高中数学4.1 圆的方程同步达标检测题

这是一份高中数学4.1 圆的方程同步达标检测题，共5页。

[时间：35分钟 分值：80分]

eq \a\vs4\al\c1(基础热身)
1．圆(x－3)2＋(x＋1)2＝2的圆心和半径分别为( )
A．(－3,1)，2 B．(－3,1)，eq \r(2)
C．(3，－1)，eq \r(2) D．(3，－1)，2
2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
3．直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距离为( )
A．2eq \r(2) B.eq \r(2)－1
C．2eq \r(2)－1 D．1
4．若原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝8的内部，则实数m的取值范围是( )
A．－2eq \r(2)C．－2eq \a\vs4\al\c1(能力提升)
5．[2011·银川一中二模] 方程eq \r(x－1)lg(x2＋y2－1)＝0所表示的曲线图形是( )
图K45－1
6．曲线x2＋y2＋2eq \r(2)x－2eq \r(2)＝0关于( )
A．直线x＝eq \r(2)轴对称
B．直线y＝－x轴对称
C．点(－2，eq \r(2))中心对称
D．点(－eq \r(2)，0)中心对称
7．一动点在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点轨迹是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))2＋y2＝1 D．(2x－3)2＋4y2＝1
8．已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝eq \r(3)x＋y的取值范围是( )
A．(－2eq \r(3)，4) B．[－2eq \r(3)，4]
C．[－4,4] D．[－4,2eq \r(3)]
9．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)．P是圆C上的动点，当|PA|2＋|PB|2取最大值时，点P的坐标是________．
10．在圆x2＋y2＝9上，到直线3x＋4y＋24＝0的距离最小的点的坐标是________．
11．已知对于圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．
12．(13分)已知圆C的方程为x2＋y2＋(m－2)x＋(m＋1)y＋m－2＝0，根据下列条件确定实数m的取值，并写出相应的圆心坐标和半径．
(1)圆的面积最小；
(2)圆心距离坐标原点最近．
eq \a\vs4\al\c1(难点突破)
13．(12分)已知定点A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，动点P满足：eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝k|eq \(PC,\s\up6(→))|2.
(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；
(2)当k＝2时，求|2eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))|的最大、最小值．
课时作业(四十五)B
【基础热身】
1．C [解析] 圆心坐标为(3，－1)，半径为eq \r(2).
2．A [解析] 把x，y分别换成－x，－y即得．
3．C [解析] 圆心(－2,1)到已知直线的距离为d＝2eq \r(2)，圆的半径为r＝1，故所求距离dmin＝2eq \r(2)－1.
4．C [解析] 依题意，得m2＋m2<8，∴－2【能力提升】
5．C [解析] eq \r(x－1)lg(x2＋y2－1)＝0等价于eq \r(x－1)＝0，或者lg(x2＋y2－1)＝0，即等价于x＝1或x≥1且x2＋y2＝2.选项C中的图形正确．
6．D [解析] 把x2＋y2＋2eq \r(2)x－2eq \r(2)＝0化为(x＋eq \r(2))2＋y2＝2＋2eq \r(2)，可知，该曲线为圆，选项中两条直线都不经过圆心，所以只有关于圆心对称．
7．D [解析] 设圆上任意一点为A(x′，y′)，AB的中点为P(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3＋x′,2)，,y＝\f(y′,2)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2x－3，,y′＝2y，))由于A(x′，y′)在圆x2＋y2＝1上，所以满足x′2＋y′2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1.
8．B [解析] 由于y≥0，∴x2＋y2＝4表示上半圆，又eq \r(3)x＋y－m＝0是直线(如图)，且斜率为－eq \r(3)，在y轴上截距为m，又当直线过点(－2,0)时，m＝－2eq \r(3).
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥－2\r(3)，,d≤r，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥－2\r(3)，,\f(|－m|,2)≤2，))解得m∈[－2eq \r(3)，4]．
9.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,5)，\f(24,5))) [解析] 设P(x0，y0)，则|PA|2＋|PB|2＝xeq \\al(2,0)＋(y0＋1)2＋xeq \\al(2,0)＋(y0－1)2＝2(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0))＋2，
显然xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)的最大值为(5＋1)2，
∴dmax＝74，此时eq \(OP,\s\up6(→))＝－6eq \(PC,\s\up6(→))，结合点P在圆上，解得点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,5)，\f(24,5))).
