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数学必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质教案设计
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这是一份数学必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质教案设计，共31页。教案主要包含了教材分析，教学目标，教学重点与难点，课时安排，教学设计等内容，欢迎下载使用。
一、教材分析
空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面的垂直问题是连接线线垂直和面面垂直的桥梁和纽带，可以说线面垂直是立体几何的核心.本节重点是直线与平面垂直的判定定理的应用.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；
（2）使学生掌握直线和平面所成的角求法；
（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论.
2．过程与方法
（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；
（2）探究判定直线与平面垂直的方法.
3．情态、态度与价值观
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.
三、教学重点与难点
教学重点:直线与平面垂直的判定.
教学难点:灵活应用直线与平面垂直判定定理解决问题.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.(情境导入)
日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象.
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直.也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的.
思路2.(事例导入)
如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？举例说明.
如图1，直线AC1与直线BD、EF、GH等无数条直线垂直，但直线AC1与平面ABCD不垂直.
图1
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①探究直线与平面垂直的定义和画法.
②探究直线与平面垂直的判定定理.
③用三种语言描述直线与平面垂直的判定定理.
④探究斜线在平面内的射影，讨论直线与平面所成的角.
⑤探究点到平面的距离.
活动:问题①引导学生结合事例观察探究.
问题②引导学生结合事例实验探究.
问题③引导学生进行语言转换.
问题④引导学生思考其合理性.
问题⑤引导学生回忆点到直线的距离得出点到平面的距离.
讨论结果：①直线与平面垂直的定义和画法：
教师演示实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线都垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们直线和平面垂直的形象.从而引入概念：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足.直线和平面垂直的画法及表示如下：
如图2，表示方法为：a⊥α.
图2 图3
②如图3,请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC与桌面接触）.
(1)折痕AD与桌面垂直吗？
(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面α垂直？
容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在的平面α垂直.
如图4.
(1) (2)
图4
所以，当折痕AD垂直平面内的一条直线时，折痕AD与平面α不垂直，当折痕AD垂直平面内的两条直线时，折痕AD与平面α垂直.
③直线和平面垂直的判定定理用文字语言表示为：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
直线和平面垂直的判定定理用符号语言表示为：l⊥α.
直线和平面垂直的判定定理用图形语言表示为：如图5,
图5 图6
④斜线在平面内的射影.
斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线.
斜足：斜线和平面的交点.
斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
直线与平面相交，直线与平面的相互位置类同于两条相交直线，也需要用角来表示，但过交点在平面内可以作很多条直线.与平面相交的直线l与平面内的线a、b…所成的角是不相等的.为了定义的确定性，我们必须找到一些角中有确定值的，又能准确描述其位置的一个角，这就是由斜线与其在平面内的射影所成的锐角作为直线和平面所成的角.
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
特别地：如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角.
一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角为0°.如图6，l是平面α的一条斜线，点O是斜足，A是l上任意一点，AB是α的垂线，点B是垂足，所以直线OB（记作l′）是l在α内的射影，∠AOB（记作θ）是l与α所成的角.
直线和平面所成的角是一个非常重要的概念，在实际中有着广泛的应用，如发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多少度时，才能准确地命中目标，也即射程为多远？又如铅球运动员在投掷时，以多大的角度投掷，投出的距离最远？
⑤点到平面的距离:经过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，点在平面内的射影还是一个点.
垂线段：上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.
点到平面的距离：垂线段的长叫做点到平面的距离.
（三）应用示例
思路1
例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.
解：已知a∥b，a⊥α.求证：b⊥α.
图7
证明：如图7,在平面α内作两条相交直线m、n，设m∩n=A.
************
变式训练
如图8,已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC.
图8
证明：过P作PO⊥平面ABC于O，连接OA、OB、OC.
∵PO⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴PO⊥BC.
又∵PA⊥BC，∴BC⊥平面PAO.
又∵OA平面PAO，∴BC⊥OA.
同理,可证AB⊥OC.∴O是△ABC的垂心.
∴OB⊥AC.可证PO⊥AC.
∴AC⊥平面PBO.
又PB平面PBO，∴PB⊥AC.
点评：欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为线面垂直.用符号语言证明问题显得清晰、简洁.
例2 如图9,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
图9
活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
解：连接BC1交B1C于点O，连接A1O.
设正方体的棱长为a，
因为A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以A1B1⊥平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1.
又因为BC1⊥B1C，所以BC1⊥平面A1B1CD.
所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，∠BA1O为直线A1B与平面A1B1CD所成的角.
在Rt△A1BO中,A1B=,BO=,所以BO=,∠BA1O=30°.
因此,直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.
变式训练
如图10，四面体A—BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.
图10
解：过A作AO⊥面BCD，连接OD、OB、OC，则可证O是△BCD的中心,
作QP⊥OD,
∵QP∥AO,∴QP⊥面BCD.
连接CP，则∠QCP即为所求的角.
设四面体的棱长为a，
∵在正△ACD中，Q是AD的中点,∴CQ=.
∵QP∥AO，Q是AD的中点,
∴QP=，得
sin∠QCP=.
点评：求直线与平面所成的角，是本节的又一重点，作线面角的关键是找出平面的垂线.
思路2
例1 （2007山东高考,文20）如图11(1)，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.
(1)
（1）求证：D1C⊥AC1；
（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由.
（1）证明：在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，
连接C1D，如图11(2).
(2)
∵DC=DD1，
∴四边形DCC1D1是正方形.
∴DC1⊥D1C.
又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1=D,
∴AD⊥平面DCC1D1，D1C平面DCC1D1.
∴AD⊥D1C.
∵AD、DC1平面ADC1，且AD∩DC1=D,
∴D1C⊥平面ADC1.
又AC1平面ADC1，∴D1C⊥AC1.
(2)解：连接AD1、AE，如图11(3).
(3)
图11
设AD1∩A1D=M,
BD∩AE=N,连接MN，
∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，
要使D1E∥平面A1BD，
需使MN∥D1E，
又M是AD1的中点，
∴N是AE的中点.
又易知△ABN≌△EDN，
∴AB=DE,
即E是DC的中点.
综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.
变式训练
如图12，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心.
求证：A1O⊥平面GBD.
图12
证明：BD⊥A1O.
又∵A1O2=A1A2+AO2=a2+()2=,OG2=OC2+CG2=()2+()2=,
A1G2=A1C12+C1G2=(a)2+()2=,
∴A1O2+OG2=A1G2.
∴A1O⊥OG.又BD∩OG=O,∴A1O⊥平面GBD.
点评：判断线面垂直往往转化为线线垂直，勾股定理也是证明线线垂直的重要方法.
例2 如图13，ABCD为正方形，过A作线段SA⊥面ABCD，又过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求证：E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影.
图13
证明：∵SA⊥BC,
又∵AB⊥BC,SA∩AB=A,
∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.
∵SC⊥平面AHKE,∴SC⊥AE.
又BC∩SC=C,∴AE⊥平面SBC.
∴AE⊥SB,即E为A在SB上的射影.同理可证,H是点A在SD上的射影.
变式训练
已知Rt△ABC的斜边BC在平面α内，两直角边AB、AC与α都斜交，点A在平面α内的射影是点A′，求证：∠BA′C是钝角.
证明：如图14，过A作AD⊥BC于D，连接A′D，
图14
∵AA′⊥α，BCα，∴AA′⊥BC.
∴BC⊥A′D.
∵tan∠BAD=＜tan∠BA′D=，tan∠CAD=＜tan∠CA′D=，
∴∠BAD＜∠BA′D，∠CAD＜∠CA′D.
∴∠BAC＜∠BA′C，即∠BA′C是钝角.
（四）知能训练
如图15，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，线段AB与两异面直线a、b垂直且相交，线段AB的长为定值m，定长为n（n＞m）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点.
图15
求证：（1）AB⊥MN；
（2）MN的长是定值.
证明：(1)取PB中点H,连接HN,则HN∥b.
又∵AB⊥b,∴AB⊥HN.
同理,AB⊥MH.
∴AB⊥平面MNH.∴AB⊥MN.
(2)∵b⊥平面PAB.∴b⊥PB.
在Rt△PBQ中,BQ2=PQ2-PB2=n2-PB2, ①
在Rt△PBA中,PA2=PB2-AB2=PB2-m2, ②
①②两式相加PA2+BQ2=n2-m2,∵a⊥b,∴∠MHN=90°.
∴MN=(定值).
（五）拓展提升
1.如图16，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,点D是AB的中点.
图16
（1）求证：AC⊥BC1;
（2）求证：AC1∥平面CDB1；
（1）证明：∵在△ABC中,AC=3,AB=5,BC=4,
∴△ABC为直角三角形.∴AC⊥CB.
又∵CC1⊥面ABC,AC面ABC,∴AC⊥CC1.
