高中物理人教版 (新课标)必修26.向心力课后练习题

第7节向心力

〖精讲精练〗

〖知识精讲〗

知识点1、向心力

（1）向心力的定义：做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，根据牛顿第二定律，这个加速度一定是由于它受到了指向圆心的合力，这个合力叫做向心力。

（2）向心力的大小：F=mv2/r=mrω2=mr（2π/T）2=mr（2πn）2

（3）向心力的作用效果：向心力总是指向圆心，而线速度是沿圆周的切线方向，故向心力的始终与线速度垂直。所以向心力的作用效果只改变物体的速度方向而不改变物体的速度大小。

（4）向心力的来源：向心力是从力的作用效果命名的。凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力。它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是它们的合力，还可以是某个力的分力。当物体做匀速圆周运动时，合外力就是向心力；当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力就是向心力。

〖例1〗如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是：

A、   绳的拉力。

B、    重力和绳的拉力的合力。

C、    重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力。

D、绳的拉力和重力沿绳方向的合力。

〖思路分析〗本题考查向心力和绳子的有关知识。如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力。故选CD。

〖答案〗CD

〖总结〗非匀速圆周运动，绳的拉力一重力的合力不是向心力。

〖变式训练1〗质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动如图所示，经过最高点而不脱离轨道的速度临界值是v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力值是：

A、0  B、mg  C、3mg  D、5mg

〖答案〗C

知识点2：变速圆周运动和一般的曲线运动

（1）变速圆周运动物体所受的合力，并不指向圆心。这一合力F可以分解为互相垂直的两个力；跟圆周相切的分力FT和指向圆心方向的分力Fn。

Fn产生了向心加速度，与速度垂直，改变了速度方向。

FT产生切向加速度，切向加速度与物体的速度方向在一条直线上，它改变了速度的大小。

仅有向心加速度的运动是匀速圆周运动，同是时具有向心加速度和切向加速度的圆周运动是变速圆周运动。

说明：①变速圆周运动中，向心加速度和向心力的大小和方向都变化。]

②变速圆周运动中，某一点的向心加速度和向心力均可用an=v2/r 、an=rω2和

Fn= mv2/r、Fn= mrω2公式求解，只不过v、ω都是指那一点的瞬时速度。

③物体做匀速圆周运动的条件：物体做匀速圆周运动所需向心力或所需向心加速度由物体的运动情况来决定。当所需向心力（mv2/r、mrω2）与合力提供的向心力达到相对“供需平衡”（即F供=F需）时，物体才做匀速圆周运动。

（2）一般曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线。

一般的曲线运动可以分割成许多不同半径的极短一小段圆弧，这样一般曲线运动可以采用圆周运动的分析方法。

注意：圆周运动的力学问题一般解题方法：

① 确定做圆周运动的物体为研究对象。

② 确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径及轨道

③ 按通常的方法，对研究对象进行受力分析，从中确定出向心力的来源。

④ 选用合适的向心力公式，建立方程来求解，有些问题需运用几何知识建立辅助方程来帮助求解。

〖例2〗如图所示，细绳一端系着质量为M=0。6kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量为m=0。3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0。2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴转动。问角速度ω在什么范围内m处于静止状态？（g=10m/s2）

〖思路分析〗当ω具有最小值时，M有向着圆心运动的趋势，故水平面对M的摩擦力方向背离圆心，且等于最大静摩擦力Fm=2N，对于M：FT- Fm=Mrω12 ， FT =mg

ω1= 代入数据得ω1=2。9rad/s

当ω具有最大值时，M有背离圆心运动的趋势，故水平面对M的摩擦力方向指向圆心，且等于最大静摩擦力Fm=2N，对于M：FT+Fm=Mrω22 ， FT =mg

ω2=代入数据得ω2=6。5rad/s

〖答案〗2。9rad/s<ω<6。5rad/s

〖总结〗通过分析两个极端(临界)状态来确定变化范围,是求解”范围类”问题的基本思路和方法.提供的向心力等于所需向心力mv2/r时,物体维持圆周运动；提供的向心力小于所需向心力时，物体做离心运动；提供的向心力大于所需的向心力时，物体做近心运动，这是分析临界问题的关键。

