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高中物理人教版 (新课标)必修26.向心力导学案
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这是一份高中物理人教版 (新课标)必修26.向心力导学案，共14页。
7.向心力
［教材习题研讨］
方法点拨
1.解析：此题中暗含的条件是：地球的公转周期T=365天.因此，太阳对地球的引力等于地球的向心力
Fn=mr=6.0×1024××1.5×1011N=3.6×1022N.
答案：3.6×1022N
太阳对地球的引力就是地球公转的向心力.
2.解析：如图6－7－6所示，对球受力分析：
可见，向心力是重力和支持力的合力提供的.
图6－7－6
答案：由重力、支持力的合力（等于支持力在水平方向的分力）提供的
受力分析，找合力，即为向心力来源.
3.解析：（1）向心力的大小：F=mrω2=0.10×0.10×42 N=0.16 N.
（2）小物体随圆盘一起做匀速圆周运动，在圆周切线方向上，速度大小不变，因此切线方向上小物体没有相对圆盘的运动趋势；而小物体有指向圆心的加速度，所以合外力方向必指向圆心.小物体水平方向仅受静摩擦力，故向心力只能是静摩擦力.
答：（1）0.16N
（2）向心力等于圆盘对物体的静摩擦力，指向圆心
首先对物体进行受力分析，弄清有哪些力，然后由匀速圆周运动的合外力即为向心力这一点出发进行判断.
4.解析：如图6－7－7所示，小球由一定高度处摆下，摆到最低点时速度v一定.当细绳与钉子相碰后，球将以钉子A为圆心开始做圆周运动，绳的拉力T和重力G充当向心力.在最低点，有
T－G=m
T=G+m
图6－7－7
可见，钉子位置越靠近球时，r越小，而拉力T就越大，故绳就越容易断.
答案：见解析
首先要理解题目讨论的是拉力与圆周运动的半径之间的关系，然后利用向心力公式推导出两者的函数关系式，就可以分析了.
5.解析：汽车转弯时，做圆周运动，因此有指向圆心的向心加速度；同时，线速度逐渐减小，说明还存在与线速度方向相反的切向加速度，如图6－7－8所示.两者的矢量和即为合加速度的方向，也就是合力的方向.
图6－7－8
答案：C
利用加速度的方向来判断合力的方向.因为本题中加速度的方向很容易确定.
［教材优化全析］
（一）向心力
1.定义：做匀速圆周运动的物体受到指向圆心的合外力作用，这个合外力叫做向心力.
2.方向：向心力的方向时刻指向圆心.
做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，根据牛顿第二定律，这个加速度一定是由于它受到了指向圆心的合外力.
3.公式
全析提示
向心力是变力.虽然向心力的大小不变，但其方向时刻改变.因此，匀速圆周运动是在变力作用下的曲线运动.
根据牛顿第二定律F合=ma，把向心加速度的公式代入可得：Fn=man
=m=mrω2=mr=m4π2f2r=mvω
会根据已知条件灵活选用这些表达式.
思考：根据公式Fn=m和Fn=mω2r，物体做匀速圆周运动时，当半径比较大的时候，向心力比较大还是比较小？
由公式y=kx知，只有当k为定值时，才有y与x成正比.同理，在公式Fn=m（质量m不变）中，当v一定时，Fn与r成反比；在公式Fn=mω2r中，当ω一定时，Fn与r成正比.因此，物体做匀速圆周运动时，向心力变大还是变小，不能只根据半径的变化来判断.
要点提炼
向心力和向心加速度与半径成正比还是成反比，要看条件才能确定.
思维拓展
4.向心力的作用效果
向心力总是指向圆心，而线速度是沿圆周的切线方向，故向心力始终与线速度垂直.所以向心力的作用效果只是改变物体速度的方向，而不改变速度的大小.
这和直线运动中的作用效果不同：在直线运动中，合外力的作用效果是改变速度的大小和方向.
5.向心力的来源：
向心力是从力的作用效果命名的.凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力.它可以是重力、弹力等各种性质的力，也可以是它们的合力，还可以是某个力的分力.
当物体做匀速圆周运动时，合外力就是向心力；当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力就是向心力.
几个特例：
a.“向心力”可能是重力（万有引力）提供，如图6－7－1（a）所示.人造卫星绕地球做匀速圆周运动，它受的向心力是卫星的万有引力.
b.“向心力”可能是弹力，如图6－7－1（b）所示.物体在光滑平面上，在绳的拉力作用下做匀速圆周运动，拉力（弹性力）提供向心力.
c.“向心力”可能是摩擦力，如图6－7－1（c）所示.物体随转盘做匀速圆周运动，摩擦力提供向心力.
图6－7－1
要点提炼
重力、弹力、摩擦力是从力的性质角度来命名的，而向心力是按作用效果来命名的.因此，对物体受力分析时，不要想当然地认为物体还要受到一个向心力的作用.
d.“向心力”可能是重力、弹力的合力，沿半径方向的分力，如图6－7－1（d）所示.摆球做变速圆周运动，摆线的拉力与重力在摆线方向的分力共同提供向心力.
（二）变速圆周运动和一般曲线运动
1.变速圆周运动中的向心力：
（1）做变速圆周运动的物体，其速度大小发生变化，则向心加速度和向心力都会相应地发生变化.
图6－7－2表示做圆周运动的沙袋正在加速的情况.O是沙袋运动轨迹的圆心，F是绳对沙袋的拉力.根据F产生的效果，可以把F分解为两个相互垂直的分力：跟圆周相切的分力Fτ和指向圆心方向的分力Fn.Fτ产生圆周切线方向的加速度，简称为切向加速度.切向加速度是与物体的速度方向一致的，它改变了物体速度的大小.Fn产生指向圆心的加速度，这就是向心加速度，它始终与速度方向垂直，其表现就是改变了速度的方向.仅有向心加速度的运动是匀速圆周运动，同时具有向心加速度和切向加速度的圆周运动就是变速圆周运动.
图6－7－2
全析提示
只有在匀速圆周运动中，合外力才是向心力，合外力的方向才指向圆心（这是做匀速圆周运动的条件）.
（2）向心力和向心加速度的瞬时性
在向心力和向心加速度的公式中，F、a、v、ω分别指做匀速圆周运动物体某一时刻或通过某位置时的向心力的大小、向心加速度大小及线速度和角速度大小.公式中r则为圆半径.
物体做变速圆周运动时，向心力和向心加速度的大小也是变化的，以上有关向心力和向心加速度的公式虽然是从匀速圆周运动中得出的，但它们对变速圆周运动仍然适用.应用时要注意F、a、ω、v必须是同一时刻的瞬时值.
3.处理一般曲线运动的方法：
如图6－7－3所示，运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，可以称为一般曲线运动.尽管这时曲线各个地方的弯曲程度不一样，但在研究时，可以把这条曲线分割为许多极短的小段，每一段都可以看作一小段圆弧.这些圆弧的弯曲程度不一样，表明它们具有不同的半径.注意到这点区别之后，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法进行处理了.
