数学必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质教案

这是一份数学必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质教案，共11页。教案主要包含了课前检测，知识梳理，重难点突破，课堂练习等内容，欢迎下载使用。


学员编号： 年 级： 课时数：3
学员姓名： 辅导科目： 学科教师：蔡远方
课 题
直线、平面平行的判定及其性质
授课日期及时段

教学目的
1．教学知识目标：进一步熟悉掌握空间直线和平面的位置关系。理解并掌握直线与平面平行的判定定理及直线与平面平行的性质定理。
2．能力训练：掌握由“线线平行”证得“线面平行”和“线面平行”证得“线线平行”的数学证明思想。进一步熟悉反证法；进一步培养学生的观察能力、空间想象力和类比、转化能力，提高学生的逻辑推理能力。
3．德育渗透：培养学生的认真、仔细、严谨的学习态度。建立“实践――理论――再实践”的科学研究方法。
教学内容
一、课前检测
1、上节课我们介绍了直线与平面的位置关系，有几种？以什么作为划分的标准？
答案：三种，以直线与平面的公共点个数为划分标准，分别是:
直线与平面有两个公共点——直线在平面内(直线上所有的点都在这个平面内）
直线与平面只有一个公共点——直线与平面相交
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
直线与平面没有公共点——直线与平面平行





(注：我们也将直线与平面相交和平行统称为直线在平面外)
2. 平面与平面平行的条件可以是（ ）
A．内有无穷多条直线都与平行
Ｂ．直线，，且直线不在内，也不在内
Ｃ．直线，直线，且，
Ｄ．内的任何直线都与平行
答案：D．
3. 下列命题中，错误的是（　　）
Ａ．平行于同一条直线的两个平面平行
Ｂ．平行于同一个平面的两个平面平行
Ｃ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行
Ｄ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
答案：Ａ．
4. 已知直线平面，，那么过点且平行于的直线（　　）
Ａ．只有一条，不在平面内 Ｂ．有无数条，不一定在内
Ｃ．只有一条，且在平面内 Ｄ．有无数条，一定在内
答案：Ｃ

二、知识梳理
1．如何判定直线与平面平行
师：请同学回忆，我们昨天是采用了什么方法证明直线与平面平行？有直线在平面外能不能说明直线与平面平行？
①生：借助定义，用反证法说明直线与平面没有公共点（证明直线在平面外不能说明直线与平面平行）
②直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
已知：aα，bα，且a∥b
求证：a∥α

α
b
a
P
β
师：你们会采用什么方法证明定理？
生：反证法
证明：∵ a∥b∴经过a,b确定一个平面β
∵aα，bα∴α与β是两个不同的平面。
∵bα，且bβ∴α∩β=b
假设a与α有公共点P，则P∈α∩β＝b,
点P是a、b的公共点这与a∥b矛盾，∴a∥α

例1：求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面。

已知：如图空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点。求证：EF∥平面BCD
证明：连结BD
AE＝EB
EF∥BD
AF＝FD EF 平面BCD　　EF∥平面BCD
BD 平面BCD
评析：要证EF∥平面BCD，关键是在平面BCD中找到和EF平行的直线，将证明线面平行的问题转化为证明直线的平行

2．直线和平面平行的性质定理：

α
b
a
β
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
已知：a∥α，aβ,α∩β＝b（如右图）
求证：a∥b

证明：α∩β＝bba　　　　aβ
a∥α　　　　　　　　a∩b=φ a∥b
　　　　　　　　　　　　　　　bβ
评析：证明用到了“同一平面的两直线没有公共点，则它们平行”

α
β
注： ①性质定理也可概括为由“线面平行”证得“线线平行”
②过b且与α相交的平面有无数个，这些平面与α的交线也有无数条，且这些交线都互相
a
b
c

例2、如图，平面α、β、γ两两相交，a、b、c为三条交线，且a∥b，那么a与c、b与c有什么关系？为什么？
师：猜a与c什么关系？生：平行
师：已知a∥b能得出什么结论，怎样又可征得a∥c？
解：依题可知：α∩γ=a,β∩γ=b,α∩β=C
∵aα,bα,且a∥b∴b∥α
又∵b β, α∩ β=C∴b∥c
又∵a∥b, ∴a∥c
师：b∥α,过b且与α相交的平面有多少个？这些交线的位置关系如何？
生：有无数条交线，且它们相互平行。
注： ①性质定理也可概括为由“线面平行”证得“线线平行”
②过b且与α相交的平面有无数个，这些平面与α的交线也有无数条，且这些交线都互相平行
3．如何判定平面与平面平行
1．两个平面的位置关系
两个平面的位置关系只有两种：①两个平面平行——没有公共点．
　　 ②两个平面相交——有一条公共直线．