〖变式训练2〗如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直圆孔中心的距离为r，物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同。物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能与转盘相对静止？

〖答案〗≤ω≤

〖难点精析〗

〖例3〗如图所示，小物块与圆盘保持相对静止，跟着圆盘且起做匀速圆周运动，则下列关于A的受力情况说法正确的是；

A、受重力、支持力。

A、   受重力、支持力和指向圆心的摩擦力。

B、    受重力、支持力、摩擦力和向心力。

D、受重力、支持力和与运动方向相同的摩擦力。

〖思路分析〗物体A在水平圆盘上，受重力竖直向下，支持力竖直向上，且两力是一对平衡力。A是否受摩擦力，可通过对A的运动状态分析便知：由于A随圆盘一起做匀速圆周运动，故其必须有向心力作用，重力与支持力的合力不能提供向心力，只有A受到摩擦力作用且此摩擦力方向指向圆心，大小就等于A的向心力。

〖答案〗B

〖方法总结〗匀速圆周运动物体受到的向心力大小不变，但方向时刻在变，所以向心力是变力；重力、弹力、摩擦力是按其性质命名的，向心力是按力的效果命名的，做匀速圆周运动的物体并没有受到一个特别性质的力——向心力，而是把物体受到的合力称为向心力，重力、弹力、摩擦力可以分别提供向心力，也可以几个力的合力提供向心力。

〖变式训练3〗如图所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮随圆盘一起运动，若橡皮质量为m，转动半径为r，角速度为ω，则橡皮受的静摩擦力为多少？

〖答案〗f=mrω2

 〖难点精析2〗将一小球拴在一根长为R的轻绳一端，绳的另一端固定，使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，求在最高点球的最小速度？

〖思路分析〗球在最高点时受重力mg和绳的拉力，如图二力的合力提供向心力。

T+mg=mv2/R  当T=0时，球的速度最小，mg=mv2/R，解得v=

故球在最高点的最小速度为v=

〖答案〗v=〖方法总结〗绳拴球在竖直平面内做圆周运动，在最高点时只有重力提供向心力，此时球的速度最小vmin=

〖变式训练〗一根长为R的轻绳一端拴一小球，另一端固定，使小球在竖直面内做圆周运动，球在最高点速度最小，当它运动到最低点绳的拉力为多少？

〖答案〗6mg

〖难点精析3〗如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕O点的水平轴自由转动，不计摩擦，杆长为R。

（1）若小球在最高点速度为，杆对球作用力为多少？当球运动到最低点时，杆对球的作用力为多少？

（2）若球在最高点速度为/2时，杆对球作用力为多少？当球运动到最低点时，杆对球的作用力是多少？

（3）若球在最高点速度为2时，杆对球作用力为多少？当球运动到最低点时，杆对球的作用力是多少？

〖思路分析〗（1）球在最高点受力如图（设杆对球作用力T1向下）

则T1+mg=mv12/R，将v1=代入得T1 =0。故当在最高点球速为时，杆对球无作用力。

当球运动到最低点时，由动能定理得： 

2mgR=mv22/2- mv12/2，

解得：v22=5gR，

球受力如图：

T2-mg=mv22/R，

解得：T2 =6mg

同理可求：（2）在最高点时：T3=-3mg/4 “-”号表示杆对球的作用力方向与假设方向相反，即杆对球作用力方向应为向上，也就是杆对球为支持力，大小为3mg/4

当小球在最低点时：T4=21mg/4

（3）在最高点时球受力：T5=3mg；在最低点时小球受力：T6=9mg

〖答案〗（1）T1 =0 ，T2 =6mg （2）T3=3mg/4，T4=21mg/4 （3）T5=3mg，T6=9mg

〖方法总结〗（1）在最高点，当球速为，杆对球无作用力。

当球速小于，杆对球有向上的支持力。当球速大于，杆对球有向下的拉力。

（2）在最低点，杆对球为向上的拉力。

〖变式训练3〗如图所示细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球的轨道的最低点和最高点。则杆对小球的作用力可能是：