图6－7－3
在变速圆周运动中，求物体在某一点受到的向心力时，应该使用该点的瞬时速度.
思考：我们知道，力是改变速度的原因，那么，什么力只改变速度大小？什么力只改变速度方向？什么力既改变速度大小又改变速度方向？
根据变速直线运动的知识，当物体所受外力的方向跟运动方向相同，物体做加速直线运动，当外力的方向跟运动相反，物体做减速直线运动.即当物体所受的外力方向跟运动方向在同一直线上时，外力只改变速度大小而不改变速度方向.
根据匀速圆周运动的知识，做匀速圆周运动的物体所受的向心力只改变了物体速度的方向（其速度大小不变），而向心力总跟速度方向垂直，由此推知，如果物体所受的外力跟速度方向垂直，外力只改变速度的方向而不改变速度的大小.
如果物体所受的外力既不跟速度方向垂直，也不跟速度方向在同一直线上，该外力不仅改变速度大小，也改变速度方向.例如，在平抛运动中，物体所受的重力不仅使速度不断增大，也使速度方向不断变化.对于这种情况，我们可以把物体所受的外力分解为垂直于速度方向的分力F⊥和跟速度方向在同一直线上的分力F∥，其中F⊥只改变速度方向，F∥只改变速度大小.
在这里对前面学习的几种运动形式的受力情况、运动情况进行了分析比较，可以使我们对力改变速度的作用效果有了更为深入、细致的了解，对这一部分学习内容起了总结和巩固的作用.
7.向心力
［学习目标导航］
1.知道什么是向心力，理解它是一种效果力.
2.理解公式Fn=m和Fn=mrω2的确切含义，并能用来进行计算.
3.知道变速圆周运动中向心力是合外力的一个分力，知道合外力的作用效果.
4.培养理论联系实际的能力和动手实践的能力.
学习提示
本节重点是掌握向心力公式和理解向心力是一种效果力，难点是理解变速圆周运动中合外力、向心力的作用.
［自主学习互动］
1.向心加速度总是指向 ，公式为a= = = =
= .
答案：圆心 ω2r r 4π2f2r vω
2.向心加速度是描述 的物理量，它只改变线速度的 ，不改变线速度的 .
答案：线速度方向变化快慢 方向 大小
3.对于向心加速度公式，当线速度一定时，向心加速度与 成反比；当 一定时，向心加速度与半径成正比.
答案：半径 角速度
知识链接
向心力产生向心加速度.把向心加速度的表达式代入牛顿第二定律即可得向心力的表达式，并可分析向心力的意义.
●规律总结
关于匀速圆周运动的基本知识
1.向心力
(1)定义:做圆周运动的物体所受到的沿着半径指向圆心的合力,叫做向心力.
(2)向心力的特点:方向时刻在变化,总是与线速度的方向垂直.在匀速圆周运动中,向心力大小不变.向心力是变力,是一个按效果命名的力.
(3)向心力的大小:由实验验证知,向心力的大小与物体的质量有关,与物体转动的角速度和半径有关.精确的实验证明,做匀速圆周运动的物体所受的向心力与物体质量成正比、与半径成正比、与角速度的平方成正比.向心力公式是:
F=mω2r=m=m(2πf)2r=.
(4)向心力是产生向心加速度的原因,向心力的方向时刻在变化,向心加速度的方向也随之变化,所以说匀速圆周运动是变加速运动.
2.对向心力公式的理解
向心力公式F向=,其意义是:质量为m的物体在半径为r的圆周上以速率v做匀速圆周运动所需要的合外力(向心力)大小是.同样的道理,F向=mω2r,其意义是:质量为m的物体在半径为r的圆周上以角速度ω做匀速圆周运动需要的合外力是mω2r.
如果物体所受的合力大小不满足或mω2r等,方向不总是垂直于线速度的方向,物体就会偏离圆轨道做一般的曲线运动.
3.对于向心力的来源
向心力是做圆周运动的物体受到的沿着半径指向圆心的力,它可以由某一个力单独承担,也可以是几个力的合力,还可以是物体受到的合外力在沿半径指向圆心方向上的分量.例如随盘一起转动的物体受到的向心力就是物体受到的盘给予的静摩擦力.卫星绕地心做匀速圆周运动的向心力,就是地球对卫星的万有引力(暂且理解为物体受到的重力).小球在细线的约束下,在竖直面内做圆周运动,某时刻小球受到的向心力等于线的拉力与重力在半径方向的分量的合力,即F向=F-mgcosα,如图6-7-11中(a)、(b)、(c)所示.
图6-7-11
4.解与匀速圆周运动有关的问题的方法和步骤
(1)要从物体做曲线运动的条件入手，理解匀速圆周运动.如匀速圆周运动是曲线运动,物体所受合力与速度方向一定不共线,合外力没有切线方向上的分量,一定与速度方向垂直.
(2)物理量之间的关系可以通过实验方法建立,控制变量法可以简化关系的建立.例如:控制做匀速圆周运动的物体的角速度和半径,研究物体所受向心力与物体质量之间的关 系等.
(3)解决匀速圆周运动的方法,就是解决动力学问题的一般方法,其解决问题的步骤也是解决动力学问题的步骤,但要注意灵活运用匀速圆周运动的一些运动学规律,同时在解题的过程中要弄清匀速圆周运动问题的轨道平面、圆心和半径等.
7.向心力
●合作讨论
1.物体做匀速圆周运动的条件是什么?如果说“物体受到的合外力总是跟物体运动的速度垂直时，物体就做匀速圆周运动”，对吗？试说明对或者不对的原因.
我的思路:从物体做曲线运动的条件及切向力与法向力的作用效果着手分析,并把匀速圆周运动的特点(如线速度大小不变,线速度方向变化快慢均匀)充分考虑在内,可以获得结论.
上述思路概括起来说就是,从物体运动的原因和运动的特点上分析物体做某种运动的 条件.
2.匀速圆周运动与变速圆周运动的区别与联系分别是什么?
我的思路: (1)比较各运动学量:线速度、角速度、向心加速度.
(2)比较受力情况:切向力、法向力和合力.
(3)比较解决这两种运动所应用的规律.
●思维过程
研究问题的方法与技巧
1.自觉地将牛顿第二定律从直线运动迁移到圆周运动中去,研究这种运动的原因和条件.牛顿第二定律是一条普遍适用于经典动力学的瞬时作用规律.
2.将运动合成与分解的方法结合力的独立作用原理运用到非匀速圆周运动的曲线运动中来.将其分解为切向和法向进行研究,并将法向运动在小范围内视为圆周运动.
3.验证向心力公式Fn=的方法:①创设匀速圆周运动的情景;②设计测量的具体方法;③测量并计算物体所受的合力;④测量并计算物体做匀速圆周运动所需要的向心力;⑤将F合与进行比较.
4.解决圆周运动问题的方法步骤
(1)明确研究对象并对其受力分析.
(2)明确圆周运动的轨迹、半径及圆心位置,进一步求出物体所受的合力或向心力.
(3)由牛顿第二定律和圆周运动的运动学公式列方程.