∴AC⊥面BCC1B1.又BC1面BCC1B1,∴AC⊥BC1.
（2）证明：连接B1C交BC1于E，则E为BC1的中点，连接DE,则在△ABC1中,DE∥AC1.
又DE面CDB1,则AC1∥面B1CD.
（六）课堂小结
知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.
思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.
（七）作业
课本习题2.2 B组3、4.
§2.3.2 平面与平面垂直的判定
一、教材分析
在空间平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的定义是通过二面角给出的，二面角是高考中的重点和难点.使学生掌握两个平面互相垂直的判定，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生学会多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.
2．过程与方法
（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.
3．情态、态度与价值观
通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.
三、教学重点与难点
教学重点:平面与平面垂直判定.
教学难点:平面与平面垂直判定和求二面角.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）复习
两平面的位置关系：
（1）如果两个平面没有公共点，则两平面平行若α∩β=,则α∥β.
（2）如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若α∩β=AB,则α与β相交.
两平面平行与相交的图形表示如图1.
图1
（二）导入新课
思路1.(情境导入)
为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角.修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度.为此，我们引入二面角的概念，研究两个平面所成的角.
思路2.(直接导入)
前边举过门和墙所在平面的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？今天我们一起来探究两个平面所成角问题.
（三）推进新课、新知探究、提出问题
①二面角的有关概念、画法及表示方法.
②二面角的平面角的概念.
③两个平面垂直的定义.
④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理，并给出证明.
⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里？
讨论结果：①二面角的有关概念.
二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.
二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图2（教师和学生共同动手）.
直立式： 平卧式：
(1) (2)
图2
二面角的表示方法：如图3中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α-AB-β.有时为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.
图3
如果棱为l，则这个二面角记作αlβ或PlQ.
②二面角的平面角的概念.
如图4,在二面角αlβ的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.
图4
再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′，则它们组成角∠A′O′B′.
因为OA∥O′A′,OB∥O′B′，所以∠AOB及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同,
即∠AOB=∠A′O′B′.
从上述结论说明了：按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关.
由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
图中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角.
③直二面角的定义.
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的.
两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角.
两个平面互相垂直的定义可表述为：
如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.
直二面角的画法：如图5.
图5
④两个平面垂直的判定定理.
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
两个平面垂直的判定定理符号表述为：α⊥β.
两个平面垂直的判定定理图形表述为：如图6.
图6
证明如下：
已知AB⊥β，AB∩β=B，ABα.
求证：α⊥β.
分析：要证α⊥β,需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.
证明：设α∩β=CD，则由ABα,知AB、CD共面.
∵AB⊥β，CDβ,∴AB⊥CD，垂足为点B.
在平面β内过点B作直线BE⊥CD,
则∠ABE是二面角αCDβ的平面角.
又AB⊥BE，即二面角αCDβ是直二面角,
∴α⊥β.
⑤应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直.
（四）应用示例
思路1
例1 如图7,⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点.
图7
求证：平面PAC⊥平面PBC.
证明：设⊙O所在平面为α,由已知条件，PA⊥α,BCα,∴PA⊥BC.
∵C为圆周上不同于A、B的任意一点,AB是⊙O的直径,
∴BC⊥AC.
又∵PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，
∴BC⊥平面PAC.
∵BC平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC.
变式训练
如图8，把等腰Rt△ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC，
图8
（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；
（2）求二面角CBDA的余弦值.
（1）证明：由题设,知AD=CD=BD,
作DO⊥平面ABC，O为垂足，则OA=OB=OC.
∴O是△ABC的外心，即AB的中点.
∴O∈AB，即O∈平面ABD.
∴OD平面ABD.
∴平面ABD⊥平面ABC.
（2）解:取BD的中点E，连接CE、OE、OC,
∵△BCD为正三角形，∴CE⊥BD.
又△BOD为等腰直角三角形,∴OE⊥BD.
∴∠OEC为二面角CBDA的平面角.
同（1）可证OC⊥平面ABD.
∴OC⊥OE.∴△COE为直角三角形.
设BC=a，则CE=，OE=，∴cs∠OEC=.
点评：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线.
例2 如图9所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m时人升高了多少？（精确到0.1 m）
图9
解：取CD上一点E，设CE=10 m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度.
在河堤斜面内，作EF⊥AB，垂足为F，并连接FG,
则FG⊥AB,即∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成二面角的平面角,
∠EFG=60°,由此,得EG=EFsin60°=CEsin30°sin60°=10×≈4.3（m）.
答：沿直道行走到10 m时人升高约4.3 m.
变式训练
已知二面角αABβ等于45°，CDα，D∈AB，∠CDB=45°.求CD与平面β所成的角.
解：如图10，作CO⊥β交β于点O，连接DO，则∠CDO为DC与β所成的角.
图10
过点O作OE⊥AB于E，连接CE，则CE⊥AB.
∴∠CEO为二面角αABβ的平面角，
即∠CEO=45°.
设CD=a,则CE=,∵CO⊥OE，OC=OE，
∴CO=.∵CO⊥DO,∴sin∠CDO=.
∴∠CDO=30°,即DC与β成30°角.
点评：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面α内找一点C，作另一个半平面β的垂线，垂足为O,然后通过垂足O作棱AB的垂线，垂足为E,连接AE,则∠CEO为二面角α-AB-β的平面角.这一过程要求学生熟记.
思路2
例1 如图11，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.
图11
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求点A到平面PBD的距离；
（3）求二面角APBD的余弦值.
（1）证明：设AC与BD交于点O，连接PO,
∵底面ABCD是菱形,∴BD⊥AC.
∵PA⊥底面ABCD,BD平面ABCD,∴的PA⊥BD.
又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.
又∵BD平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC.
(2)解：作AE⊥PO于点E,∵平面PBD⊥平面PAC,∴AE⊥平面PBD.
∴AE为点A到平面PBD的距离.
在△PAO中,PA=2,AO=2·cs30°=,∠PAO=90°,
∵PO=,∴AE=.
∴点A到平面PBD的距离为.
3）解：作AF⊥PB于点F,连接EF,
∵AE⊥平面PBD,∴AE⊥PB.
∴PB⊥平面AEF,PB⊥EF.
∴∠AFE为二面角APBD的平面角.
在Rt△AEF中,AE=,AF=,
∴sin∠AFE=,cs∠AFE=.
∴二面角APBD的余弦值为.
变式训练
如图12，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥CD；
（3）若二面角PDCA=45°，求证：MN⊥平面PDC.
图12 图13
证明：如图13所示,
（1）取PD的中点Q，连接AQ、NQ,则QNDC,AMDC,
∴QNAM.
∴四边形AMNQ是平行四边形.∴MN∥AQ.
又∵MN平面PAD,AQ平面PAD,∴MN∥平面PAD.
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.
又∵AQ平面PAD,∴CD⊥AQ.
又∵AQ∥MN,∴MN⊥CD.
（3）由（2）知，CD⊥平面PAD,
∴CD⊥AD,CD⊥PD.
∴∠PDA是二面角PDCA的平面角.∴∠PDA=45°.
又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.∴AQ⊥PD.
又∵MN∥AQ,∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PD,∴MN⊥平面PDC.
例2 如图14,已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°,AD=AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.
图14
（1）求证：直线MF∥平面ABCD；
（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1；
（3）求平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小.
（1）证明：延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.
∵F是BB1的中点，
∴F为C1N的中点，B为CN的中点.
又M是线段AC1的中点，故MF∥AN.
又∵MF平面ABCD,AN平面ABCD,
∴MF∥平面ABCD.
（2）证明：连接BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1,可知AA1⊥平面ABCD,
又∵BD平面ABCD，∴A1A⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.
又∵AC∩A1A=A,AC、A1A平面ACC1A1,
∴BD⊥平面ACC1A1.
在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，
∴四边形DANB为平行四边形.
故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1.
又∵NA平面AFC1,
∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.
（3）解：由（2）,知BD⊥平面ACC1A1，又AC1平面ACC1A1，∴BD⊥AC1.
∵BD∥NA，∴AC1⊥NA.
又由BD⊥AC,可知NA⊥AC，
∴∠C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角或补角.
在Rt△C1AC中，tan∠C1AC=，故∠C1AC=30°.
∴平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°.
变式训练
如图15所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，且AB=2，SC=SD=2.
图15
（1）求证：平面SAD⊥平面SBC；
（2）设BC=x，BD与平面SBC所成的角为α，求sinα的取值范围.
（1）证明：在△SDC中，∵SC=SD=，CD=AB=2,
∴∠DSC=90°,即DS⊥SC.
∵底面ABCD是矩形,∴BC⊥CD.
又∵平面SDC⊥平面ABCD,∴BC⊥面SDC.
∴DS⊥BC.∴DS⊥平面SBC.
∵DS平面SAD,∴平面SAD⊥平面SBC.