A、   a处是拉力，b处是拉力。

B、    a处是拉力，b处是推力。

C、    a处是推力。B处是拉力。

D、a处是推力。B处是推力。

〖答案〗AB

〖难点精析2〗

〖例4〗汽车以速度v行驶，驾驶员突然发现前方有一横沟，为了避免事故，驾驶员应该刹车好还是转弯好？

〖思路分析〗无论是刹车还是转弯，都是为了避免汽车驶入沟中。刹车时地面的摩擦力使汽车减速，设地面与汽车轮胎间的动摩擦因数为μ，则汽车刹车时的加速度为a=μg。故汽车从开始刹车到汽车静止，汽车行驶的距离为：。

当汽车转弯时，汽车转弯的摩擦力使汽车改变运动方向，因此在转弯时可以提供汽车转弯时的向心力，轨道半径R为：。由以上可得s<R，故刹车时更易避免事故的发生。

〖答案〗刹车时更易避免事故的发生。

〖方法总结〗（1）在汽车转弯避免驶入横沟的情况下，汽车所做的运动是匀速圆周运动，且为了能转弯成功，开始转弯时距横沟的距离至少为R，本题的创新之处在于出题的立意新，能够充分开发同学们的创新意识。

（2）向心力和向心加速度在实际生活中有很多应用，但在抽象出物理模型的过程中应注意拓展自己的思路，结合受力分析和运动分析综合求解。

〖变式训练〗如图所示，凸形拱桥半径为R，汽车质量为m，过桥的顶端的最大速度是多少？

〖答案〗vm=

〖难点精析3〗

〖例5〗如图所示，在电动距轴O为r处固定一质量为m的铁块，电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转动，则电机对地面的最大压力和最小压力之差为多少？

〖思路分析〗铁块在竖直平面内做匀速圆周运动，其向心力是重力mg与轮对它的作用力F的合力，由圆周运动规律可知：当m转到最低点时，F最大，当m转到最高点时F最小。

设铁块在最高点和最低点时，电机对其作用力分别是F1和F2，且都指向轴心，根据牛顿第二定律有：在最高点：mg+F1=mω2r ①    在最低点：F2-mg= mω2r      ②

电机对地面的最大压力和最小压力分别出现在铁块m位于最低点和最高点时，

且压力差的大小为△F= F2- F1       ③

由①②③得△F= 2mω2r

〖答案〗2mω2r

〖方法总结〗在最高点和最低点分别进行受力分析，再应用向心力公式计算。

〖变式训练5〗如图所示，一个质量为M的人，站在台秤上，手拿一个质量为m、悬线长为R的小球，在竖直平面内做圆周运动，且摆球正好通过圆轨道的最高点（此时悬线的弹力为零），求小球经过最低点时，台秤的示数为多大？

〖答案〗Mg+6mg

〖综合拓展〗本节主要学习向心力公式F= 。向心力是按效果来命名的。做匀速圆周运动的物体所受的合外力完全用来提供向心力。有关匀速圆周运动中的向心力来源问题，只有准确对物体进行受力分析，才能正确找到向心力，并可利用向心力公式的适当表示方法解题。

〖例6〗如图所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端连接有质量为m=1kg的小球A，另一端连接有质量为M=4kg的重物B。求：

（1）当A球沿半径不R=0。1m的圆做匀速圆周运动，其角速度为ω=10rad/s时，B对地面的压力是多少？

（2）要使B物体对地面恰好无压力，A球的角速度应为多大？（g=10m/s2）

〖思路分析〗（1）对小球A来说，小球受到的重力和支持力平衡，因此绳子的拉力提供向心力，则：FT=mRω2=10N，对物体B来说，物体受到三个力的作用：重力mg、绳子的拉力FT、地面的支持力FN。由力的平衡条件知：FT+FN=Mg，解得：FN= FT-Mg，将FT=10N代入可得：FN=30N

由牛顿第三定律可知，B对地面的压力为30N，方向竖直向下。

（2）当B对地面恰好无压力时，有：Mg= FT/，拉力FT/提供小球A所需的向心力，则：

FT/= mRω/2，则ω/==20rad/s。

即当B对地面恰好无压力时，A小球的角速度值应为20rad/s。

〖答案〗（1）B对地面的压力为30N，方向竖直向下。（2）ω/=20rad/s。

〖方法总结〗由于小球A做匀速圆周运动的向心力由绳子的拉力来提供，而绳子的拉力又改变物体B对地面的压力，因此从绳子的拉力入手解决是本题的关键，绳子的拉力是联系小球A与物体B受力情况的“桥梁”

