,途中爆胎,爆胎可能性最大的地段应是

图6-8-5
A.a处 B.b处
C.c处 D.d处
答案：D
2.在水平铁路转弯处,往往使外轨略高于内轨,这是为了
A.减轻火车轮子挤压外轨
B.减轻火车轮子挤压内轨
C.使火车车身倾斜,提供转弯所需向心力
D.限制火车向外脱轨
答案：ACD
3.如图6-8-6所示,在盛满水的试管中装有一个小蜡块,当用手握住A端让试管在竖直平面内左右快速摆动时,关于蜡块的运动,以下说法正确的是

图6-8-6
A.与试管保持相对静止
B.向B端运动,一直到达B端
C.向A端运动,一直到达A端
D.无法确定
答案：C
4.有一种大型游戏器械,它是一个圆筒形大容器,筒壁竖直,游客进入容器后靠筒壁站立,当圆筒开始转动,转速加快到一定程度时,突然地板塌落,游客发现自己没有落下去,这是因为
A.游客受到的筒壁的作用力垂直于筒壁
B.游客处于失重状态
C.游客受到的摩擦力等于重力
D.游客随着转速的增大有沿壁向上滑动的趋势
答案：AC
5.童非,江西人,中国著名体操运动员,首次在单杠项目上实现了“单臂大回环”：用一只手抓住单杠，伸展身体.以单杠为轴做圆周运动.假设童非的质量为65 kg,那么,在完成“单臂大回环”的过程中，童非的单臂承受的最大拉力为_____.(g取10 m/s2,转动过程中最大角速度是6 rad/s)
答案：3×103 N
6.一颗人造地球卫星在稀薄的大气层中运行,试分析将会发生的现象.
答案：卫星做的运动是到地心的距离不断减小的变速曲线运动
7.图6-8-7所示为工厂中的行车示意图,设钢丝绳长3 m,用它吊着质量为2.7 t的铸件,行车以2 m/s的速度匀速行驶.当行车突然刹车停止时,钢丝绳受到的拉力为多少?

图6-8-7
答案：3.06×104 N
8.将来人类将离开地球到宇宙中去生活,可以设计如图6-8-8所示的宇宙村.它是一个圆形的密封建筑,人们生活在圆环的边上.为了使人们在其中生活不至于有失重感,可以让它旋转.设这个建筑物的直径为200 m,那么,当它绕其中心轴转动的转速为多少时,人类感觉到像生活在地球上一样(承受10 m/s2的加速度)?如果转速超过了上述值,人们将有怎样的感觉?

图6-8-8
答案：0.05 r/s,有超重的感觉.

●学力测评
基础部分
1.由上海飞往美国洛杉矶的飞机在飞越太平洋上空的过程中,如果保持飞行速度的大小和距离海平面的高度均不变,则以下说法中正确的是
A.飞机做的是匀速直线运动
B.飞机上的乘客对座椅的压力略大于地球对乘客的引力
C.飞机上的乘客对座椅的压力略小于地球对乘客的引力
D.飞机上的乘客对座椅的压力为零
答案：C
2.从同一高度分别以v0和2v0的速度同时水平抛出两块质量不同的石子,下面说法正确 的是
A.速度小的石子先落地
B.质量大的石子先落地
C.速度为2v0的石子的水平位移是速度为v0的石子水平位移的2倍
D.题中未给出具体数据,无法判断
答案：C
3.在研究平抛运动的实验中,某同学只在竖直板面上记下了重垂线y的方向,但忘了记下平抛的初位置,在坐标纸上描出了一段曲线的轨迹,如图6-1所示.现在曲线上取A、B两点,量出它们到y轴的距离,AA′=x1,BB′=x2,以及AB的竖直距离h,用这些可以求得小球平抛时初速度为_____.

图6-1
答案：

4.一种叫做“魔盘”的娱乐设施.“魔盘”转动时,盘上的人都可以随盘一起转动,而不至于被甩开.当盘的转速逐渐增大时,盘上的人便逐渐向边缘滑去,离转动中心越远的人,这种滑动的趋势越厉害.设“魔盘”的转速为6 r/min,一个体重为30 kg的小孩坐在距轴心1 m处(盘半径大于1 m)随盘一起转动(没有滑动).这个小孩受到的向心力有多大?这个向心力是什么力提供的?
答案：11.8 N 由静摩擦力提供
5.在双人花样滑冰运动中,我们有时会看到女运动员被男运动员拉着悬空做圆锥摆运动的精彩场面,如果女运动员做圆锥摆运动时和竖直方向的夹角约为45°,那么女运动员所受到的拉力估计是她所受重力的多少倍?若女运动员做圆周运动的半径是1.5 m,那么她转动的周期是多少?(g=10 m/s2)
迁移应用部分
答案：1.4 2.52 s
6.人站在楼上水平抛出一小球,球离手时速度为v0,落地时速度为vt,忽略空气阻力,图6-2中能正确表示在相同时间内速度矢量变化情况的是

图6-2
答案：C
7.一物体由静止开始下落一小段时间后突然受一恒定水平风力的影响,但着地前一小段时间风突然停止.试画出其运动轨迹的形状.
答案：略
8.表演“水流星”节目，如图6-3所示,拴杯子的绳子长为l,绳子能够承受的最大拉力是杯子和杯内水重力的8倍.要使绳子不断,节目获得成功,则杯子通过最高点时速度的最小值为_____,通过最低点时速度的最大值为_____.