(4)求解或分析讨论.
关于匀速圆周运动条件的分析方法
(1)分析匀速圆周运动的各运动学量的特点及变化情况.
(2)根据牛顿第二定律分析不同方向的力的作用效果.
(3)将初始条件(物体运动速度)和受力情况相结合概括出物体做匀速圆周运动的条件.
【例1】 关于向心力,以下说法中不正确的是
A.是除物体所受重力、弹力以及摩擦力以外的一种新的力
B.向心力就是做圆周运动的物体所受的合力
C.向心力是线速度变化的原因
D.只要物体受到向心力的作用,物体就做匀速圆周运动
思路:理解向心力的定义、作用效果,弄清向心力的来源和物体做匀速圆周运动的条件,然后与选项加以比较可作出判断.
答案:ABD
【例2】 试设计一个实验,探索物体做匀速圆周运动时所需要的向心力与哪些因素有关.要求:写出实验的方法.
思路:(1)设计一个可以方便地改变实验变量的匀速圆周运动情景,例如,与匀速圆周运动相关的物理量(质量、半径、线速度等)在实验过程中可以取不同的数值.
(2)采用控制变量法实验,让其中的某几个变量保持不变,研究物体所受合力与其他量的关系.
(3)将在不同情况下的研究结果加以比较,综合得出结论.
答案:匀速圆周运动的物体所需要的向心力与物体的质量、线速度和半径等因素有关.
●新题解答
【例3】 如图6-7-1所示,一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面,圆锥筒固定不动,有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动.则下列说法正确的是
图6-7-1
A.球A的线速度必定大于球B的线速度
B.球A的角速度必定小于球B的角速度
C.球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D.球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
解析:两球均贴着圆锥筒的内壁,在水平面内做匀速圆周运动,它们均受到重力和筒壁对它的弹力FN的作用,其合力必定在水平面内时刻指向圆心,如图6-7-2所示.由图可知,筒壁对球的弹力FN=,对于A、B两球因质量相等,θ角也相等,所以A、B两球受到筒壁的弹力大小相等,由牛顿第三定律知,A、B两球对筒壁的压力大小相等,D选项不正确.
图6-7-2
对球运用牛顿第二定律得mgcotθ=m=mω2r=m,球的线速度v=,角速度ω=,周期T=2π.
由此可见,球的线速度随轨道半径的增大而增大,所以A球的线速度必定大于B球的线速度,A选项正确.球的角速度随半径的增大而减小,周期随半径的增大而增大,所以A球的角速度小于B球的角速度,A球的周期大于B球的周期,A球的运动频率小于B球的运动频率,B选项正确,C选项不正确.
点评：(1)A、B两球的向心加速度、线速度、角速度、周期、频率等物理量与球的质量无关,在相同的g、θ的情况下仅由轨道半径决定.
(2)由解题过程可见,圆周运动问题属于一般的动力学问题,无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况,或者由物体的运动情况求解物体的受力情况.解题的思路就是,以加速度为纽带,运用牛顿第二定律和运动学公式列方程,求解并讨论.学习者应该把已经掌握的解决动力学问题的方法迁移到解决圆周运动的问题中.
答案:AB
【例4】 长为L的细线,拴一质量为m的小球,一端固定于O点.让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动),如图6-7-3所示.当摆线L与竖直方向的夹角是α时，求:
(1)线的拉力F;
(2)小球运动的线速度的大小;
(3)小球运动的角速度及周期.
图6-7-3 图6-7-4
解析:做匀速圆周运动的小球受力如图6-7-4所示,小球受重力mg和绳子的拉力F.
因为小球在水平面内做匀速圆周运动,所以小球受到的合力指向圆心O′,且是水平 方向.
由平行四边形法则得小球受到的合力大小为mgtanα,线对小球的拉力大小为:F=mg/cosα
由牛顿第二定律得:mgtanα=
由几何关系得r=Lsinα
所以,小球做匀速圆周运动线速度的大小为
v=
小球运动的角速度
ω===
小球运动的周期T==2π.
点评：在解决匀速圆周运动的过程中,弄清物体圆形轨道所在的平面,明确圆心和半径是一个关键环节.同时不可忽视对解题结果进行动态分析,明确各变量之间的制约关系、变化趋势以及结果涉及物理量的决定因素.
答案:(1)F=mg/cosα
(2)v=
(3)ω= T=2π
［典型例题探究］
规律发现
【例1】如图6－7－4所示，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动.若圆筒和物体以更大的角速度做匀速转动，下列说法正确的是…（ ）
A.物体所受弹力增大，摩擦力也增大
B.物体所受弹力增大，摩擦力减小
C.物体所受弹力减小，摩擦力减小
D.物体所受弹力增大，摩擦力不变
图6－7－4
解析：物体在竖直方向上受重力G与摩擦力F，是一对平衡力，在向心力方向上受弹力FN.根据向心力公式，可知FN=mω2r，当ω增大时，FN增大，所以应选D.
答案：D
【例2】如图6－7－5所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，静摩擦因数均为μ，A的质量是2m，B和C的质量均为m，A、B离轴为R，C离轴为2R.则当圆台旋转时，若A、B、C均未滑动，则（ ）
图6－7－5
A.C的向心加速度最大
B.B的摩擦力最小
C.当圆台转速增大时，B比A先滑动
D.圆台转速增大时，C比B先滑动
解析：三个物体在圆台上，以相同的角速度做圆周运动，其向心力是由f静提供的，F=ma=mω2R，静摩擦力的大小由m、ω、R三者决定，其中ω相同.
而RA=RC，mA=2mC，所以FA=FC
mB=mC，RB
当圆台转速增大时，f静都随之增大，当增大至刚好要滑动时，达到最大静摩擦.
μmg=mω2R，而ωA=ωB，RA=RB，mA=2mB
FA=2FB C错.
而f maxA=2f maxB，所以B不比A先滑动
RC=2RB mB=mC 而FC>FB 而f maxC=f maxB
所以C比B先滑动，故选项A、B、D正确.
答案：ABD
用牛顿第二定律解答有关圆周运动问题的一般步骤：
1.明确研究对象；
2.确定研究对象的运动轨道平面和圆心的位置；
3.按通常方法全面分析运动物体的受力情况，从中确定是哪些力和向心力有关.注意在分析受力时不要多出一个向心力来；
4.建立正交坐标（以指向圆心方向为x轴的正方向），将力正交分解到坐标轴方向；
5.根据牛顿第二定律或力的平衡条件分别列方程求解.
【例3】用长L=0.6 m的绳系着装有m=0.5 kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”.求：
（1）最高点水不流出的最小速度为多少？
解析：以水为研究对象mg=m ①
由式①解得v0==m/s=m/s≈2.42 m/s
答案：2.42 m/s
（2）若过最高点时速度为3 m/s，此时水对桶底的压力多大？
解析：v=3 m/s>v0，水不会流出，设桶底对水的压力为FN，则由牛顿第二定律有mg+FN=m ②
由式②解得
FN=m－mg=0.5×（－9.8）N=2.6N
根据牛顿第三定律，FN′=－FN
所以水对桶底的压力FN′=2.6N，方向竖直向上.