〖活学活练〗

〖基础达标〗

1、    下列有关向心力的说法正确的是：

A、做匀速圆周运动的物体受一个向心力的作用。

B、由F= mRω2可知，向心力是一个恒力。

C、向心力是按力的效果而命名的。

D、   向心力的方向总是与速度方向垂直。

2、如图所示，杂技表演中，在匀速转动的透明圆筒上，杂技演员紧靠圆筒后，随圆筒一起转动，演员所需的向心力的来源为：

A、重力 B、弹力 C、静摩擦力 D、滑动摩擦力

3、如图所示，水平转台上放着A、B、C三个物体，质量分别是2m、m、m，离转轴的距离分别是R、R、2R，三物体与转台间的动摩擦因数均相同，转台旋转时，下列说法中正确的是：

A、若三物体均未滑动，C的向心加速度最大。

B、若三物体均未滑动，B物体所受的摩擦力最大。

C、转速增加，A物体比B物体先滑动。

E、    转速增加，C先滑动。

4、关于做匀速圆周运动的物体所受的合力，下列判断正确的是：

A、合力的大小不变，合力的方向一定指向圆心。

B、合力的大小和方向都时刻在变化。

C、合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小。

D、合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小。

5、质量相等的A、B两物体（可视为质点），放在水平的转台上，A离轴的距离是B离轴的距离的一半，如图所示，当转台匀速转动时，A、B均无滑动，则下列说法正确的是：

A、   因为a= Rω2，而RB>RA,所以B的向心加速度比A的大。

B、    因为a=v2/ R，而RA< RB,所以a的向心加速度比b的大。

C、    因为质量相等，所以它们受到的台面的摩擦力一样大。

D、   转台对B的静摩擦力较小。

6、在质量为M的电动机飞轮上固定一个质量为m的重物，重物到转轴的距离为r，如图所示，为了使放在地面上的电动机不会跳起，电动机飞轮的角速度不能超过：

A、   B、 C、  D、

7、做匀速圆周运动的物体，质量增大1倍，周期减半，向心力应增大          倍，若质量不变，由于半径改变，线速度不变而角速度增大1倍，则向心力增大了            倍。

8、A、B两个小球都在水平面内做匀速圆周运动，A球质量是B球质量的一半，A球每分钟转120转，B球每分钟转60转，A球的轨道半径是40cm，B球的轨道半径是10cm，则A、B两球做匀速圆周运动所需向心力之比为                 。

9、一个做匀速圆周运动的物体若保持其半径不变，角速度增加为原来的2倍，所需的向心力比原来增加了60N，物体原来所需的向心力是                      N。

10、水平转台上放一小木块，当转数为60转/分时，木块离轴8cm，并恰好与转盘间无相对运动；当转数增加到120转/分时，木块应放在离轴                cm处才能刚好与转盘保持相对静止。

11、如图所示，光滑水平桌面上O处有一光滑的圆孔，一根轻绳一端系质量为m的小球，另一端穿过小孔拴一质量为M的木块，当m以某一角速度在桌面上做匀速圆周运动时，木块M恰能静止不动，这时小球圆周运动的半径为r，则此时小球做匀速圆周运动的角速度为多大？

12、冰面对溜冰运动员的最大静擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上半径为R的圆周滑行的运动员其最大速度是多少？

13、飞机在做俯冲拉起运动时，可以看做圆周运动，若在最低点附近做半径为R=180m的圆周运动，飞行员的质量为m=70kg，飞机经过最低点P点时的速度为v=360km/h，试计算一下飞行员对座位的压力是多大？（g=10m/s2）

14、如图所示，竖直的半圆形轨道与水平面相切，轨道半径R=0。2m，质量m=200g的小球以某一速度正对半圆形轨道运动，，A、B、C三点分别为圆轨道最低点、与圆心等高点、最高点。小球过这三点的速度分别为：vA=5m/s、vB=4m/s、vC=3m/s，求：

