数学人教版新课标A3.2立体几何中的向量方法精练

课时作业(四十)　[第40讲　空间向量及运算]

[时间：45分钟　　分值：100分]

1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于(　　)

A．(0,3，－6)  B．(0,6，－20)

C．(0,6，－6)  D．(6,6，－6)

2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)

A．1  B.  C.  D.

3．与向量a＝(6,7，－6)平行的单位向量是(　　)

A.

B.或

C.

D.或

4．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是(　　)

A.  B.

C.  D.

5．如图K40－1，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于(　　)

图K40－1

A.

B.

C.

D.

6．已知a⊥b，〈a，c〉＝，〈b，c〉＝，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝(　　)

A．17＋6  B．17－6

C.  D.

7．如图K40－2，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)

图K40－2

A.

B.

C．1

D.

8．[2011·长沙四县模拟]  到点A(－1，－1，－1)和点B(1,1,1)的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足(　　)

A．x＋y＋z＋1＝0  B．x＋y＋z－1＝0

C．x＋y＋z＝0  D．x＋y－z＝0

9．若{a，b，c}为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是(　　)

A．a，a＋b，a－b  B．b，a＋b，a－b

C．c，a＋b，a－b  D．a＋b，a－b，a＋2b

10．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b的方向上的投影为________．

11．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是________．

12．[2011·银川期末]  在平面直角坐标系中，由点A(a,0)，B(0，b)(ab≠0)确定的直线的方程为＋＝1，类比到空间直角坐标系中，由A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)(abc≠0)确定的平面的方程可以写成________．

13．在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．

14．(10分)若(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，试求cos〈a，b〉．

15．(13分)把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：

(1)EF的长；

(2)折起后∠EOF的大小．

16．(12分)已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，O(0,0,0)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，求点Q的坐标．

课时作业(四十)

【基础热身】

1．B　[解析] 由于b＝x－2a，则x＝2b＋4a＝2(－4，－3，－2)＋4(2,3，－4)＝(0,6，－20)．

2．D　[解析] 由于ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，2a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，而两向量互相垂直，则有(k－1)×3＋k×2＋2×(－2)＝0，解得k＝.

3．B　[解析] 设与a平行的单位向量为b＝(x，y，z)，则x2＋y2＋z2＝1，且x＝6λ，y＝7λ，z＝－6λ，所以λ＝±，则b＝或.

4．C　[解析] 由于b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)，

则|b－a|＝＝＝≥.

【能力提升】

5．C　[解析] B点坐标为(1,1,0)，E点坐标为，则＝＝.

6．C　[解析] 由|a＋b＋c|＝求得正确选项为C.

7．D　[解析] ＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝.

8．C　[解析] 由空间两点间距离公式可得x＋y＋z＝0.

9．C　[解析] 对于实数λ、μ，形如λa＋μb的向量都与向量a，b是共面向量．因为a＝＋(a－b)，故选项A中的三个向量共面；因为b＝(a＋b)－(a－b)，故选项B中的三个向量共面；因为a＋2b＝(a＋b)－(a－b)，故选项D中的三个向量共面．对选项C，我们设c＝λ(a＋b)＋μ(a－b)，则(λ＋μ)a＋(λ－μ)b－c＝0，由于{a，b，c}为空间的一个基底，故a，b，c不共面，所以(λ＋μ)a＋(λ－μ)b－c＝0⇔λ＋μ＝0，λ－μ＝0，－1＝0，这显然是不可能成立的，故选项C中的三个向量是不共面的，正确选项为C.

10.　[解析] 向量a在向量b的方向上的投影等于|a|·cos〈a，b〉＝|a|＝＝.

11．120°　[解析] 由于＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，则cosθ＝cos〈，〉＝＝－，

则θ＝120°.

12.＋＋＝1　[解析] 根据平面上点的坐标、距离公式、中点坐标公式到空间的情况进行类比．通过直线方程的结构形式，可以类比得出平面的方程为＋＋＝1.

13.　[解析] 如图，＝＋＋＝＋＋，

所以|AC′|＝||＝|＋＋|

＝

＝＝.

14．[解答] 由于(a＋b)⊥(2a－b)，

则(a＋b)·(2a－b)＝2a2－b2＋a·b

＝2|a|2－|b|2＋|a|·|b|cos〈a，b〉

＝0，即cos〈a，b〉＝，

又(a－2b)⊥(2a＋b)，则

(a－2b)·(2a＋b)＝2a2－2b2－3a·b

＝2|a|2－2|b|2－3|a|·|b|cos〈a，b〉

＝0，

即cos〈a，b〉＝，

所以＝，即5|b|2＝8|a|2，即|b|＝|a|，

所以cos〈a，b〉＝＝＝－.

15．[解答] 如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O－xyz，则A0，－a,0，Ba,0,0，C0，a,0，D0,0，a，E0，－a，a，Fa，a,0.

(1)||2＝2＋2＋2＝a2，∴|EF|＝a.

(2)＝，＝，

·＝0×a＋×＋a×0＝－，

||＝，||＝，cos〈，〉＝＝－，

∴∠EOF＝120°.

【难点突破】

16．[解答] 设＝λ＝(λ，λ，2λ)，

则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，

＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，

∴·＝(1－λ)·(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－，

∴当λ＝时，·取得最小值－，

此时＝，即Q.