（2）解：由（1）,知DS⊥平面SBC,∴SB是DB在平面SBC上的射影.
∴∠DBS就是BD与平面SBC所成的角，即∠DBS=α.
那么sinα=.
∵BC=x,CD=2DB=,∴sinα=.
由0＜x＜+∞,得0＜sinα＜.
（五）知能训练
课本本节练习.
（六）拓展提升
如图16，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点.
图16
（1）求证：EN∥平面PCD；
（2）求证：平面PBC⊥平面ADMN；
（3）求平面PAB与平面ABCD所成二面角的正切值.
(1)证明：∵AD∥BC,BC面PBC,AD面PBC,
∴AD∥面PBC.又面ADN∩面PBC=MN,
∴AD∥MN.∴MN∥BC.
∴点M为PC的中点.∴MNBC.
又E为AD的中点，∴四边形DENM为平行四边形.
∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.
（2）证明：连接PE、BE,∵四边形ABCD为边长为2的菱形，且∠BAD=60°,
∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD,∴AD⊥面PBE.∴AD⊥PB.
又∵PA=AB且N为PB的中点,
∴AN⊥PB.∴PB⊥面ADMN.
∴平面PBC⊥平面ADMN.
（3）解：作EF⊥AB，连接PF，∵PE⊥平面ABCD,∴AB⊥PF.
∴∠PFE就是平面PAB与平面ABCD所成二面角的平面角.
又在Rt△AEB中，BE=，AE=1，AB=2,∴EF=.
又∵PE=,∴tan∠PFE==2,
即平面PAB与平面ABCD所成的二面角的正切值为2.
（七）课堂小结
知识总结：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.
思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.
（八）作业
课本习题2.3 A组1、2、3.
§2.3.3 直线与平面垂直的性质
一、教材分析
空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用.本节重点是在巩固线线垂直和面面垂直的基础上，讨论直线与平面垂直的性质定理的应用.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）使学生掌握直线与平面垂直的性质定理；
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面的判定定理和性质定理间的相互关系.
2．过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；
3．情感、态度与价值观
通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.
三、教学重点与难点
直线与平面垂直的性质定理及其应用.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）复习
直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线和平面垂直的画法及表示如下：
图1
如图1，表示方法为：a⊥α.
由直线与平面垂直的定义不难得出：b⊥a.
（二）导入新课
思路1.(情境导入)
大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》，在广阔的西北平原上，矗立着一排排白杨树，它们像哨兵一样守卫着祖国疆土.一排排的白杨树，它们都垂直地面，那么它们之间的位置关系如何呢？
思路2.(事例导入)
如图2，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？
图2
（三）推进新课、新知探究、提出问题
①回忆空间两直线平行的定义.
②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？
③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系.
④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理.
⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？
讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法.
②如图3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面.
图3
③如图4，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？
图4 图5
棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD，它们之间互相平行.
④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：
垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行.
直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：b∥a.
直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图5.
⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系.
（四）应用示例
思路1
例1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行.
解:已知a⊥α,b⊥α.
求证：a∥b.
图6
证明：（反证法）如图6，假定a与b不平行，且b∩α=O,作直线b′，使O∈b′,a∥b′.
直线b′与直线b确定平面β，设α∩β=c,则O∈c.
∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c.
∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,bβ,b′β,
a∥b′显然不可能，因此b∥a.
例2 如图7，已知α∩β=l,EA⊥α于点A,EB⊥β于点B,aα,a⊥AB.
求证:a∥l.
图7
证明：l⊥平面EAB.
又∵aα,EA⊥α,∴a⊥EA.
又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB.
∴a∥l.
思路2
例1 如图8,已知直线a⊥b，b⊥α，aα.
求证：a∥α.
图8
证明：在直线a上取一点A，过A作b′∥b，则b′必与α相交，设交点为B，过相交直线a、b′作平面β，设α∩β=a′,
∵b′∥b，a⊥b,∴a⊥b′.∵b⊥α，b′∥b,
∴b′⊥α.
又∵a′α,∴b′⊥a′.
由a，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′.∴a∥α.
例2 如图9，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°，求证:MN⊥面PCD.
图9
证明：(1)取PD中点E,又N为PC中点,连接NE,则NE∥CD,NE=CD.
又∵AM∥CD,AM=CD,
∴AMNE.
∴四边形AMNE为平行四边形.
∴MN∥AE.
∵CD⊥AE.
(2)当∠PDA=45°时,Rt△PAD为等腰直角三角形,
则AE⊥PD.又MN∥AE,
∴MN⊥PD,PD∩CD=D.
∴MN⊥平面PCD.
变式训练
已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线，而直线l和平面α相交，并且和a、b、c三条直线成等角.求证：l⊥α.
证明：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO=BO=CO.设l经过O，在l上取一点P，在△POA、△POB、△POC中，
∵PO=PO=PO，AO=BO=CO，∠POA=∠POB=∠POC，
∴△POA≌△POB≌△POC.
∴PA=PB=PC.取AB的中点D,
连接OD、PD，则OD⊥AB，PD⊥AB.
∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD.
∵PO平面POD,∴PO⊥AB.
同理,可证PO⊥BC.
∵ABα，BCα，AB∩BC=B,∴PO⊥α，即l⊥α.
若l不经过点O时，可经过点O作l′∥l.用上述方法证明l′⊥α，
∴l⊥α.
（五）知能训练
如图10，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,
（1）求证：BD1⊥平面B1AC;
（2）求B到平面B1AC的距离.
图10
（1）证明：∵AB⊥B1C，BC1⊥B1C,∴B1C⊥面ABC1D1.
又BD1面ABC1D1,∴B1C⊥BD1.
∵B1B⊥AC，BD⊥AC,
∴AC⊥面BB1D1D.又BD1面BB1D1D,∴AC⊥BD1.
∴BD1⊥平面B1AC.
（2）解:∵O∈BD,∴连接OB1交BD1于E.
又O∈AC，∴OB1面B1AC.
∴BE⊥OE，且BE即为所求距离.
∵,∴BE=·OB=.
（六）拓展提升
已知在梯形ABCD中，AB∥CD，CD在平面α内，AB∶CD=4∶6，AB到α的距离为10 cm，求梯形对角线的交点O到α的距离.
图11
解：如图所示，过B作BE⊥α交α于点E，连接DE,
过O作OF⊥DE交DE于点F,
∵AB∥CD，ABα，CDα，∴AB∥α.又BE⊥α,
∴BE即为AB到α的距离，BE=10 cm且∠BED=90°.
∵OF⊥DE,∴OF∥BE,得.
∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD.
∴，得.
又，BE=10 cm,
∴OF=×10=6（cm）.
∵OF∥BE，BE⊥α.
∴OF⊥α，即OF即为所求距离为6 cm.
（七）课堂小结
知识总结：利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.
思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.
（八）作业
课本习题2.3 B 组1、2.
§2.3.4 平面与平面垂直的性质
一、教材分析
空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：（1）它是立体几何中最难、最“高级”的定理.(2)它往往又是一个复杂问题的开端，即先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题.因此，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）使学生掌握平面与平面垂直的性质定理；
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.
2．过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；
3．情感、态度与价值观
通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.
三、教学重点与难点
教学重点:平面与平面垂直的性质定理.
教学难点:平面与平面性质定理的应用.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）复习
（1）面面垂直的定义.
如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.
（2）面面垂直的判定定理.
两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
两个平面垂直的判定定理符号表述为：α⊥β.
两个平面垂直的判定定理图形表述为：
图1
（二）导入新课
思路1.(情境导入)
黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
思路2.(事例导入)
如图2，长方体ABCD—A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平面ABCD垂直,直线A′A垂直于其交线AD.平面A′ADD′内的直线A′A与平面ABCD垂直吗？
图2
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①如图3,若α⊥β,α∩β=CD,ABα,AB⊥CD,AB∩CD=B.
请同学们讨论直线AB与平面β的位置关系.
图3
②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明.
③设平面α⊥平面β,点P∈α,P∈a,a⊥β,请同学们讨论直线a与平面α的关系.
④分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点.
⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀.
活动:问题①引导学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β的关系.
问题②引导学生进行语言转换.
问题③引导学生作图或借助模型探究得出直线a与平面α的关系.
问题④引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点.
问题⑤引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀.
讨论结果：①通过学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β垂直,如图3.
②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.
两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图4.
图4
两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：AB⊥β.
两个平面垂直的性质定理证明过程如下：
图5
如图5，已知α⊥β,α∩β=a,ABα，AB⊥a于B.
求证：AB⊥β.
证明：在平面β内作BE⊥CD垂足为B,则∠ABE就是二面角αCDβ的平面角.
由α⊥β,可知AB⊥BE.又AB⊥CD，BE与CD是β内两条相交直线,∴AB⊥β.