答案：2.6N
无支承物的物体在竖直面内做圆周运动，过最高点的临界条件是：仅有重力充当向心力.充分利用好这个条件是解决此类问题的关键.
●变式练习
1.一圆盘可绕通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动,在圆盘上放置一小木块A,它随圆盘一起做匀速圆周运动(图6-7-5).则关于木块A的受力,下列说法正确的是
图6-7-5
A.木块A受重力、支持力和向心力
B.木块A受重力、支持力和静摩擦力,静摩擦力的方向指向圆心
C.木块A受重力、支持力和静摩擦力,静摩擦力的方向与木块运动方向相反
D.木块A受重力、支持力和静摩擦力,静摩擦力的方向与木块运动方向相同
答案：B
2.甲、乙两个物体都做匀速圆周运动,其质量之比为1∶2,转动半径之比为1∶2,在相同时间里甲转过60°角，乙转过45°角.则它们的向心力之比为
A.1∶4 B.2∶3
C.4∶9 D.9∶16
答案：C
3.如图6-7-6所示的装置中，两球的质量都为m，且绕竖直轴做同样的圆锥摆运动，木块的质量为2m，则木块的运动情况是
图6-7-6
A.向上运动 B.向下运动
C.静止不动 D.上下振动
答案：C
4.图6-7-7是用以说明向心力和质量、半径之间关系的仪器,球P和Q可以在光滑杆上无摩擦地滑动,两球之间用一条轻绳连接,mP=2mQ.当整个装置以ω匀速旋转时,两球离转轴的距离保持不变,则此时
图6-7-7
A.两球受到的向心力大小相等
B.P球受到的向心力大于Q球受到的向心力
C.rP一定等于
D.当ω增大时，P球将向外运动
答案：AC
5.如图6-7-8所示,质量为m的滑块与轨道间的动摩擦因数为μ,当滑块从A滑到B的过程中,受到的摩擦力的最大值为Fμ,则
图6-7-8
A.Fμ=μmg B.Fμ＜μmg
C.Fμ＞μmg D.无法确定Fμ的值
答案：C
6.质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点.当杆在光滑水平面上绕O点做匀速转动时,如图6-7-9所示,求杆的OA段及AB段对球的拉力之比是多少?
图6-7-9
答案：3∶2
7.如图6-7-10所示，在半径为R的半球形碗的光滑内表面上，一质量为m的小球以角速度ω在水平平面上做匀速圆周运动.则该水平面距离碗底的距离h=_____.
图6-7-10
答案：R-
［知识应用自测］
思路导引
1.关于向心力的说法中正确的是（ ）
A.物体受到向心力的作用才可能做圆周运动
B.向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的，但受力分析时应该画出
C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是其中某一种力或某几种力的合力
D.向心力只改变物体运动的方向，不改变物体运动的快慢
解析：向心力在受力分析时不画，B错.
答：ACD
←考查对向心力概念的理解.
2.如图6－7－9所示，在光滑的以角速度ω旋转的细杆上穿有质量分别为m和M的两球，两球用轻细线连接.若M>m，则（ ）
图6－7－9
A.当两球离轴距离相等时，两球相对杆不动
B.当两球离轴距离之比等于质量之比时，两球相对杆都不动
C.若转速为ω时，两球相对杆都不动，那么转速为2ω时两球也不动
D.若两球相对杆滑动，一定向同一方向，不会相向滑动
解析：由牛顿第三定律可知M、m间的作用力相等.即FM=Fm，FM=
M·ω2rM，Fm=m·ω2rm，所以若M、m不动，则rM∶rm=m∶M，所以A、B不对，C对（不动的条件与ω无关）.若相向滑动，无力提供向心力，D不对.
答案：CD
←向心力公式的应用.
3.如图6－7－10所示，一个内壁光滑的圆锥的轴线垂直于水平面，圆锥固定不动，两个质量相同的小球A、B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动.则（ ）
图6－7－10
A.球A的线速度必大于球B的线速度
B.球A的角速度必小于球B的角速度
C.球A的运动周期必小于球B的运动周期
D.球A对筒壁的压力必大于球B对筒壁的压力
解析：两球的受力情况完全相同，如图6－7－13所示，向心力F=mg
cotθ=m=mω2r
因为rA>rB，故vA>vB，ωA<ωB.
图6－7－13
答案：AB
←分析向心力、线速度、角速度的关系.
4.如图6－7－11所示，质量为m的滑块从半径为R的光滑固定的圆弧形轨道的a点滑到b点，下列说法中正确的是（ ）
图6－7－11
A.它所受的合外力的大小是恒定的
B.向心力大小逐渐增大
C.向心力逐渐减小
D.向心加速度逐渐增大
解析：因为m的速度v越来越大，又因为F向心=m，a向心=，所以F向心、a向心都越来越大.
答案：BD
←考查对向心力公式的理解与应用.
5.甲乙两球都做匀速圆周运动，甲球的质量是乙球的3倍，甲球在半径为25 cm的圆周上运动，乙球在半径为16 cm的圆周上运动.在1 min内，甲球转30转，乙球转75转.求甲球所受向心力与乙球所受向心力之比.
解析：设甲球所受的向心力为F1，乙球所受的向心力为F2.根据公式F=mrω2，甲乙两球向心力之比为==3××=.
答案：3∶4
←向心力公式的应用.
6.现在有一种叫做“魔盘”的娱乐设施（图6－7－12）.“魔盘”转动很慢时，盘上的人都可以随盘一起转动而不至于被甩开.当盘的转速逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，离转动中心越远的人，这种滑动的趋势越厉害.设“魔盘”转速为6转/分，一个体重为30 kg的小孩坐在距离轴心1 m处（盘半径大于1 m）随盘一起转动（没有滑动）.这个小孩受到的向心力有多大？这个向心力是由什么力提供的？
图6－7－12
解析：向心力的大小为：F=mrω2=mr（）2=30×1×（）2 N=11.8 N.
答案：11.8 N 由小孩与盘之间的静摩擦力提供
←分析向心力的来源.
7.太阳的质量是1.99×1030 kg，太阳离开银河系中心大约3万光年（1光年=9.46×1015 m），它以250 km/s的速率绕着银河系中心运动，太阳绕银河系中心运动的向心力等于多少？
解析：太阳绕银河系中心运动的向心力为：
F=m=1.99×1030×N=4.36×1020 N.
答案：4.36×1020 N
←向心力公式的应用.
8.在双人花样滑冰的运动中，我们有时会看到女运动员被男运动员拉着做圆锥摆运动的精彩场面.如果目测女运动员做圆锥摆运动时和竖直方向的夹角约为45°，那么她所受到的拉力估计有多少牛顿？
解析：花样滑冰女运动员做圆锥摆运动时，她受的重力和她所受拉力的合力提供向心力.由图6－7－14可以看出她受的拉力F==1.4G.即她受的拉力是她体重的1.4倍.