（1）小球经过这三个位置时对轨道的压力？

（2）小球从C点飞出到落到水平面上，其着地点与A点相距多少？（g=10m/s2）

15、飞行员员俯冲后往上拉飞机时，会发生黑视，第一次是因为大脑缺血，问：

（1）            血压为什么会降低？（2）为了使飞行员适应这种情况，要在如图所示的食品中对飞行员进行培训，飞行员坐在一个竖直平面内做匀速圆周运动的舱内，要使飞行员的加速度a=6g，则转动速度需要多大？（R=2m，g=10m/s2）

〖基础达标答案〗

1、CD  2、B   3、AD  4、A    5、A   6、A    7、7，1  8、8：1  9、20

10、2  11、 12、 13、4588。9N  14、NA=27N；NB=16N；

NC=7N。

15、（1）当飞行员的加速度向上时，血液处于超重状态，视重增大，心脏无法像平常一样运送血液，导致血压降低。

（2）血液在循环中所起的作用是提供氧气、营养，带走代谢产生的废物。

（3）由a=v2/R可得v==34。6m/s

〖能力提升〗

1、如图所示，半径为R的孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度v0在水平面内做圆周运动，小球与管壁间的摩擦因数为μ，设从开始运动的一周内小球从A到B和从B到A的过程中摩擦力对小球做功分别为W1和W2，在这一周内摩擦力做的总功为W3，则下列关系式正确的是：

A、   W1>W2，B、W1=W2，C、W3=0  D、W3= W1+W2，

2、如图所示是用来说明向心力和质量、半径之间关系的仪器，球P和Q可以在光滑杆上无摩擦地滑动，两球之间用一条轻绳连接，mp=2 mQ，当整个装置以ω匀速转动时，两球离转轴的距离保持不变，则此时：

A、两球受到的向心力大小相等。

B、rp一定等于rQ/2。

C、P球受到的向心力大于Q受到的向心力。

D、当ω增大时，P球将向外运动。 

3、如图所示，链球运动员在将链球抛掷出手之前，总要双手拉着链条，加速转动几周，这样可使链球的速度尽量增大，抛掷出手后飞行得更远，在运动员加速转动过程中，能发现他手中链球的链条与竖直方向的夹角θ将随链球转速的增大而增大，试通过分析计算说明为什么θ角随链球转速增大而增大。

4、质量为m的小球用两根长度均为L的细线系在竖直轴上的O、O/两点，O、O/的距离也是L，如图所示，当竖直轴以一定的角速度匀速转动时，小球绕轴作匀速圆周运动，试求：

（1）竖直轴的角速度为多大时，O/A绳正好处于竖直状态？（2）若竖直轴的角速度是O/A绳正好处于竖直状态时角速度的2倍，此时两绳拉力各是多少？

5、如图所示，水平转台上放有质量均为m的两小物块A、B，A离转轴距离为L，A、B间由长为L的细线相连。开始时，A、B与轴心在同一直线上，线被拉直。A、B与水平转台间的动摩擦因数均为μ，当转台的角速度达到多大时线上出现张力？当转台角速度达到多大时，A物块开始滑动？

〖能力提升答案〗

1、AD  2、AB   3、球在转动过程中的向心力由球的重力和链条的对球的拉力的合力提供，

mgtanθ=mrω2  所以：  mgtanθ=m（Lsinθ）ω2 即： 当ω增大时，θ角增大。

4、（1）  （2）FOA=5mg，FO/A=3mg

5、；

〖真题再现〗

如图所示，半径R=0。4m的光滑半圆形圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于A，一质量m=0。10kg的小球，以初速度v0=7。0m/s在水平地面上向左做加速度a=3。0m/s2的匀减速直线运动，运动4。0m后，冲上竖直半圆环，最后小球落在C点，求A、C两点间的距离（g=10m/s2）

〖思路分析〗匀减速运动过程中，有：vA2-vB2=-2as  ①

恰好做圆周运动时物体在最高点B满足：mg= ②解得：

假设物体能到达圆环的最高点B，由机械能守恒定律：

   ③

由①③得：  因为，所以小球能通过最高点B。

小球从B点做平抛运动：  ④

    ⑤

由④⑤得：sAC=1。2m