10.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,5)，－\f(12,5))) [解析] 由于直线和圆相离，过圆心O作直线OQ⊥直线3x＋4y＋24＝0，交圆于点Q，则点Q即为所求点，设Q点坐标为(x，y)，则kOQ＝eq \f(y,x)＝eq \f(4,3)①，又Q在圆上，∴x2＋y2＝9②，由①②解得x＝－eq \f(9,5)，y＝－eq \f(12,5)，即所求的点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,5)，－\f(12,5))).
11．[eq \r(2)－1，＋∞) [解析] 方法1：不等式x＋y＋m≥0恒成立等价于－m≤x＋y恒成立，等价于－m≤[x＋y]min，令t＝x＋y，由于点P在圆上，故圆心到直线的距离不大于圆的半径，即eq \f(|1－t|,\r(2))≤1，解得1－eq \r(2)≤t≤1＋eq \r(2)，即－m≤1－eq \r(2)，故m≥eq \r(2)－1.∴m的取值范围是[eq \r(2)－1，＋∞)．
方法2：设点P的坐标为(csθ，1＋sinθ)，θ∈[0,2π)．
∴x＝csθ，y＝1＋sinθ.
∵x＋y＋m≥0恒成立，∴csθ＋sinθ＋1＋m≥0恒成立，即m≥－(sinθ＋csθ＋1)恒成立．
∴只需m不小于－(sinθ＋csθ＋1)的最大值．
令u＝－(sinθ＋csθ)－1＝－eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－1，
∴umax＝eq \r(2)－1，即m≥eq \r(2)－1.
∴m的取值范围是[eq \r(2)－1，＋∞)．
12．[解答] (1)因为(m－2)2＋(m＋1)2－4(m－2)＝2m2－6m＋13＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(3,2)))2＋eq \f(17,2)>0恒成立，无论m为何值，方程总表示圆．圆心坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－m,2)，－\f(m＋1,2)))，圆的半径为r＝eq \f(1,2)eq \r(2m2－6m＋13).
圆的半径最小时，面积最小，
r＝eq \f(1,2)eq \r(2m2－6m＋13)＝eq \f(1,2)eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(3,2)))2＋\f(17,2))≥eq \f(\r(34),4)，
当且仅当m＝eq \f(3,2)时，等号成立，此时面积最小．
所以当圆的面积最小时，圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，－\f(5,4)))，半径r＝eq \f(\r(34),4).
(2)圆心到坐标原点的距离d＝eq \f(1,2)eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,2)))2＋\f(9,2))≥eq \f(3\r(2),4).当且仅当m＝eq \f(1,2)时，距离最近．此时，圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，－\f(3,4)))，半径r＝eq \f(\r(42),4).
【难点突破】
13．[解答] (1)设动点坐标P为(x，y)，
则eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y－1)，eq \(BP,\s\up6(→))＝(x，y＋1)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(1－x，－y)．
因为eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝k|eq \(PC,\s\up6(→))|2，
所以x2＋y2－1＝k[(x－1)2＋y2]，
即(1－k)x2＋(1－k)y2＋2kx－k－1＝0.
若k＝1，则方程为x＝1，表示过点(1,0)且平行于y轴的直线；
若k≠1，则方程化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(k,1－k)))2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1－k)))2，表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,k－1)，0))为圆心，以eq \f(1,|1－k|)为半径的圆．
(2)当k＝2时，方程化为(x－2)2＋y2＝1，
因为2eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝(3x,3y－1)，
所以|2eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))|＝eq \r(9x2＋9y2－6y＋1).
又x2＋y2＝4x－3，所以|2eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))|＝eq \r(36x－6y－26).
方法1：问题归结为求6x－y的最值，令t＝6x－y，
由于点P在圆(x－2)2＋y2＝1上，
故圆心到直线t＝6x－y的距离不大于圆的半径，
即eq \f(|12－t|,\r(37))≤1，解得12－eq \r(37)≤t≤12＋eq \r(37)，
结合|2eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))|＝eq \r(36x－6y－26)，得|2eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))|的最大值为eq \r(46＋6\r(37))＝3＋eq \r(37)，
最小值为eq \r(46－6\r(37))＝eq \r(37)－3.
方法2：因为(x－2)2＋y2＝1，所以令x＝2＋csθ，y＝sinθ，
则36x－6y－26＝6eq \r(37)cs(θ＋φ)＋46∈[46－6eq \r(37)，46＋6eq \r(37)]．
所以|2eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))|的最大值为eq \r(46＋6\r(37))＝3＋eq \r(37)，
最小值为eq \r(46－6\r(37))＝eq \r(37)－3.