两个平面平行的判定定理  如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
例3、已知：在平面 内，有两条直线 、 相交且和平面 平行．
求证： ．
证明：用反证法证明．
　　假设 ．
　　∵ ， ，
　　∴ ．
　　同理 ．
　　∴ ．
　　这与题设 与 是相交直线矛盾．
　　∴ ．
例4、如图，P是△ABC所在平面外的一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、
△PAB的重心。求证：平面ABC∥平面A′B′C′；


证明：（1）连结PA′、PB′、PC′并延长交BC、AC、AB于
D、E、F，连结DE、EF、DF
∵A′、C′分别是△PBC、△PAB的重心
∴PA′＝PD，PC′＝PF
∴A′C′∥DF， ∵A′C′平面ABC，DF平面ABC
∴A′C′∥平面ABC
同理 A′B′∥平面ABC
又A′C′∩A′B′＝A′，A′C′、A′B′平面A′B′C′
∴平面ABC∥平面A′B′C′

4．平面与平面平行的性质定理
　（1）一个结论
　　根据两个平面平行及直线和平面平行的定义，容易得出下面的结论．
， ．（图2）
这就是说，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．　　
（2）两个平面平行的性质定理
　　教师提问：如果两个平面平行，并且它们都和第三个平面相交，交线有何关系？
　　很容易得出结论：交线平行．这可以由两个平面平行及平行线定义得出．
　　两个平面平行的性质定理  如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
　　即设 ， ， ，则 ．图1．

例5：如图，两条线段AB、CD所在的直线是异面直线，CD平面α，AB∥α，M、N分别是AC、BD的中点，且AC是AB与CD的公垂线段
求证：MN∥α；

证明：过AB、AC有一个平面与平面α相交，
过B作此交线的垂线，垂足为F，由线面平行的
性质定理知：AB∥CF
又AC⊥AB ∴AC⊥CF
得：AC∥BF
∴四边形ABFC是平行四边形
由AC⊥CF，AC⊥CD 知：AC⊥平面α， ∴BF⊥平面α
取BF中点E，连接EM、EN，则：EM∥CF
可得：EM∥平面α，同理EN∥平面α
∴平面EMN∥平面α 又MN平面EMN
∴MN∥α

三、重难点突破
空间中的平行问题
（1）直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
线线平行线面平行
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行
（2）平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理
（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
（线面平行→面面平行），
（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
（线线平行→面面平行），
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，
两个平面平行的性质定理
（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）
（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）

（3）解题技巧突破：
定理之间的关系及其转化
两平面平行问题常转化为直线与直线平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”。





四、课堂练习
1、能保证直线a与平面α平行的条件是（　A　　 ）
A.aα,bα,a∥b　　　　　　B .bα,a∥b
C. bα,c∥α,a∥b,a∥c
D. bα,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b且AC＝BD
2．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是（      ）
　　A．都平行                 B．都相交
　　C．在这两个平面内         D．至少与其中一个平面平行
3．如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面（      ）
　　A．平行        B．相交　 　C．重合                   D．平行或相交
4．已知平面 与 不重合，则 的一个充分条件是（      ）
　　A． ， 且
　　B． ， 且 ，
　　C． ， 且
　　D． ， 且
5．下列命题：①平行于同一直线的两个平面平行．②垂直于同一直线的两个平面平行．③平行于同一平面的两个平面平行．④与一直线成等角的两个平面平行，其中正确的命题有（      ）
　　A．1个        B．2个          C．3个           D．4个
6下列命题正确的是（ D F ）
A. 平行于同一平面的两条直线平行
B. 若直线a∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a平行
C. 若直线a∥α,则平面α内任一条直线都与a平行
D. 若直线a∥α,则平面α内有无数条直线与a平行
E. 如果a、b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
F. 如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α,bα，那么b∥α
7、若两直线a与b相交，且a平行于平面α，则b与α的位置关系是 平行或相交
8、过两条平行线中的一条和另一条平行的平面有 无数 个
9、如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是一矩形。
（1）求证：CD∥平面EFGH；
（2）求异面直线AB、CD所成的角