③问题③也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为：
求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.下面给出证明.
如图6,已知α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.求证：aα.
图6
证明：设α∩β=c，过点P在平面α内作直线b⊥c，
∵α⊥β,∴b⊥β.而a⊥β，P∈a,
∵经过一点只能有一条直线与平面β垂直,∴直线a应与直线b重合.那么aα.
利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b，不易想到，二是证明直线b和直线a重合，相对容易些.点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上.
④我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁，而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最重要的定理.
⑤应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.
（四）应用示例
思路1
例1 如图7，已知α⊥β，a⊥β,aα,试判断直线a与平面α的位置关系.
图7
解:在α内作垂直于α与β交线的垂线b,
∵α⊥β,
∴b⊥β.
∵a⊥β,
∴a∥b.
∵aα,
∴a∥α.
变式训练
如图8,已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线b.求证：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ.
图8 图9
证明：如图9,
(1)设α∩γ=AB，β∩γ=AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC.
∵γ⊥α，∴PM⊥α.而aα，∴PM⊥a.
同理,PN⊥a.又PMγ，PNγ，∴a⊥γ.
(2)在a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2.∵b∥α，∴b∥a1.
同理,b∥a2.
∵a1、a2同过Q且平行于b，∴a1、a2重合.
又a1α，a2β，∴a1、a2都是α、β的交线，即都重合于a.
∵b∥a1，∴b∥a.而a⊥γ，∴b⊥γ.
点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑利用性质定理，其口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.
例2 如图10，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.
图10 图11
（1）证明侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；
（3）求直线AB与平面PCD的距离.
（1）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB,
又∵面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB,∴BC⊥侧面PAB.
又∵BC侧面PBC,∴侧面PAB⊥侧面PBC.
（2）解：如图11,取AB中点E，连接PE、CE,又∵△PAB是等边三角形,∴PE⊥AB.
又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD.
∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角.
PE=BA=,CE==,
在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求.
（3）解：在矩形ABCD中，AB∥CD,
∵CD侧面PCD，AB侧面PCD，∴AB∥侧面PCD.
取CD中点F，连接EF、PF，则EF⊥AB.
又∵PE⊥AB,∴AB⊥平面PEF.又∵AB∥CD,
∴CD⊥平面PEF.∴平面PCD⊥平面PEF.
作EG⊥PF，垂足为G，则EG⊥平面PCD.
在Rt△PEF中，EG=为所求.
变式训练
如图12，斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60°角，侧面BCC1B1⊥面ABC.求平面AB1C1与底面ABC所成二面角的大小.
图12
活动:请同学考虑面BB1C1C⊥面ABC及棱长相等两个条件，师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线.
解：∵面ABC∥面A1B1C1，则面BB1C1C∩面ABC=BC,
面BB1C1C∩面A1B1C1=B1C1,∴BC∥B1C1，则B1C1∥面ABC.
设所求两面交线为AE，即二面角的棱为AE,
则B1C1∥AE，即BC∥AE.
过C1作C1D⊥BC于D，∵面BB1C1C⊥面ABC,
∴C1D⊥面ABC，C1D⊥BC.
又∠C1CD=60°,CC1=a,故CD=,即D为BC的中点.
又△ABC是等边三角形,∴BC⊥AD.
那么有BC⊥面DAC1,即AE⊥面DAC1.
故AE⊥AD，AE⊥AC1,
∠C1AD就是所求二面角的平面角.
∵C1D=a，AD=a，C1D⊥AD,故∠C1AD=45°.
点评:利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键.
思路2
例1 如图13，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC,
图13
（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；
（2）求二面角CBDA的余弦值.
（1）证明：(证法一):由题设,知AD=CD=BD,作DO⊥平面ABC，O为垂足，则OA=OB=OC.
∴O是△ABC的外心，即AB的中点.
∴O∈AB，即O∈平面ABD.
∴OD平面ABD.∴平面ABD⊥平面ABC.
(证法二):取AB中点O，连接OD、OC,
则有OD⊥AB，OC⊥AB，即∠COD是二面角CABD的平面角.
设AC=a，则OC=OD=,
又CD=AD=AC,∴CD=a.∴△COD是直角三角形，即∠COD=90°.
∴二面角是直二面角，即平面ABD⊥平面ABC.
（2）解:取BD的中点E，连接CE、OE、OC,∵△BCD为正三角形，∴CE⊥BD.
又△BOD为等腰直角三角形,∴OE⊥BD.∴∠OEC为二面角CBDA的平面角.
同（1）可证OC⊥平面ABD,∴OC⊥OE.∴△COE为直角三角形.
设BC=a，则CE=a，OE=a,∴cs∠OEC=即为所求.
变式训练
如图14，在矩形ABCD中，AB=33,BC=3，沿对角线BD把△BCD折起，使C移到C′，且C′在面ABC内的射影O恰好落在AB上.
图14
（1）求证：AC′⊥BC′；
（2）求AB与平面BC′D所成的角的正弦值；
（3）求二面角C′BDA的正切值.
（1）证明：由题意,知C′O⊥面ABD,∵C′OABC′,
∴面ABC′⊥面ABD.
又∵AD⊥AB,面ABC′∩面ABD=AB,∴AD⊥面ABC′.∴AD⊥BC′.
∵BC′⊥C′D,∴BC′⊥面AC′D.∴BC′⊥AC′.
(2)解:∵BC′⊥面AC′D,BC′面BC′D,∴面AC′D⊥面BC′D.
作AH⊥C′D于H,则AH⊥面BC′D,连接BH,则BH为AB在面BC′D上的射影,
∴∠ABH为AB与面BC′D所成的角.
又在Rt△AC′D中,C′D=33,AD=3,∴AC′=3.∴AH=.
∴sin∠ABH=,即AB与平面BC′D所成角的正弦值为.
(3)解:过O作OG⊥BD于G,连接C′G,则C′G⊥BD,则∠C′GO为二面角C′BDA的平面角.
在Rt△AC′B中,C′O=,
在Rt△BC′D中,C′G=.
∴OG==.∴tan∠C′GO=,
即二面角C′BDA的正切值为.
点评:直线与平面垂直是立体几何的核心,它是证明垂直问题和求二面角的基础,因此利用平面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线,就显得非常重要了.
例2 如图15,三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成30°角，求二面角BB1CA的正弦值.
图15
活动:可以知道，平面ABC与平面BCC1B1垂直，故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线.
解：由直三棱柱性质得平面ABC⊥平面BCC1B1，过A作AN⊥平面BCC1B1，垂足为N，则AN⊥平面BCC1B1（AN即为我们要找的垂线）,在平面BCB1内过N作NQ⊥棱B1C，垂足为Q，连接QA，则∠NQA即为二面角的平面角.
∵AB1在平面ABC内的射影为AB，CA⊥AB，
∴CA⊥B1A.AB=BB1=1，得AB1=.
∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°，B1C=2.
在Rt△B1AC中，由勾股定理,得AC=.∴AQ=1.
在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN=.
sin∠AQN==,
即二面角BB1CA的正弦值为.
变式训练
如图16，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点.
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求二面角PAMD的大小.
图16 图17
(1)证明：如图17,取CD的中点E，连接PE、EM、EA,
∵△PCD为正三角形,
∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=.
∵平面PCD⊥平面ABCD,∴PE⊥平面ABCD.
∵四边形ABCD是矩形,
∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形.
由勾股定理可求得EM=，AM=，AE=3,
∴EM2+AM2=AE2.∴AM⊥EM.
又EM是PM在平面ABCD上的射影,∴∠AME=90°.∴AM⊥PM.
(2)解:由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM,
∴∠PME是二面角PAMD的平面角.
∴tan∠PME==1.∴∠PME=45°.
∴二面角PAMD为45°.
（五）知能训练
课本本节练习.
（六）拓展提升
(2007全国高考,理18)如图18,在三棱锥S—ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,∠BAC=90°,O为BC中点.
(1)证明SO⊥平面ABC;
(2)求二面角ASCB的余弦值.
图18 图19
(1)证明：如图19,由题设,知AB=AC=SB=SC=SA.连接OA,△ABC为等腰直角三角形,所以OA=OB=OC=SA,且AO⊥BC.又△SBC为等腰三角形,故SO⊥BC,且SO=SA.
从而OA2+SO2=SA2.所以△SOA为直角三角形,SO⊥AO.
又AO∩BC=O,所以SO⊥平面ABC.
(2)解:如图19,取SC中点M,连接AM、OM,
由(1),知SO=OC,SA=AC,得OM⊥SC,AM⊥SC.
所以∠OMA为二面角ASCB的平面角.
由AO⊥BC,AO⊥SO,SO∩BC=O,得AO⊥平面SBC.
所以AO⊥OM.又AM=SA,故
sin∠AMO=.
所以二面角ASCB的余弦值为.