图6－7－14
答案：约为体重的1.4倍
←分析向心力来源及其应用.
7.向心力
［教材习题研讨］
方法点拨
1.解析：此题中暗含的条件是：地球的公转周期T=365天.因此，太阳对地球的引力等于地球的向心力
Fn=mr=6.0×1024××1.5×1011N=3.6×1022N.
答案：3.6×1022N
太阳对地球的引力就是地球公转的向心力.
2.解析：如图6－7－6所示，对球受力分析：
可见，向心力是重力和支持力的合力提供的.
图6－7－6
答案：由重力、支持力的合力（等于支持力在水平方向的分力）提供的
受力分析，找合力，即为向心力来源.
3.解析：（1）向心力的大小：F=mrω2=0.10×0.10×42 N=0.16 N.
（2）小物体随圆盘一起做匀速圆周运动，在圆周切线方向上，速度大小不变，因此切线方向上小物体没有相对圆盘的运动趋势；而小物体有指向圆心的加速度，所以合外力方向必指向圆心.小物体水平方向仅受静摩擦力，故向心力只能是静摩擦力.
答：（1）0.16N
（2）向心力等于圆盘对物体的静摩擦力，指向圆心
首先对物体进行受力分析，弄清有哪些力，然后由匀速圆周运动的合外力即为向心力这一点出发进行判断.
4.解析：如图6－7－7所示，小球由一定高度处摆下，摆到最低点时速度v一定.当细绳与钉子相碰后，球将以钉子A为圆心开始做圆周运动，绳的拉力T和重力G充当向心力.在最低点，有
T－G=m
T=G+m
图6－7－7
可见，钉子位置越靠近球时，r越小，而拉力T就越大，故绳就越容易断.
答案：见解析
首先要理解题目讨论的是拉力与圆周运动的半径之间的关系，然后利用向心力公式推导出两者的函数关系式，就可以分析了.
5.解析：汽车转弯时，做圆周运动，因此有指向圆心的向心加速度；同时，线速度逐渐减小，说明还存在与线速度方向相反的切向加速度，如图6－7－8所示.两者的矢量和即为合加速度的方向，也就是合力的方向.
图6－7－8
答案：C
利用加速度的方向来判断合力的方向.因为本题中加速度的方向很容易确定.
［教材优化全析］
（一）向心力
1.定义：做匀速圆周运动的物体受到指向圆心的合外力作用，这个合外力叫做向心力.
2.方向：向心力的方向时刻指向圆心.
做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，根据牛顿第二定律，这个加速度一定是由于它受到了指向圆心的合外力.
3.公式
全析提示
向心力是变力.虽然向心力的大小不变，但其方向时刻改变.因此，匀速圆周运动是在变力作用下的曲线运动.
根据牛顿第二定律F合=ma，把向心加速度的公式代入可得：Fn=man
=m=mrω2=mr=m4π2f2r=mvω
会根据已知条件灵活选用这些表达式.
思考：根据公式Fn=m和Fn=mω2r，物体做匀速圆周运动时，当半径比较大的时候，向心力比较大还是比较小？
由公式y=kx知，只有当k为定值时，才有y与x成正比.同理，在公式Fn=m（质量m不变）中，当v一定时，Fn与r成反比；在公式Fn=mω2r中，当ω一定时，Fn与r成正比.因此，物体做匀速圆周运动时，向心力变大还是变小，不能只根据半径的变化来判断.
要点提炼
向心力和向心加速度与半径成正比还是成反比，要看条件才能确定.
思维拓展
4.向心力的作用效果
向心力总是指向圆心，而线速度是沿圆周的切线方向，故向心力始终与线速度垂直.所以向心力的作用效果只是改变物体速度的方向，而不改变速度的大小.
这和直线运动中的作用效果不同：在直线运动中，合外力的作用效果是改变速度的大小和方向.
5.向心力的来源：
向心力是从力的作用效果命名的.凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力.它可以是重力、弹力等各种性质的力，也可以是它们的合力，还可以是某个力的分力.
当物体做匀速圆周运动时，合外力就是向心力；当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力就是向心力.
几个特例：
a.“向心力”可能是重力（万有引力）提供，如图6－7－1（a）所示.人造卫星绕地球做匀速圆周运动，它受的向心力是卫星的万有引力.
b.“向心力”可能是弹力，如图6－7－1（b）所示.物体在光滑平面上，在绳的拉力作用下做匀速圆周运动，拉力（弹性力）提供向心力.
c.“向心力”可能是摩擦力，如图6－7－1（c）所示.物体随转盘做匀速圆周运动，摩擦力提供向心力.
图6－7－1
要点提炼
重力、弹力、摩擦力是从力的性质角度来命名的，而向心力是按作用效果来命名的.因此，对物体受力分析时，不要想当然地认为物体还要受到一个向心力的作用.
d.“向心力”可能是重力、弹力的合力，沿半径方向的分力，如图6－7－1（d）所示.摆球做变速圆周运动，摆线的拉力与重力在摆线方向的分力共同提供向心力.
（二）变速圆周运动和一般曲线运动
1.变速圆周运动中的向心力：
（1）做变速圆周运动的物体，其速度大小发生变化，则向心加速度和向心力都会相应地发生变化.
图6－7－2表示做圆周运动的沙袋正在加速的情况.O是沙袋运动轨迹的圆心，F是绳对沙袋的拉力.根据F产生的效果，可以把F分解为两个相互垂直的分力：跟圆周相切的分力Fτ和指向圆心方向的分力Fn.Fτ产生圆周切线方向的加速度，简称为切向加速度.切向加速度是与物体的速度方向一致的，它改变了物体速度的大小.Fn产生指向圆心的加速度，这就是向心加速度，它始终与速度方向垂直，其表现就是改变了速度的方向.仅有向心加速度的运动是匀速圆周运动，同时具有向心加速度和切向加速度的圆周运动就是变速圆周运动.
图6－7－2
全析提示
只有在匀速圆周运动中，合外力才是向心力，合外力的方向才指向圆心（这是做匀速圆周运动的条件）.
（2）向心力和向心加速度的瞬时性
在向心力和向心加速度的公式中，F、a、v、ω分别指做匀速圆周运动物体某一时刻或通过某位置时的向心力的大小、向心加速度大小及线速度和角速度大小.公式中r则为圆半径.
物体做变速圆周运动时，向心力和向心加速度的大小也是变化的，以上有关向心力和向心加速度的公式虽然是从匀速圆周运动中得出的，但它们对变速圆周运动仍然适用.应用时要注意F、a、ω、v必须是同一时刻的瞬时值.
3.处理一般曲线运动的方法：
如图6－7－3所示，运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，可以称为一般曲线运动.尽管这时曲线各个地方的弯曲程度不一样，但在研究时，可以把这条曲线分割为许多极短的小段，每一段都可以看作一小段圆弧.这些圆弧的弯曲程度不一样，表明它们具有不同的半径.注意到这点区别之后，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法进行处理了.
图6－7－3
在变速圆周运动中，求物体在某一点受到的向心力时，应该使用该点的瞬时速度.
