专题03 等差数列的前n项和公式 知识精讲 （解析版）

专题三    等差数列的前n项和公式一 知识结构图内  容考点关注点  等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式等差数列数列求和等差数列前n项和的最值哪些项的和取最值握an与Sn的关系由Sn求an数列求和裂项相消求和 二.学法指导1．求数列的基本量的基本方法求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理，1“知三求一”：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，在通项公式和前n项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个.2“知三求二”：五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程组求解.2．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)值．(2)借助二次函数的图象及性质求最值．3．寻求正、负项分界点的方法(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找．(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．4．求解数列{|an|}的前n项和，应先判断{an}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题．5.形如的式子，若可分解为－的形式，则一般可用裂项相消法求解．三.知识点贯通知识点1   等差数列前n项和的有关计算等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝Sn＝na1＋d 例题1.在等差数列{an}中，(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8；  (2)已知a2＋a4＝，求S5.【解析】　(1)法一：∵a6＝10，S5＝5，∴解得∴a8＝a6＋2d＝16.法二：∵S6＝S5＋a6＝15，∴15＝，即3(a1＋10)＝15.∴a1＝－5，d＝＝3.∴a8＝a6＋2d＝16.(2)法一：∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝，∴a1＋2d＝.∴S5＝5a1＋10d＝5(a1＋2d)＝5×＝24.法二：∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝，∴S5＝＝×＝24.知识点二   等差数列前n项和Sn的函数特征数列{an}为等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．例题2：　数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，(1)求{an}的通项公式；(2)则{an}的前多少项和最大？【解析】　(1)法一：(公式法)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n.故{an}的通项公式为an＝34－2n.法二：(结构特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.(2)法一：(公式法)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故数列{an}的前17项大于或等于零．又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．法二：(函数性质法)由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝，距离最近的整数为16，17.由Sn＝－n2＋33n的图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．知识点三   “片段和”的性质若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成等差数列，公差为原公差的k2倍．例题3 .在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.【解析】法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则解得∴S110＝110a1＋d＝110×＋×＝－110.法二：∵S10＝100，S100＝10，∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝＝－90，∴a11＋a100＝－2.又∵a1＋a110＝a11＋a100＝－2，∴S110＝＝－110.法三：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，∴设公差为d，数列前100项和为10×100＋d＝10，解得d＝－22.∴前110项和S110＝11×100＋d＝11×100＋10××(－22)＝－110.法四：设数列{an}的公差为d，由于Sn＝na1＋d，则＝a1＋(n－1)．∴数列是等差数列，其公差为.∴－＝(100－10)×，且－＝(110－100)×.代入已知数值，消去d，可得S110＝－110.知识点四  裂项相消法求和形如的式子，若可分解为－的形式，则一般可用裂项相消法求解．例题4．等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求＋＋…＋.【解析】　∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2，∴前n项和Sn＝na1＋d＝3n＋×2＝n2＋2n(n∈N*)，∴＝＝＝，∴＋＋…＋＝＝＝－.知识点五   有限项等差数列前n项和的性质及比值问题＝＝＝.例题5数列{an}，{bn}均为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝(　　)A．　　　B．　　　C．　　　D．【答案】A【解析】因为数列{an}，{bn}均为等差数列，且Sn，Tn分别为它们的前n项和，∴＝＝＝＝＝.五 易错点分析易错一  裂项抵消法求和例题6.已知数列{an}的通项公式为an＝，求数列{an}的前n项和Sn.【解析】　an＝＝，∴Sn＝＋＋＋…＋＋＝＝＝，∴Sn＝. 误区警示
将通项公式准确分成两项的差，抵消时注意是相邻项抵消还是间隔项抵消，注意前面剩几项，后面就剩几项。易错二 数列求和例题7.等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________．【答案】75　【解析】因为an＝2n＋1，所以a1＝3.所以Sn＝＝n2＋2n，所以＝n＋2，所以是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋×1＝75. 错误区警示当一题中由多个数列时，一定要分清数列，解决数列问题。可根据通项公式判断数列类型，进而利用等差数列或等比数列解决问题。