（七）课堂小结
知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.
思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.
（八）作业
课本习题2.3 B组3、4.
一、教材分析
空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面的垂直问题是连接线线垂直和面面垂直的桥梁和纽带，可以说线面垂直是立体几何的核心.本节重点是直线与平面垂直的判定定理的应用.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；
（2）使学生掌握直线和平面所成的角求法；
（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论.
2．过程与方法
（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；
（2）探究判定直线与平面垂直的方法.
3．情态、态度与价值观
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.
三、教学重点与难点
教学重点:直线与平面垂直的判定.
教学难点:灵活应用直线与平面垂直判定定理解决问题.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.(情境导入)
日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象.
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直.也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的.
思路2.(事例导入)
如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？举例说明.
如图1，直线AC1与直线BD、EF、GH等无数条直线垂直，但直线AC1与平面ABCD不垂直.
图1
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①探究直线与平面垂直的定义和画法.
②探究直线与平面垂直的判定定理.
③用三种语言描述直线与平面垂直的判定定理.
④探究斜线在平面内的射影，讨论直线与平面所成的角.
⑤探究点到平面的距离.
活动:问题①引导学生结合事例观察探究.
问题②引导学生结合事例实验探究.
问题③引导学生进行语言转换.
问题④引导学生思考其合理性.
问题⑤引导学生回忆点到直线的距离得出点到平面的距离.
讨论结果：①直线与平面垂直的定义和画法：
教师演示实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线都垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们直线和平面垂直的形象.从而引入概念：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足.直线和平面垂直的画法及表示如下：
如图2，表示方法为：a⊥α.
图2 图3
②如图3,请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC与桌面接触）.
(1)折痕AD与桌面垂直吗？
(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面α垂直？
容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在的平面α垂直.
如图4.
(1) (2)
图4
所以，当折痕AD垂直平面内的一条直线时，折痕AD与平面α不垂直，当折痕AD垂直平面内的两条直线时，折痕AD与平面α垂直.
③直线和平面垂直的判定定理用文字语言表示为：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
直线和平面垂直的判定定理用符号语言表示为：l⊥α.
直线和平面垂直的判定定理用图形语言表示为：如图5,
图5 图6
④斜线在平面内的射影.
斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线.
斜足：斜线和平面的交点.
斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
直线与平面相交，直线与平面的相互位置类同于两条相交直线，也需要用角来表示，但过交点在平面内可以作很多条直线.与平面相交的直线l与平面内的线a、b…所成的角是不相等的.为了定义的确定性，我们必须找到一些角中有确定值的，又能准确描述其位置的一个角，这就是由斜线与其在平面内的射影所成的锐角作为直线和平面所成的角.
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
特别地：如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角.
一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角为0°.如图6，l是平面α的一条斜线，点O是斜足，A是l上任意一点，AB是α的垂线，点B是垂足，所以直线OB（记作l′）是l在α内的射影，∠AOB（记作θ）是l与α所成的角.
直线和平面所成的角是一个非常重要的概念，在实际中有着广泛的应用，如发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多少度时，才能准确地命中目标，也即射程为多远？又如铅球运动员在投掷时，以多大的角度投掷，投出的距离最远？
⑤点到平面的距离:经过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，点在平面内的射影还是一个点.
垂线段：上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.
点到平面的距离：垂线段的长叫做点到平面的距离.
（三）应用示例
思路1
例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.
解：已知a∥b，a⊥α.求证：b⊥α.
图7
证明：如图7,在平面α内作两条相交直线m、n，设m∩n=A.
************
变式训练
如图8,已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC.
图8
证明：过P作PO⊥平面ABC于O，连接OA、OB、OC.
∵PO⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴PO⊥BC.
又∵PA⊥BC，∴BC⊥平面PAO.
又∵OA平面PAO，∴BC⊥OA.
同理,可证AB⊥OC.∴O是△ABC的垂心.
∴OB⊥AC.可证PO⊥AC.
∴AC⊥平面PBO.
又PB平面PBO，∴PB⊥AC.
点评：欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为线面垂直.用符号语言证明问题显得清晰、简洁.
例2 如图9,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
图9
活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
解：连接BC1交B1C于点O，连接A1O.
设正方体的棱长为a，
因为A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以A1B1⊥平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1.
又因为BC1⊥B1C，所以BC1⊥平面A1B1CD.
所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，∠BA1O为直线A1B与平面A1B1CD所成的角.
在Rt△A1BO中,A1B=,BO=,所以BO=,∠BA1O=30°.
因此,直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.
变式训练
如图10，四面体A—BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.
图10
解：过A作AO⊥面BCD，连接OD、OB、OC，则可证O是△BCD的中心,
作QP⊥OD,
∵QP∥AO,∴QP⊥面BCD.
连接CP，则∠QCP即为所求的角.
设四面体的棱长为a，
∵在正△ACD中，Q是AD的中点,∴CQ=.
∵QP∥AO，Q是AD的中点,
∴QP=，得
sin∠QCP=.
点评：求直线与平面所成的角，是本节的又一重点，作线面角的关键是找出平面的垂线.
思路2
例1 （2007山东高考,文20）如图11(1)，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.
(1)
（1）求证：D1C⊥AC1；
（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由.
（1）证明：在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，
连接C1D，如图11(2).
(2)
∵DC=DD1，
∴四边形DCC1D1是正方形.
∴DC1⊥D1C.
又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1=D,
∴AD⊥平面DCC1D1，D1C平面DCC1D1.
∴AD⊥D1C.
∵AD、DC1平面ADC1，且AD∩DC1=D,
∴D1C⊥平面ADC1.
又AC1平面ADC1，∴D1C⊥AC1.
(2)解：连接AD1、AE，如图11(3).
(3)
图11
设AD1∩A1D=M,
BD∩AE=N,连接MN，
∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，
要使D1E∥平面A1BD，
需使MN∥D1E，
又M是AD1的中点，
∴N是AE的中点.
又易知△ABN≌△EDN，
∴AB=DE,
即E是DC的中点.
综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.
变式训练
如图12，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心.
求证：A1O⊥平面GBD.
图12
证明：BD⊥A1O.
又∵A1O2=A1A2+AO2=a2+()2=,OG2=OC2+CG2=()2+()2=,
A1G2=A1C12+C1G2=(a)2+()2=,
∴A1O2+OG2=A1G2.
∴A1O⊥OG.又BD∩OG=O,∴A1O⊥平面GBD.
点评：判断线面垂直往往转化为线线垂直，勾股定理也是证明线线垂直的重要方法.
例2 如图13，ABCD为正方形，过A作线段SA⊥面ABCD，又过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求证：E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影.
图13
证明：∵SA⊥BC,
又∵AB⊥BC,SA∩AB=A,
∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.
∵SC⊥平面AHKE,∴SC⊥AE.
又BC∩SC=C,∴AE⊥平面SBC.
∴AE⊥SB,即E为A在SB上的射影.同理可证,H是点A在SD上的射影.
变式训练
已知Rt△ABC的斜边BC在平面α内，两直角边AB、AC与α都斜交，点A在平面α内的射影是点A′，求证：∠BA′C是钝角.
证明：如图14，过A作AD⊥BC于D，连接A′D，
图14
∵AA′⊥α，BCα，∴AA′⊥BC.
∴BC⊥A′D.
∵tan∠BAD=＜tan∠BA′D=，tan∠CAD=＜tan∠CA′D=，
∴∠BAD＜∠BA′D，∠CAD＜∠CA′D.
∴∠BAC＜∠BA′C，即∠BA′C是钝角.
（四）知能训练
如图15，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，线段AB与两异面直线a、b垂直且相交，线段AB的长为定值m，定长为n（n＞m）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点.
图15
求证：（1）AB⊥MN；
（2）MN的长是定值.
证明：(1)取PB中点H,连接HN,则HN∥b.
又∵AB⊥b,∴AB⊥HN.
同理,AB⊥MH.
∴AB⊥平面MNH.∴AB⊥MN.
(2)∵b⊥平面PAB.∴b⊥PB.
在Rt△PBQ中,BQ2=PQ2-PB2=n2-PB2, ①
在Rt△PBA中,PA2=PB2-AB2=PB2-m2, ②
①②两式相加PA2+BQ2=n2-m2,∵a⊥b,∴∠MHN=90°.
∴MN=(定值).
（五）拓展提升
1.如图16，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,点D是AB的中点.
图16
（1）求证：AC⊥BC1;
（2）求证：AC1∥平面CDB1；
（1）证明：∵在△ABC中,AC=3,AB=5,BC=4,
∴△ABC为直角三角形.∴AC⊥CB.
又∵CC1⊥面ABC,AC面ABC,∴AC⊥CC1.
∴AC⊥面BCC1B1.又BC1面BCC1B1,∴AC⊥BC1.