思考：我们知道，力是改变速度的原因，那么，什么力只改变速度大小？什么力只改变速度方向？什么力既改变速度大小又改变速度方向？
根据变速直线运动的知识，当物体所受外力的方向跟运动方向相同，物体做加速直线运动，当外力的方向跟运动相反，物体做减速直线运动.即当物体所受的外力方向跟运动方向在同一直线上时，外力只改变速度大小而不改变速度方向.
根据匀速圆周运动的知识，做匀速圆周运动的物体所受的向心力只改变了物体速度的方向（其速度大小不变），而向心力总跟速度方向垂直，由此推知，如果物体所受的外力跟速度方向垂直，外力只改变速度的方向而不改变速度的大小.
如果物体所受的外力既不跟速度方向垂直，也不跟速度方向在同一直线上，该外力不仅改变速度大小，也改变速度方向.例如，在平抛运动中，物体所受的重力不仅使速度不断增大，也使速度方向不断变化.对于这种情况，我们可以把物体所受的外力分解为垂直于速度方向的分力F⊥和跟速度方向在同一直线上的分力F∥，其中F⊥只改变速度方向，F∥只改变速度大小.
在这里对前面学习的几种运动形式的受力情况、运动情况进行了分析比较，可以使我们对力改变速度的作用效果有了更为深入、细致的了解，对这一部分学习内容起了总结和巩固的作用.
7.向心力
［学习目标导航］
1.知道什么是向心力，理解它是一种效果力.
2.理解公式Fn=m和Fn=mrω2的确切含义，并能用来进行计算.
3.知道变速圆周运动中向心力是合外力的一个分力，知道合外力的作用效果.
4.培养理论联系实际的能力和动手实践的能力.
学习提示
本节重点是掌握向心力公式和理解向心力是一种效果力，难点是理解变速圆周运动中合外力、向心力的作用.
［自主学习互动］
1.向心加速度总是指向 ，公式为a= = = =
= .
答案：圆心 ω2r r 4π2f2r vω
2.向心加速度是描述 的物理量，它只改变线速度的 ，不改变线速度的 .
答案：线速度方向变化快慢 方向 大小
3.对于向心加速度公式，当线速度一定时，向心加速度与 成反比；当 一定时，向心加速度与半径成正比.
答案：半径 角速度
知识链接
向心力产生向心加速度.把向心加速度的表达式代入牛顿第二定律即可得向心力的表达式，并可分析向心力的意义.
●规律总结
关于匀速圆周运动的基本知识
1.向心力
(1)定义:做圆周运动的物体所受到的沿着半径指向圆心的合力,叫做向心力.
(2)向心力的特点:方向时刻在变化,总是与线速度的方向垂直.在匀速圆周运动中,向心力大小不变.向心力是变力,是一个按效果命名的力.
(3)向心力的大小:由实验验证知,向心力的大小与物体的质量有关,与物体转动的角速度和半径有关.精确的实验证明,做匀速圆周运动的物体所受的向心力与物体质量成正比、与半径成正比、与角速度的平方成正比.向心力公式是:
F=mω2r=m=m(2πf)2r=.
(4)向心力是产生向心加速度的原因,向心力的方向时刻在变化,向心加速度的方向也随之变化,所以说匀速圆周运动是变加速运动.
2.对向心力公式的理解
向心力公式F向=,其意义是:质量为m的物体在半径为r的圆周上以速率v做匀速圆周运动所需要的合外力(向心力)大小是.同样的道理,F向=mω2r,其意义是:质量为m的物体在半径为r的圆周上以角速度ω做匀速圆周运动需要的合外力是mω2r.
如果物体所受的合力大小不满足或mω2r等,方向不总是垂直于线速度的方向,物体就会偏离圆轨道做一般的曲线运动.
3.对于向心力的来源
向心力是做圆周运动的物体受到的沿着半径指向圆心的力,它可以由某一个力单独承担,也可以是几个力的合力,还可以是物体受到的合外力在沿半径指向圆心方向上的分量.例如随盘一起转动的物体受到的向心力就是物体受到的盘给予的静摩擦力.卫星绕地心做匀速圆周运动的向心力,就是地球对卫星的万有引力(暂且理解为物体受到的重力).小球在细线的约束下,在竖直面内做圆周运动,某时刻小球受到的向心力等于线的拉力与重力在半径方向的分量的合力,即F向=F-mgcosα,如图6-7-11中(a)、(b)、(c)所示.
图6-7-11
4.解与匀速圆周运动有关的问题的方法和步骤
(1)要从物体做曲线运动的条件入手，理解匀速圆周运动.如匀速圆周运动是曲线运动,物体所受合力与速度方向一定不共线,合外力没有切线方向上的分量,一定与速度方向垂直.
(2)物理量之间的关系可以通过实验方法建立,控制变量法可以简化关系的建立.例如:控制做匀速圆周运动的物体的角速度和半径,研究物体所受向心力与物体质量之间的关 系等.
(3)解决匀速圆周运动的方法,就是解决动力学问题的一般方法,其解决问题的步骤也是解决动力学问题的步骤,但要注意灵活运用匀速圆周运动的一些运动学规律,同时在解题的过程中要弄清匀速圆周运动问题的轨道平面、圆心和半径等.
7.向心力
●合作讨论
1.物体做匀速圆周运动的条件是什么?如果说“物体受到的合外力总是跟物体运动的速度垂直时，物体就做匀速圆周运动”，对吗？试说明对或者不对的原因.
我的思路:从物体做曲线运动的条件及切向力与法向力的作用效果着手分析,并把匀速圆周运动的特点(如线速度大小不变,线速度方向变化快慢均匀)充分考虑在内,可以获得结论.
上述思路概括起来说就是,从物体运动的原因和运动的特点上分析物体做某种运动的 条件.
2.匀速圆周运动与变速圆周运动的区别与联系分别是什么?
我的思路: (1)比较各运动学量:线速度、角速度、向心加速度.
(2)比较受力情况:切向力、法向力和合力.
(3)比较解决这两种运动所应用的规律.
●思维过程
研究问题的方法与技巧
1.自觉地将牛顿第二定律从直线运动迁移到圆周运动中去,研究这种运动的原因和条件.牛顿第二定律是一条普遍适用于经典动力学的瞬时作用规律.
2.将运动合成与分解的方法结合力的独立作用原理运用到非匀速圆周运动的曲线运动中来.将其分解为切向和法向进行研究,并将法向运动在小范围内视为圆周运动.
3.验证向心力公式Fn=的方法:①创设匀速圆周运动的情景;②设计测量的具体方法;③测量并计算物体所受的合力;④测量并计算物体做匀速圆周运动所需要的向心力;⑤将F合与进行比较.
4.解决圆周运动问题的方法步骤
(1)明确研究对象并对其受力分析.
(2)明确圆周运动的轨迹、半径及圆心位置,进一步求出物体所受的合力或向心力.
(3)由牛顿第二定律和圆周运动的运动学公式列方程.
(4)求解或分析讨论.
