数学第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质教案设计

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备用习题

1.如图15，P是△ABC所在平面外的一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心.

图15

（1）求证：平面ABC∥平面A′B′C′；

（2）求△A′B′C′与△ABC的面积之比.

证明：（1）连接PA′、PB′、PC′并延长交BC、AC、AB于D、E、F，连接DE、EF、DF.

∵A′、C′分别是△PBC、△PAB的重心,

∴PA′=，PC′=.

∴A′C′∥DF.∵A′C′平面ABC，DF平面ABC,

∴A′C′∥平面ABC.同理,A′B′∥平面ABC.

又A′C′∩A′B′=A′，A′C′、A′B′平面A′B′C′,

∴平面ABC∥平面A′B′C′.

（2）由（1）知A′C′，又DF，∴A′C′AC.

同理,A′B′，B′C′.∴△A′B′C′∽△ABC.

∴S△A′B′C′∶S△ABC=1∶9.

2.已知：如图16，α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β.

图16

求证：AB=CD.

证明：∵AB∥CD，

∴过AB、CD的平面γ与平面α和β分别交于AC和BD.

∵α∥β，∴BD∥AC.

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD.

3.如图17，已知平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，E、F分别为AB、CD的中点.

求证：EF∥α，EF∥β.

图17

证明：当AB、CD共面时，平面ABCD∩α=AC，平面ABCD∩β=BD.

∵α∥β，∴AC∥BD.

∵E、F分别为AB、CD的中点，∴EF∥AC.

∵ACα，EFα，∴EF∥α.同理,EF∥β.

当AB、CD异面时，∵ECD，

∴可在平面ECD内过点E作C′D′∥CD，与α，β分别交于C′，D′.

平面AC′BD′∩α=AC′，平面AC′BD′∩β=BD′，

∵α∥β，∴AC′∥BD′.

∵E是AB中点，∴E也是C′D′的中点.

平面CC′D′D∩α=CC′，平面CC′D′D∩β=DD′，∵α∥β，

∴CC′∥DD′.

∵E、F分别为C′D′、CD的中点，∴EF∥CC′，EF∥DD′.

∵CC′α，EFα,∴EF∥α.同理,EF∥β.

(设计者：释翠香)