（2）证明：连接B1C交BC1于E，则E为BC1的中点，连接DE,则在△ABC1中,DE∥AC1.
又DE面CDB1,则AC1∥面B1CD.
（六）课堂小结
知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.
思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.
（七）作业
课本习题2.2 B组3、4.
§2.3.2 平面与平面垂直的判定
一、教材分析
在空间平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的定义是通过二面角给出的，二面角是高考中的重点和难点.使学生掌握两个平面互相垂直的判定，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生学会多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.
2．过程与方法
（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.
3．情态、态度与价值观
通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.
三、教学重点与难点
教学重点:平面与平面垂直判定.
教学难点:平面与平面垂直判定和求二面角.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）复习
两平面的位置关系：
（1）如果两个平面没有公共点，则两平面平行若α∩β=,则α∥β.
（2）如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若α∩β=AB,则α与β相交.
两平面平行与相交的图形表示如图1.
图1
（二）导入新课
思路1.(情境导入)
为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角.修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度.为此，我们引入二面角的概念，研究两个平面所成的角.
思路2.(直接导入)
前边举过门和墙所在平面的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？今天我们一起来探究两个平面所成角问题.
（三）推进新课、新知探究、提出问题
①二面角的有关概念、画法及表示方法.
②二面角的平面角的概念.
③两个平面垂直的定义.
④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理，并给出证明.
⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里？
讨论结果：①二面角的有关概念.
二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.
二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图2（教师和学生共同动手）.
直立式： 平卧式：
(1) (2)
图2
二面角的表示方法：如图3中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α-AB-β.有时为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.
图3
如果棱为l，则这个二面角记作αlβ或PlQ.
②二面角的平面角的概念.
如图4,在二面角αlβ的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.
图4
再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′，则它们组成角∠A′O′B′.
因为OA∥O′A′,OB∥O′B′，所以∠AOB及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同,
即∠AOB=∠A′O′B′.
从上述结论说明了：按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关.
由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
图中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角.
③直二面角的定义.
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的.
两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角.
两个平面互相垂直的定义可表述为：
如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.
直二面角的画法：如图5.
图5
④两个平面垂直的判定定理.
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
两个平面垂直的判定定理符号表述为：α⊥β.
两个平面垂直的判定定理图形表述为：如图6.
图6
证明如下：
已知AB⊥β，AB∩β=B，ABα.
求证：α⊥β.
分析：要证α⊥β,需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.
证明：设α∩β=CD，则由ABα,知AB、CD共面.
∵AB⊥β，CDβ,∴AB⊥CD，垂足为点B.
在平面β内过点B作直线BE⊥CD,
则∠ABE是二面角αCDβ的平面角.
又AB⊥BE，即二面角αCDβ是直二面角,
∴α⊥β.
⑤应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直.
（四）应用示例
思路1
例1 如图7,⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点.
图7
求证：平面PAC⊥平面PBC.
证明：设⊙O所在平面为α,由已知条件，PA⊥α,BCα,∴PA⊥BC.
∵C为圆周上不同于A、B的任意一点,AB是⊙O的直径,
∴BC⊥AC.
又∵PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，
∴BC⊥平面PAC.
∵BC平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC.
变式训练
如图8，把等腰Rt△ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC，
图8
（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；
（2）求二面角CBDA的余弦值.
（1）证明：由题设,知AD=CD=BD,
作DO⊥平面ABC，O为垂足，则OA=OB=OC.
∴O是△ABC的外心，即AB的中点.
∴O∈AB，即O∈平面ABD.
∴OD平面ABD.
∴平面ABD⊥平面ABC.
（2）解:取BD的中点E，连接CE、OE、OC,
∵△BCD为正三角形，∴CE⊥BD.
又△BOD为等腰直角三角形,∴OE⊥BD.
∴∠OEC为二面角CBDA的平面角.
同（1）可证OC⊥平面ABD.
∴OC⊥OE.∴△COE为直角三角形.
设BC=a，则CE=，OE=，∴cs∠OEC=.
点评：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线.
例2 如图9所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m时人升高了多少？（精确到0.1 m）
图9
解：取CD上一点E，设CE=10 m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度.
在河堤斜面内，作EF⊥AB，垂足为F，并连接FG,
则FG⊥AB,即∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成二面角的平面角,
∠EFG=60°,由此,得EG=EFsin60°=CEsin30°sin60°=10×≈4.3（m）.
答：沿直道行走到10 m时人升高约4.3 m.
变式训练
已知二面角αABβ等于45°，CDα，D∈AB，∠CDB=45°.求CD与平面β所成的角.
解：如图10，作CO⊥β交β于点O，连接DO，则∠CDO为DC与β所成的角.
图10
过点O作OE⊥AB于E，连接CE，则CE⊥AB.
∴∠CEO为二面角αABβ的平面角，
即∠CEO=45°.
设CD=a,则CE=,∵CO⊥OE，OC=OE，
∴CO=.∵CO⊥DO,∴sin∠CDO=.
∴∠CDO=30°,即DC与β成30°角.
点评：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面α内找一点C，作另一个半平面β的垂线，垂足为O,然后通过垂足O作棱AB的垂线，垂足为E,连接AE,则∠CEO为二面角α-AB-β的平面角.这一过程要求学生熟记.
思路2
例1 如图11，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.
图11
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求点A到平面PBD的距离；
（3）求二面角APBD的余弦值.
（1）证明：设AC与BD交于点O，连接PO,
∵底面ABCD是菱形,∴BD⊥AC.
∵PA⊥底面ABCD,BD平面ABCD,∴的PA⊥BD.
又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.
又∵BD平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC.
(2)解：作AE⊥PO于点E,∵平面PBD⊥平面PAC,∴AE⊥平面PBD.
∴AE为点A到平面PBD的距离.
在△PAO中,PA=2,AO=2·cs30°=,∠PAO=90°,
∵PO=,∴AE=.
∴点A到平面PBD的距离为.
3）解：作AF⊥PB于点F,连接EF,
∵AE⊥平面PBD,∴AE⊥PB.
∴PB⊥平面AEF,PB⊥EF.
∴∠AFE为二面角APBD的平面角.
在Rt△AEF中,AE=,AF=,
∴sin∠AFE=,cs∠AFE=.
∴二面角APBD的余弦值为.
变式训练
如图12，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥CD；
（3）若二面角PDCA=45°，求证：MN⊥平面PDC.
图12 图13
证明：如图13所示,
（1）取PD的中点Q，连接AQ、NQ,则QNDC,AMDC,
∴QNAM.
∴四边形AMNQ是平行四边形.∴MN∥AQ.
又∵MN平面PAD,AQ平面PAD,∴MN∥平面PAD.
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.
又∵AQ平面PAD,∴CD⊥AQ.
又∵AQ∥MN,∴MN⊥CD.
（3）由（2）知，CD⊥平面PAD,
∴CD⊥AD,CD⊥PD.
∴∠PDA是二面角PDCA的平面角.∴∠PDA=45°.
又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.∴AQ⊥PD.
又∵MN∥AQ,∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PD,∴MN⊥平面PDC.
例2 如图14,已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°,AD=AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.
图14
（1）求证：直线MF∥平面ABCD；
（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1；
（3）求平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小.
（1）证明：延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.
∵F是BB1的中点，
∴F为C1N的中点，B为CN的中点.
又M是线段AC1的中点，故MF∥AN.
又∵MF平面ABCD,AN平面ABCD,
∴MF∥平面ABCD.
（2）证明：连接BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1,可知AA1⊥平面ABCD,
又∵BD平面ABCD，∴A1A⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.
又∵AC∩A1A=A,AC、A1A平面ACC1A1,
∴BD⊥平面ACC1A1.
在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，
∴四边形DANB为平行四边形.
故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1.
又∵NA平面AFC1,
∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.
（3）解：由（2）,知BD⊥平面ACC1A1，又AC1平面ACC1A1，∴BD⊥AC1.
∵BD∥NA，∴AC1⊥NA.
又由BD⊥AC,可知NA⊥AC，
∴∠C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角或补角.
在Rt△C1AC中，tan∠C1AC=，故∠C1AC=30°.
∴平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°.
变式训练
如图15所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，且AB=2，SC=SD=2.
图15
（1）求证：平面SAD⊥平面SBC；
（2）设BC=x，BD与平面SBC所成的角为α，求sinα的取值范围.
（1）证明：在△SDC中，∵SC=SD=，CD=AB=2,
∴∠DSC=90°,即DS⊥SC.
∵底面ABCD是矩形,∴BC⊥CD.
又∵平面SDC⊥平面ABCD,∴BC⊥面SDC.
∴DS⊥BC.∴DS⊥平面SBC.
∵DS平面SAD,∴平面SAD⊥平面SBC.
（2）解：由（1）,知DS⊥平面SBC,∴SB是DB在平面SBC上的射影.