关于匀速圆周运动条件的分析方法
(1)分析匀速圆周运动的各运动学量的特点及变化情况.
(2)根据牛顿第二定律分析不同方向的力的作用效果.
(3)将初始条件(物体运动速度)和受力情况相结合概括出物体做匀速圆周运动的条件.
【例1】 关于向心力,以下说法中不正确的是
A.是除物体所受重力、弹力以及摩擦力以外的一种新的力
B.向心力就是做圆周运动的物体所受的合力
C.向心力是线速度变化的原因
D.只要物体受到向心力的作用,物体就做匀速圆周运动
思路:理解向心力的定义、作用效果,弄清向心力的来源和物体做匀速圆周运动的条件,然后与选项加以比较可作出判断.
答案:ABD
【例2】 试设计一个实验,探索物体做匀速圆周运动时所需要的向心力与哪些因素有关.要求:写出实验的方法.
思路:(1)设计一个可以方便地改变实验变量的匀速圆周运动情景,例如,与匀速圆周运动相关的物理量(质量、半径、线速度等)在实验过程中可以取不同的数值.
(2)采用控制变量法实验,让其中的某几个变量保持不变,研究物体所受合力与其他量的关系.
(3)将在不同情况下的研究结果加以比较,综合得出结论.
答案:匀速圆周运动的物体所需要的向心力与物体的质量、线速度和半径等因素有关.
●新题解答
【例3】 如图6-7-1所示,一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面,圆锥筒固定不动,有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动.则下列说法正确的是
图6-7-1
A.球A的线速度必定大于球B的线速度
B.球A的角速度必定小于球B的角速度
C.球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D.球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
解析:两球均贴着圆锥筒的内壁,在水平面内做匀速圆周运动,它们均受到重力和筒壁对它的弹力FN的作用,其合力必定在水平面内时刻指向圆心,如图6-7-2所示.由图可知,筒壁对球的弹力FN=,对于A、B两球因质量相等,θ角也相等,所以A、B两球受到筒壁的弹力大小相等,由牛顿第三定律知,A、B两球对筒壁的压力大小相等,D选项不正确.
图6-7-2
对球运用牛顿第二定律得mgcotθ=m=mω2r=m,球的线速度v=,角速度ω=,周期T=2π.
由此可见,球的线速度随轨道半径的增大而增大,所以A球的线速度必定大于B球的线速度,A选项正确.球的角速度随半径的增大而减小,周期随半径的增大而增大,所以A球的角速度小于B球的角速度,A球的周期大于B球的周期,A球的运动频率小于B球的运动频率,B选项正确,C选项不正确.
点评：(1)A、B两球的向心加速度、线速度、角速度、周期、频率等物理量与球的质量无关,在相同的g、θ的情况下仅由轨道半径决定.
(2)由解题过程可见,圆周运动问题属于一般的动力学问题,无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况,或者由物体的运动情况求解物体的受力情况.解题的思路就是,以加速度为纽带,运用牛顿第二定律和运动学公式列方程,求解并讨论.学习者应该把已经掌握的解决动力学问题的方法迁移到解决圆周运动的问题中.
答案:AB
【例4】 长为L的细线,拴一质量为m的小球,一端固定于O点.让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动),如图6-7-3所示.当摆线L与竖直方向的夹角是α时，求:
(1)线的拉力F;
(2)小球运动的线速度的大小;
(3)小球运动的角速度及周期.
图6-7-3 图6-7-4
解析:做匀速圆周运动的小球受力如图6-7-4所示,小球受重力mg和绳子的拉力F.
因为小球在水平面内做匀速圆周运动,所以小球受到的合力指向圆心O′,且是水平 方向.
由平行四边形法则得小球受到的合力大小为mgtanα,线对小球的拉力大小为:F=mg/cosα
由牛顿第二定律得:mgtanα=
由几何关系得r=Lsinα
所以,小球做匀速圆周运动线速度的大小为
v=
小球运动的角速度
ω===
小球运动的周期T==2π.
点评：在解决匀速圆周运动的过程中,弄清物体圆形轨道所在的平面,明确圆心和半径是一个关键环节.同时不可忽视对解题结果进行动态分析,明确各变量之间的制约关系、变化趋势以及结果涉及物理量的决定因素.
答案:(1)F=mg/cosα
(2)v=
(3)ω= T=2π
［典型例题探究］
规律发现
【例1】如图6－7－4所示，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动.若圆筒和物体以更大的角速度做匀速转动，下列说法正确的是…（ ）
A.物体所受弹力增大，摩擦力也增大
B.物体所受弹力增大，摩擦力减小
C.物体所受弹力减小，摩擦力减小
D.物体所受弹力增大，摩擦力不变
图6－7－4
解析：物体在竖直方向上受重力G与摩擦力F，是一对平衡力，在向心力方向上受弹力FN.根据向心力公式，可知FN=mω2r，当ω增大时，FN增大，所以应选D.
答案：D
【例2】如图6－7－5所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，静摩擦因数均为μ，A的质量是2m，B和C的质量均为m，A、B离轴为R，C离轴为2R.则当圆台旋转时，若A、B、C均未滑动，则（ ）
图6－7－5
A.C的向心加速度最大
B.B的摩擦力最小
C.当圆台转速增大时，B比A先滑动
D.圆台转速增大时，C比B先滑动
解析：三个物体在圆台上，以相同的角速度做圆周运动，其向心力是由f静提供的，F=ma=mω2R，静摩擦力的大小由m、ω、R三者决定，其中ω相同.
而RA=RC，mA=2mC，所以FA=FC
mB=mC，RB
当圆台转速增大时，f静都随之增大，当增大至刚好要滑动时，达到最大静摩擦.
μmg=mω2R，而ωA=ωB，RA=RB，mA=2mB
FA=2FB C错.
而f maxA=2f maxB，所以B不比A先滑动
RC=2RB mB=mC 而FC>FB 而f maxC=f maxB
所以C比B先滑动，故选项A、B、D正确.
答案：ABD
用牛顿第二定律解答有关圆周运动问题的一般步骤：
1.明确研究对象；
2.确定研究对象的运动轨道平面和圆心的位置；
3.按通常方法全面分析运动物体的受力情况，从中确定是哪些力和向心力有关.注意在分析受力时不要多出一个向心力来；
4.建立正交坐标（以指向圆心方向为x轴的正方向），将力正交分解到坐标轴方向；
5.根据牛顿第二定律或力的平衡条件分别列方程求解.
【例3】用长L=0.6 m的绳系着装有m=0.5 kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”.求：
（1）最高点水不流出的最小速度为多少？
解析：以水为研究对象mg=m ①
由式①解得v0==m/s=m/s≈2.42 m/s
答案：2.42 m/s
（2）若过最高点时速度为3 m/s，此时水对桶底的压力多大？
解析：v=3 m/s>v0，水不会流出，设桶底对水的压力为FN，则由牛顿第二定律有mg+FN=m ②
由式②解得
FN=m－mg=0.5×（－9.8）N=2.6N
根据牛顿第三定律，FN′=－FN
所以水对桶底的压力FN′=2.6N，方向竖直向上.