图6-3
答案：
9.一个圆盘边缘系一根细绳,绳的下端拴一个质量为m的小球,圆盘的半径为r,绳长为L,圆盘匀速转动时小球随着圆盘一起转动,并且绳与竖直方向成θ角,如图6-4所示.求圆盘的转速是多大?

图6-4
答案：
10.如图6-5所示,用喷水枪喷射出一股水流,改变水流喷出时的初速度的大小和方向(即喷射角),探究斜抛运动的射程和射高与哪些因素有关.

图6-5 研究喷水枪喷射出的水流的射程
请根据实验结果讨论:
(1)当初速度一定时,喷射角为多大时,射程最远?
(2)要获得同样的射程,可以有几个不同的喷射角?你能找出其中的规律吗?
请说出你的研究结论.
答案：.(1)喷射角等于45°时,射程最大
(2)同样的射程有两个不同的喷射角,这两个角之和等于90°


［知识应用自测］
思路导引
1.一汽车通过拱形桥顶点时速度为10 m/s，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为（ ）
A.15 m/s B.20 m/s
C.25 m/s D.30 m/s
解析：当N=G时，因为G－N=m，所以G=m
当N=0时，G=m，所以v′=2v=20 m/s.
答案：B
←向心力公式的应用.
2.铁路转弯处的圆弧半径为R，内侧和外侧的高度差为h，L为两轨间的距离，且L>h.如果列车转弯速率大于，则（ ）
A.外侧铁轨与轮缘间产生挤压
B.铁轨与轮缘间无挤压
C.内侧铁轨与轮缘间产生挤压
D.内外铁轨与轮缘间均有挤压
解析：当v=时，铁轨与轮缘间无挤压；当v>时，火车需要更大的向心力，所以挤压外轨.
答案：A
←考查对火车转弯问题的理解.
3.如图6－8－17所示，小球用长为L的细绳悬于O点，使之在竖直平面内做圆周运动，过最低点时速度为v.则小球在最低点时，细绳的张力大小为 .（小球质量为m）

图6－8－17
解析：设绳子张力为F，则F－mg=m，所以F=mg+.
答案：mg+m
←理解最低点处向心力的来源.
4.长L=0.5 m、质量可忽略的杆，其一端固定于O点，另一端连有质量m=2 kg的小球，它绕O点做竖直平面内的圆周运动，当通过最高点时，如图6－8－18所示.求下列情况下球所受到的力（计算出大小，并说明是拉力还是支持力）.

图6－8－18
（1）当v=1 m/s时，大小为 N，是 力.
解析：设杆对球的作用力为F，方向向下，则mg+F=m，所以
F=－16 N，所以杆对球的作用力向上，且为支持力.
答案：16 支持
（2）当v=4 m/s时，大小为 N，是 力.
解析：F=44 N，为拉力.
答案：44 拉
←掌握有支承物的物体过最高点的条件及分析向心力的来源.
5.质量为m的小球，用一条绳子系在竖直平面内做圆周运动，小球到达最高点时的速度为v，到达最低点时的速变为，则两位置处绳子所受的张力之差是（ ）
A.6mg B.5mg
C.4mg D.2mg
解析：最高点mg+F1=m，最低点F2－mg=，所以F2－F1=6mg.
答案：A
←向心力公式和机械能守恒定律的综合应用.
6.小球以水平速度v进入一个水平放置的光滑的螺旋形轨道，轨道半径逐渐减小，则（ ）
A.球的向心加速度不断增大
B.球的角速度不断增大
C.球对轨道的压力不断增大
D.小球运动的周期不断增大
解析：a==ω2r=（）2r，所以当r减小时，v不变，a增大，ω增大，T减小.对轨道的压力F=m，所以F增大.
答案：ABC
←考查对向心力、向心加速度、周期等公式的理解与掌握.
7.如图6－8－19所示，光滑的圆弧轨道与光滑的水平轨道在B点相接，圆弧半径为R，质量为m的小球以速度v匀速向B点滚去，当滚上圆弧轨道C点后，又沿圆弧经B点回到A点.设小球由A到C经过B点时，对轨道压力为F1，由C回到A经过B时，对轨道压力为F2，则（ ）

图6－8－19
A.F1>F2 B.F1=F2
C.F1 解析：第一次到达B点时，运动状态要改变，可看作圆周运动的瞬间，所以F1－mg=m.第二次回到B点后将做匀速直线运动，所以此时F2－mg=0，符合平衡条件，所以F1>F2.
答案：A
←向心力公式和机械能守恒定律的综合应用.
8.如图6－8－20所示，汽车在倾斜的弯道上拐弯，弯道的倾角为θ，半径为r，则汽车完全不靠摩擦力转弯的速率是 .

图6－8－20
解析：汽车靠地面支持力沿水平方向的分力提供向心力，有mgtanθ=m所以v=.
答案：
←分析向心力的来源.
9.如图6－8－21所示，质量为m的小球用长为l的细绳悬于光滑的斜面上的O点，小球在这个倾角为θ的斜面内做圆周运动.若小球在最高点和最低点的速度分别是v1和v2，则绳子在这两个位置时的张力大小分别是多大？

图6－8－21
解析：最高点：分解重力沿斜面的分力为mgsinθ，向心力向上：mg
sinθ+T1=m，所以T1=m－mgsinθ.最低点：T2－mgsinθ=m，所以T2=m+mgsinθ.
答案：最高点：T1=m－mgsinθ 最低点：T2=m+mgsinθ
←将水平和竖直面内的圆周运动扩展到一般的斜面上的情况.