∴∠DBS就是BD与平面SBC所成的角，即∠DBS=α.
那么sinα=.
∵BC=x,CD=2DB=,∴sinα=.
由0＜x＜+∞,得0＜sinα＜.
（五）知能训练
课本本节练习.
（六）拓展提升
如图16，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点.
图16
（1）求证：EN∥平面PCD；
（2）求证：平面PBC⊥平面ADMN；
（3）求平面PAB与平面ABCD所成二面角的正切值.
(1)证明：∵AD∥BC,BC面PBC,AD面PBC,
∴AD∥面PBC.又面ADN∩面PBC=MN,
∴AD∥MN.∴MN∥BC.
∴点M为PC的中点.∴MNBC.
又E为AD的中点，∴四边形DENM为平行四边形.
∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.
（2）证明：连接PE、BE,∵四边形ABCD为边长为2的菱形，且∠BAD=60°,
∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD,∴AD⊥面PBE.∴AD⊥PB.
又∵PA=AB且N为PB的中点,
∴AN⊥PB.∴PB⊥面ADMN.
∴平面PBC⊥平面ADMN.
（3）解：作EF⊥AB，连接PF，∵PE⊥平面ABCD,∴AB⊥PF.
∴∠PFE就是平面PAB与平面ABCD所成二面角的平面角.
又在Rt△AEB中，BE=，AE=1，AB=2,∴EF=.
又∵PE=,∴tan∠PFE==2,
即平面PAB与平面ABCD所成的二面角的正切值为2.
（七）课堂小结
知识总结：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.
思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.
（八）作业
课本习题2.3 A组1、2、3.
§2.3.3 直线与平面垂直的性质
一、教材分析
空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用.本节重点是在巩固线线垂直和面面垂直的基础上，讨论直线与平面垂直的性质定理的应用.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）使学生掌握直线与平面垂直的性质定理；
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面的判定定理和性质定理间的相互关系.
2．过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；
3．情感、态度与价值观
通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.
三、教学重点与难点
直线与平面垂直的性质定理及其应用.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）复习
直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线和平面垂直的画法及表示如下：
图1
如图1，表示方法为：a⊥α.
由直线与平面垂直的定义不难得出：b⊥a.
（二）导入新课
思路1.(情境导入)
大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》，在广阔的西北平原上，矗立着一排排白杨树，它们像哨兵一样守卫着祖国疆土.一排排的白杨树，它们都垂直地面，那么它们之间的位置关系如何呢？
思路2.(事例导入)
如图2，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？
图2
（三）推进新课、新知探究、提出问题
①回忆空间两直线平行的定义.
②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？
③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系.
④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理.
⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？
讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法.
②如图3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面.
图3
③如图4，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？
图4 图5
棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD，它们之间互相平行.
④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：
垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行.
直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：b∥a.
直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图5.
⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系.
（四）应用示例
思路1
例1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行.
解:已知a⊥α,b⊥α.
求证：a∥b.
图6
证明：（反证法）如图6，假定a与b不平行，且b∩α=O,作直线b′，使O∈b′,a∥b′.
直线b′与直线b确定平面β，设α∩β=c,则O∈c.
∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c.
∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,bβ,b′β,
a∥b′显然不可能，因此b∥a.
例2 如图7，已知α∩β=l,EA⊥α于点A,EB⊥β于点B,aα,a⊥AB.
求证:a∥l.
图7
证明：l⊥平面EAB.
又∵aα,EA⊥α,∴a⊥EA.
又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB.
∴a∥l.
思路2
例1 如图8,已知直线a⊥b，b⊥α，aα.
求证：a∥α.
图8
证明：在直线a上取一点A，过A作b′∥b，则b′必与α相交，设交点为B，过相交直线a、b′作平面β，设α∩β=a′,
∵b′∥b，a⊥b,∴a⊥b′.∵b⊥α，b′∥b,
∴b′⊥α.
又∵a′α,∴b′⊥a′.
由a，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′.∴a∥α.
例2 如图9，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°，求证:MN⊥面PCD.
图9
证明：(1)取PD中点E,又N为PC中点,连接NE,则NE∥CD,NE=CD.
又∵AM∥CD,AM=CD,
∴AMNE.
∴四边形AMNE为平行四边形.
∴MN∥AE.
∵CD⊥AE.
(2)当∠PDA=45°时,Rt△PAD为等腰直角三角形,
则AE⊥PD.又MN∥AE,
∴MN⊥PD,PD∩CD=D.
∴MN⊥平面PCD.
变式训练
已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线，而直线l和平面α相交，并且和a、b、c三条直线成等角.求证：l⊥α.
证明：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO=BO=CO.设l经过O，在l上取一点P，在△POA、△POB、△POC中，
∵PO=PO=PO，AO=BO=CO，∠POA=∠POB=∠POC，
∴△POA≌△POB≌△POC.
∴PA=PB=PC.取AB的中点D,
连接OD、PD，则OD⊥AB，PD⊥AB.
∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD.
∵PO平面POD,∴PO⊥AB.
同理,可证PO⊥BC.
∵ABα，BCα，AB∩BC=B,∴PO⊥α，即l⊥α.
若l不经过点O时，可经过点O作l′∥l.用上述方法证明l′⊥α，
∴l⊥α.
（五）知能训练
如图10，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,
（1）求证：BD1⊥平面B1AC;
（2）求B到平面B1AC的距离.
图10
（1）证明：∵AB⊥B1C，BC1⊥B1C,∴B1C⊥面ABC1D1.
又BD1面ABC1D1,∴B1C⊥BD1.
∵B1B⊥AC，BD⊥AC,
∴AC⊥面BB1D1D.又BD1面BB1D1D,∴AC⊥BD1.
∴BD1⊥平面B1AC.
（2）解:∵O∈BD,∴连接OB1交BD1于E.
又O∈AC，∴OB1面B1AC.
∴BE⊥OE，且BE即为所求距离.
∵,∴BE=·OB=.
（六）拓展提升
已知在梯形ABCD中，AB∥CD，CD在平面α内，AB∶CD=4∶6，AB到α的距离为10 cm，求梯形对角线的交点O到α的距离.
图11
解：如图所示，过B作BE⊥α交α于点E，连接DE,
过O作OF⊥DE交DE于点F,
∵AB∥CD，ABα，CDα，∴AB∥α.又BE⊥α,
∴BE即为AB到α的距离，BE=10 cm且∠BED=90°.
∵OF⊥DE,∴OF∥BE,得.
∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD.
∴，得.
又，BE=10 cm,
∴OF=×10=6（cm）.
∵OF∥BE，BE⊥α.
∴OF⊥α，即OF即为所求距离为6 cm.
（七）课堂小结
知识总结：利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.
思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.
（八）作业
课本习题2.3 B 组1、2.
§2.3.4 平面与平面垂直的性质
一、教材分析
空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：（1）它是立体几何中最难、最“高级”的定理.(2)它往往又是一个复杂问题的开端，即先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题.因此，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）使学生掌握平面与平面垂直的性质定理；
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.
2．过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；
3．情感、态度与价值观
通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.
三、教学重点与难点
教学重点:平面与平面垂直的性质定理.
教学难点:平面与平面性质定理的应用.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）复习
（1）面面垂直的定义.
如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.
（2）面面垂直的判定定理.
两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
两个平面垂直的判定定理符号表述为：α⊥β.
两个平面垂直的判定定理图形表述为：
图1
（二）导入新课
思路1.(情境导入)
黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
思路2.(事例导入)
如图2，长方体ABCD—A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平面ABCD垂直,直线A′A垂直于其交线AD.平面A′ADD′内的直线A′A与平面ABCD垂直吗？
图2
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①如图3,若α⊥β,α∩β=CD,ABα,AB⊥CD,AB∩CD=B.
请同学们讨论直线AB与平面β的位置关系.
图3
②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明.
③设平面α⊥平面β,点P∈α,P∈a,a⊥β,请同学们讨论直线a与平面α的关系.
④分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点.
⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀.
活动:问题①引导学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β的关系.
问题②引导学生进行语言转换.
问题③引导学生作图或借助模型探究得出直线a与平面α的关系.
问题④引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点.
问题⑤引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀.
讨论结果：①通过学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β垂直,如图3.
②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.
两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图4.
图4
两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：AB⊥β.
两个平面垂直的性质定理证明过程如下：
图5
如图5，已知α⊥β,α∩β=a,ABα，AB⊥a于B.
求证：AB⊥β.
证明：在平面β内作BE⊥CD垂足为B,则∠ABE就是二面角αCDβ的平面角.
由α⊥β,可知AB⊥BE.又AB⊥CD，BE与CD是β内两条相交直线,∴AB⊥β.
③问题③也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为：
求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.下面给出证明.
如图6,已知α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.求证：aα.