答案：2.6N
无支承物的物体在竖直面内做圆周运动，过最高点的临界条件是：仅有重力充当向心力.充分利用好这个条件是解决此类问题的关键.
●变式练习
1.一圆盘可绕通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动,在圆盘上放置一小木块A,它随圆盘一起做匀速圆周运动(图6-7-5).则关于木块A的受力,下列说法正确的是
图6-7-5
A.木块A受重力、支持力和向心力
B.木块A受重力、支持力和静摩擦力,静摩擦力的方向指向圆心
C.木块A受重力、支持力和静摩擦力,静摩擦力的方向与木块运动方向相反
D.木块A受重力、支持力和静摩擦力,静摩擦力的方向与木块运动方向相同
答案：B
2.甲、乙两个物体都做匀速圆周运动,其质量之比为1∶2,转动半径之比为1∶2,在相同时间里甲转过60°角，乙转过45°角.则它们的向心力之比为
A.1∶4 B.2∶3
C.4∶9 D.9∶16
答案：C
3.如图6-7-6所示的装置中，两球的质量都为m，且绕竖直轴做同样的圆锥摆运动，木块的质量为2m，则木块的运动情况是
图6-7-6
A.向上运动 B.向下运动
C.静止不动 D.上下振动
答案：C
4.图6-7-7是用以说明向心力和质量、半径之间关系的仪器,球P和Q可以在光滑杆上无摩擦地滑动,两球之间用一条轻绳连接,mP=2mQ.当整个装置以ω匀速旋转时,两球离转轴的距离保持不变,则此时
图6-7-7
A.两球受到的向心力大小相等
B.P球受到的向心力大于Q球受到的向心力
C.rP一定等于
D.当ω增大时，P球将向外运动
答案：AC
5.如图6-7-8所示,质量为m的滑块与轨道间的动摩擦因数为μ,当滑块从A滑到B的过程中,受到的摩擦力的最大值为Fμ,则
图6-7-8
A.Fμ=μmg B.Fμ＜μmg
C.Fμ＞μmg D.无法确定Fμ的值
答案：C
6.质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点.当杆在光滑水平面上绕O点做匀速转动时,如图6-7-9所示,求杆的OA段及AB段对球的拉力之比是多少?
图6-7-9
答案：3∶2
7.如图6-7-10所示，在半径为R的半球形碗的光滑内表面上，一质量为m的小球以角速度ω在水平平面上做匀速圆周运动.则该水平面距离碗底的距离h=_____.
图6-7-10
答案：R-
［知识应用自测］
思路导引
1.关于向心力的说法中正确的是（ ）
A.物体受到向心力的作用才可能做圆周运动
B.向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的，但受力分析时应该画出
C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是其中某一种力或某几种力的合力
D.向心力只改变物体运动的方向，不改变物体运动的快慢
解析：向心力在受力分析时不画，B错.
答：ACD
←考查对向心力概念的理解.
2.如图6－7－9所示，在光滑的以角速度ω旋转的细杆上穿有质量分别为m和M的两球，两球用轻细线连接.若M>m，则（ ）
图6－7－9
A.当两球离轴距离相等时，两球相对杆不动
B.当两球离轴距离之比等于质量之比时，两球相对杆都不动
C.若转速为ω时，两球相对杆都不动，那么转速为2ω时两球也不动
D.若两球相对杆滑动，一定向同一方向，不会相向滑动
解析：由牛顿第三定律可知M、m间的作用力相等.即FM=Fm，FM=
M·ω2rM，Fm=m·ω2rm，所以若M、m不动，则rM∶rm=m∶M，所以A、B不对，C对（不动的条件与ω无关）.若相向滑动，无力提供向心力，D不对.
答案：CD
←向心力公式的应用.
3.如图6－7－10所示，一个内壁光滑的圆锥的轴线垂直于水平面，圆锥固定不动，两个质量相同的小球A、B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动.则（ ）
图6－7－10
A.球A的线速度必大于球B的线速度
B.球A的角速度必小于球B的角速度
C.球A的运动周期必小于球B的运动周期
D.球A对筒壁的压力必大于球B对筒壁的压力
解析：两球的受力情况完全相同，如图6－7－13所示，向心力F=mg
cotθ=m=mω2r
因为rA>rB，故vA>vB，ωA<ωB.
图6－7－13
答案：AB
←分析向心力、线速度、角速度的关系.
4.如图6－7－11所示，质量为m的滑块从半径为R的光滑固定的圆弧形轨道的a点滑到b点，下列说法中正确的是（ ）
图6－7－11
A.它所受的合外力的大小是恒定的
B.向心力大小逐渐增大
C.向心力逐渐减小
D.向心加速度逐渐增大
解析：因为m的速度v越来越大，又因为F向心=m，a向心=，所以F向心、a向心都越来越大.
答案：BD
←考查对向心力公式的理解与应用.
5.甲乙两球都做匀速圆周运动，甲球的质量是乙球的3倍，甲球在半径为25 cm的圆周上运动，乙球在半径为16 cm的圆周上运动.在1 min内，甲球转30转，乙球转75转.求甲球所受向心力与乙球所受向心力之比.
解析：设甲球所受的向心力为F1，乙球所受的向心力为F2.根据公式F=mrω2，甲乙两球向心力之比为==3××=.
答案：3∶4
←向心力公式的应用.
6.现在有一种叫做“魔盘”的娱乐设施（图6－7－12）.“魔盘”转动很慢时，盘上的人都可以随盘一起转动而不至于被甩开.当盘的转速逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，离转动中心越远的人，这种滑动的趋势越厉害.设“魔盘”转速为6转/分，一个体重为30 kg的小孩坐在距离轴心1 m处（盘半径大于1 m）随盘一起转动（没有滑动）.这个小孩受到的向心力有多大？这个向心力是由什么力提供的？
图6－7－12
解析：向心力的大小为：F=mrω2=mr（）2=30×1×（）2 N=11.8 N.
答案：11.8 N 由小孩与盘之间的静摩擦力提供
←分析向心力的来源.
7.太阳的质量是1.99×1030 kg，太阳离开银河系中心大约3万光年（1光年=9.46×1015 m），它以250 km/s的速率绕着银河系中心运动，太阳绕银河系中心运动的向心力等于多少？
解析：太阳绕银河系中心运动的向心力为：
F=m=1.99×1030×N=4.36×1020 N.
答案：4.36×1020 N
←向心力公式的应用.
8.在双人花样滑冰的运动中，我们有时会看到女运动员被男运动员拉着做圆锥摆运动的精彩场面.如果目测女运动员做圆锥摆运动时和竖直方向的夹角约为45°，那么她所受到的拉力估计有多少牛顿？
解析：花样滑冰女运动员做圆锥摆运动时，她受的重力和她所受拉力的合力提供向心力.由图6－7－14可以看出她受的拉力F==1.4G.即她受的拉力是她体重的1.4倍.
图6－7－14
答案：约为体重的1.4倍
←分析向心力来源及其应用.
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