证明：⑴依题：
矩形EFGHGH∥EF
EF面ACD　　　　　　GH∥面ACD
GH面ACD　　　　　　　 GH面BCD　　　
面BCD∩面ACD＝CD
GH∥CD
GH面EFGH
CD∥GH,且面BCD∩面EFGH＝GHCD面EFGH
CD∥平面EFGH
⑵ 如⑴可证CD∥GH
同理可证AB∥GF　　∠HGF即为异面直线AB与CD所成的角且
矩形EFGH∠HGF＝90°
∠HGF＝90°

五，课堂小结
1、本节知识结构






2.内容归纳总结
四个定理
定理
定理内容
符号表示
分析解决问题的常用方法
直线与平面
平行的判定
平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”
平面与平面
平行的判定
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”
直线与平面
平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。


平面与平面
平行的性质
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。



六，课后作业
一、选择题
1、以下命题（其中a，b表示直线，a表示平面）
①若a∥b，bÌa，则a∥a　　　②若a∥a，b∥a，则a∥b
③若a∥b，b∥a，则a∥a　　　④若a∥a，bÌa，则a∥b
　其中正确命题的个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
2、已知m，n为异面直线，m∥平面a，n∥平面b，a∩b=l，则l（ ）
（A）与m，n都相交 （B）与m，n中至少一条相交
（C）与m，n都不相交 （D）与m，n中一条相交
3、已知a，b是两条相交直线，a∥a，则b与a的位置关系是　（　　）
　　A、b∥a　　B、b与a相交　　C、bα　　D、b∥a或b与a相交
4、A、B是直线l外的两点，过A、B且和l平行的平面的个数是（ ）
（A）0个 （B）1个　　（C）无数个　　（D）以上都有可能
5、直线a∥平面a，点A∈a，则过点A且平行于直线a的直线 （ ）
（A）只有一条，但不一定在平面a内　（B）只有一条，且在平面a内
（C）有无数条，但都不在平面a内　　（D）有无数条，且都在平面a内
6、直线a，b异面直线， a和平面a平行，则b和平面a的位置关系是（ ）
（A）bÌa　（B）b∥a　（C）b与a相交　（D）以上都有可能
7、梯形ABCD中AB//CD，AB平面α，CD平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是 （ ）
（A）平行 （B）平行和异面 （C）平行和相交 （D）异面和相交
8、下列命题中，真命题的个数是　　　　　　　　　　　　　　　（　）
　①a∥b，a，b异面，则b、c异面　②a，b共面，b、c异面，则a、c异面③a，b异面，a、c共面，则b、c异面④a，b异面，b、c不相交，则a、c不相交　　　　　
　A、0个　　B、1　个　C、2个　　D、4个
二、判断下列命题的真假
9、过平面外一点只能作一条直线与这个平面平行 （ ）
10、若直线lËa，则l不可能与平面a内无数条直线都相交 （ ）
11、若直线l与平面a不平行，则l与a内任何一条直线都不平行（ ）
12、过两异面直线a，b外一点，可作一个平面与a，b都平行　（　）
三、填空题
13、ABCD-A1B1C1D1是正方体，过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的位置关系是　　　　　　。
14、已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意一点，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的是　　　　　　　　　　　　。
三、解答题
15、已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F
P
D
B
A
C
分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC







16、、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点
求证：EF∥平面BB1D1D




C
B1
C1
D1
A
B
D

A
B
M
N
O
P
a
b
17、 已知异面直线a，b的公垂线段AB的中点为O，平面a满足a∥a，b∥a，且OÎa，M、N是a，b上的任意两点，MN∩a＝P，求证：P是MN的中点






参 考 答 案
一、1- 8 ACDDBDBA
二、9、× 10、× 11、× 12、×
三、13、平行 14、DC、D1C1、A1B1
四、15、证明：设PC的中点为G，连接EG、FG
∵ F为PD中点 ∴ GF∥CD 且GF=CD
∵ AB∥CD AB=CD E为AB中点
∴ GF∥AE GF=AE 四边形AEGF为平行四边形
∴ EG∥AF ∴ AF平面PEC EG平面PEC
∴ AF∥平面PEC

16、证明：连接AC交BD于O，连接OE，则OE∥DC OE=DC
∵ DC∥D1C1 DC=D1C1 F为D1C1的中点
∴ OE∥D1F OE=D1F 四边形D1FEO为平行四边形
∴ EF∥D1O ∴ EF平面BB1D1D EG平面BB1D1D
∴ EF∥平面BB1D1D

17、证明：连接AN交平面 a 于Q，连接OQ、PQ
∵ Ab ∴ A、b可确定平面β
∴ a∩b=OQ 由b∥a 得 BN∥OQ
∵ O为AB的中点 ∴ Q为AN的中点
同理 PQ∥AM 故 P为MN的中点