图6
证明：设α∩β=c，过点P在平面α内作直线b⊥c，
∵α⊥β,∴b⊥β.而a⊥β，P∈a,
∵经过一点只能有一条直线与平面β垂直,∴直线a应与直线b重合.那么aα.
利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b，不易想到，二是证明直线b和直线a重合，相对容易些.点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上.
④我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁，而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最重要的定理.
⑤应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.
（四）应用示例
思路1
例1 如图7，已知α⊥β，a⊥β,aα,试判断直线a与平面α的位置关系.
图7
解:在α内作垂直于α与β交线的垂线b,
∵α⊥β,
∴b⊥β.
∵a⊥β,
∴a∥b.
∵aα,
∴a∥α.
变式训练
如图8,已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线b.求证：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ.
图8 图9
证明：如图9,
(1)设α∩γ=AB，β∩γ=AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC.
∵γ⊥α，∴PM⊥α.而aα，∴PM⊥a.
同理,PN⊥a.又PMγ，PNγ，∴a⊥γ.
(2)在a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2.∵b∥α，∴b∥a1.
同理,b∥a2.
∵a1、a2同过Q且平行于b，∴a1、a2重合.
又a1α，a2β，∴a1、a2都是α、β的交线，即都重合于a.
∵b∥a1，∴b∥a.而a⊥γ，∴b⊥γ.
点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑利用性质定理，其口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.
例2 如图10，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.
图10 图11
（1）证明侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；
（3）求直线AB与平面PCD的距离.
（1）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB,
又∵面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB,∴BC⊥侧面PAB.
又∵BC侧面PBC,∴侧面PAB⊥侧面PBC.
（2）解：如图11,取AB中点E，连接PE、CE,又∵△PAB是等边三角形,∴PE⊥AB.
又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD.
∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角.
PE=BA=,CE==,
在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求.
（3）解：在矩形ABCD中，AB∥CD,
∵CD侧面PCD，AB侧面PCD，∴AB∥侧面PCD.
取CD中点F，连接EF、PF，则EF⊥AB.
又∵PE⊥AB,∴AB⊥平面PEF.又∵AB∥CD,
∴CD⊥平面PEF.∴平面PCD⊥平面PEF.
作EG⊥PF，垂足为G，则EG⊥平面PCD.
在Rt△PEF中，EG=为所求.
变式训练
如图12，斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60°角，侧面BCC1B1⊥面ABC.求平面AB1C1与底面ABC所成二面角的大小.
图12
活动:请同学考虑面BB1C1C⊥面ABC及棱长相等两个条件，师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线.
解：∵面ABC∥面A1B1C1，则面BB1C1C∩面ABC=BC,
面BB1C1C∩面A1B1C1=B1C1,∴BC∥B1C1，则B1C1∥面ABC.
设所求两面交线为AE，即二面角的棱为AE,
则B1C1∥AE，即BC∥AE.
过C1作C1D⊥BC于D，∵面BB1C1C⊥面ABC,
∴C1D⊥面ABC，C1D⊥BC.
又∠C1CD=60°,CC1=a,故CD=,即D为BC的中点.
又△ABC是等边三角形,∴BC⊥AD.
那么有BC⊥面DAC1,即AE⊥面DAC1.
故AE⊥AD，AE⊥AC1,
∠C1AD就是所求二面角的平面角.
∵C1D=a，AD=a，C1D⊥AD,故∠C1AD=45°.
点评:利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键.
思路2
例1 如图13，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC,
图13
（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；
（2）求二面角CBDA的余弦值.
（1）证明：(证法一):由题设,知AD=CD=BD,作DO⊥平面ABC，O为垂足，则OA=OB=OC.
∴O是△ABC的外心，即AB的中点.
∴O∈AB，即O∈平面ABD.
∴OD平面ABD.∴平面ABD⊥平面ABC.
(证法二):取AB中点O，连接OD、OC,
则有OD⊥AB，OC⊥AB，即∠COD是二面角CABD的平面角.
设AC=a，则OC=OD=,
又CD=AD=AC,∴CD=a.∴△COD是直角三角形，即∠COD=90°.
∴二面角是直二面角，即平面ABD⊥平面ABC.
（2）解:取BD的中点E，连接CE、OE、OC,∵△BCD为正三角形，∴CE⊥BD.
又△BOD为等腰直角三角形,∴OE⊥BD.∴∠OEC为二面角CBDA的平面角.
同（1）可证OC⊥平面ABD,∴OC⊥OE.∴△COE为直角三角形.
设BC=a，则CE=a，OE=a,∴cs∠OEC=即为所求.
变式训练
如图14，在矩形ABCD中，AB=33,BC=3，沿对角线BD把△BCD折起，使C移到C′，且C′在面ABC内的射影O恰好落在AB上.
图14
（1）求证：AC′⊥BC′；
（2）求AB与平面BC′D所成的角的正弦值；
（3）求二面角C′BDA的正切值.
（1）证明：由题意,知C′O⊥面ABD,∵C′OABC′,
∴面ABC′⊥面ABD.
又∵AD⊥AB,面ABC′∩面ABD=AB,∴AD⊥面ABC′.∴AD⊥BC′.
∵BC′⊥C′D,∴BC′⊥面AC′D.∴BC′⊥AC′.
(2)解:∵BC′⊥面AC′D,BC′面BC′D,∴面AC′D⊥面BC′D.
作AH⊥C′D于H,则AH⊥面BC′D,连接BH,则BH为AB在面BC′D上的射影,
∴∠ABH为AB与面BC′D所成的角.
又在Rt△AC′D中,C′D=33,AD=3,∴AC′=3.∴AH=.
∴sin∠ABH=,即AB与平面BC′D所成角的正弦值为.
(3)解:过O作OG⊥BD于G,连接C′G,则C′G⊥BD,则∠C′GO为二面角C′BDA的平面角.
在Rt△AC′B中,C′O=,
在Rt△BC′D中,C′G=.
∴OG==.∴tan∠C′GO=,
即二面角C′BDA的正切值为.
点评:直线与平面垂直是立体几何的核心,它是证明垂直问题和求二面角的基础,因此利用平面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线,就显得非常重要了.
例2 如图15,三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成30°角，求二面角BB1CA的正弦值.
图15
活动:可以知道，平面ABC与平面BCC1B1垂直，故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线.
解：由直三棱柱性质得平面ABC⊥平面BCC1B1，过A作AN⊥平面BCC1B1，垂足为N，则AN⊥平面BCC1B1（AN即为我们要找的垂线）,在平面BCB1内过N作NQ⊥棱B1C，垂足为Q，连接QA，则∠NQA即为二面角的平面角.
∵AB1在平面ABC内的射影为AB，CA⊥AB，
∴CA⊥B1A.AB=BB1=1，得AB1=.
∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°，B1C=2.
在Rt△B1AC中，由勾股定理,得AC=.∴AQ=1.
在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN=.
sin∠AQN==,
即二面角BB1CA的正弦值为.
变式训练
如图16，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点.
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求二面角PAMD的大小.
图16 图17
(1)证明：如图17,取CD的中点E，连接PE、EM、EA,
∵△PCD为正三角形,
∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=.
∵平面PCD⊥平面ABCD,∴PE⊥平面ABCD.
∵四边形ABCD是矩形,
∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形.
由勾股定理可求得EM=，AM=，AE=3,
∴EM2+AM2=AE2.∴AM⊥EM.
又EM是PM在平面ABCD上的射影,∴∠AME=90°.∴AM⊥PM.
(2)解:由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM,
∴∠PME是二面角PAMD的平面角.
∴tan∠PME==1.∴∠PME=45°.
∴二面角PAMD为45°.
（五）知能训练
课本本节练习.
（六）拓展提升
(2007全国高考,理18)如图18,在三棱锥S—ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,∠BAC=90°,O为BC中点.
(1)证明SO⊥平面ABC;
(2)求二面角ASCB的余弦值.
图18 图19
(1)证明：如图19,由题设,知AB=AC=SB=SC=SA.连接OA,△ABC为等腰直角三角形,所以OA=OB=OC=SA,且AO⊥BC.又△SBC为等腰三角形,故SO⊥BC,且SO=SA.
从而OA2+SO2=SA2.所以△SOA为直角三角形,SO⊥AO.
又AO∩BC=O,所以SO⊥平面ABC.
(2)解:如图19,取SC中点M,连接AM、OM,
由(1),知SO=OC,SA=AC,得OM⊥SC,AM⊥SC.
所以∠OMA为二面角ASCB的平面角.
由AO⊥BC,AO⊥SO,SO∩BC=O,得AO⊥平面SBC.
所以AO⊥OM.又AM=SA,故
sin∠AMO=.
所以二面角ASCB的余弦值为.
（七）课堂小结
知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.
思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.
（八）作业
课本习题2.3 B组3、4.
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