第三章 指数运算与指数函数（基础过关）-2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（北师大2019版必修第一册）

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第三章  指数运算与指数函数基础过关第I卷（选择题）一、单选题1．下列各函数中，是指数函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用指数函数的定义，形如：即可求解.【详解】根据指数函数的定义知，，A选项底数错误，B选项系数错误，C选项指数错误；D正确.故选：D【点睛】本题考查了指数函数的定义，需掌握住指数函数的定义，即可求解.2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ）.A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据初等函数的性质逐个分析选项即可得出答案.【详解】解：A. 在上单调递减，在上单调递减，但是在定义域内不是减函数.B. 在定义域内为减函数，但不是奇函数.C. 是偶函数，也不单调递减.D. 是奇函数，且在定义域内单调递减，复合题意.故选：D.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，解题的关键是熟练掌握初等函数的性质，属于基础题.3．函数的反函数的图像必过点(   )A．(1，3) B．(2，5) C．(1，4) D．(4，1)【答案】D【解析】【分析】根据原函数与其反函数的图象关于对称可知,所以它们所过定点也关于对称.【详解】令得,,所以,所以函数的图象经过定点(1,4),所以函数的反函数的图像必过定点(4,1).故选D.【点睛】本题考查了原函数与其反函数的图象的对称性以及指数型函数过定点,属于基础题.4．已知函数，则（    ）A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数【答案】C【解析】【分析】利用函数的单调性、奇偶性定义等方法判断函数的性质.【详解】解：函数的定义域为，因为，所以为奇函数；因为在上为减函数，在上的减函数，所以在上的减函数，综上：函数为奇函数，在上是减函数.故选：C.【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性的研究，解决问题的关键是熟练运用函数性质的定义.5．设则a，b，c的大小关系是(　  　)A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a【答案】B【解析】【分析】根据指数函数为减函数与为增函数即可得.【详解】因为为减函数,故,又故,即,即b>a>c故选B【点睛】本题主要考查根据指数与幂函数单调性判断函数值大小问题,属于基础题型.6．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先通过解二次不等式和指数不等式，求出集合，再对选项进行判断.【详解】因为，，所以，，故选：D.【点睛】本题考查集合的表示方法及交、并运算，一元二次不等式和指数不等式的求解，考查考生对基础知识的掌握情况，属于基础题.7．函数（且）恒过定点（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据即可求得指数型函数的定点.【详解】令，解得：，此时，故函数恒过.故选：B【点睛】本题考查指数函数过定点问题，属于基础题.8．若函数在上单调递增，则正实数的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先分析每一段单调递增情况，再综合整个递增即可求出结果.【详解】解：函数在上单调递增，，解得.故选：B.【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查运算能力，属于基础题.9．设函数，.则下列结论不正确的是（     ）A．         B．C．    D．函数和分别为偶函数和奇函数.【答案】D【解析】【分析】根据选项逐一计算判断．【详解】解： A. ，正确；B. ，正确；C. ，正确；D. ，，故，，所以函数和均为偶函数，错误．故选：D．【点睛】本题考查函数奇偶性以及利用解析式进行计算，是基础题．10．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据的图像，判断的初步范围，再结合指数函数的图像，即可进行选择.【详解】因为函数对应方程的两根为，数形结合可知.故函数是单调增函数，且在轴的截距范围是，故选：D.【点睛】本题考查指数型函数的单调性，以及图像的辨识，属基础题.11．函数的图像的大致形状是（    ）A．  B． C．  D．【答案】D【解析】【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.【详解】根据，是减函数，是增函数.在上单调递减，在上单调递增故选：D.【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】确定函数的奇偶性，【详解】，是奇函数，排除C，D，时，，即，当时，又有，因此，排除B，故选：A．【点睛】本题考查由函数解析式选取函数图象，可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性、对称性等排除某些选项，再通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势等排除某些选项，从而得出正确答案． 第II卷（非选择题）二、填空题13．_______.【答案】51【解析】【分析】直接利用分数指数幂的运算法则进行求值.【详解】原式.故答案为：51.【点睛】本题考查分数指数幂的运算，考查运算求解能力，属于基础题.14．已知，则_________；【答案】【解析】【分析】由指数幂运算法则化简即可得出结果.【详解】.故答案为：【点睛】 本题考查了指数运算，考查了运算能力，属于一般题目.15．奇函数满足当时，，则_________.【答案】【解析】【分析】由函数奇偶性，结合函数解析式，即可容易求得.【详解】因为奇函数，且当时，，故可得.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数奇偶性求函数值，涉及指数运算，属基础题.16．中国古代十进位制的算筹记数法，在世界数学史上是一个伟大的创造.算筹记数的方法是：个位、百位、万位……的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出.如可用算筹表示为这个数字的纵式与横式表示数码如上图所示，则的运算结果可用算筹表示为___________.【答案】【解析】【分析】先算出，再根据表示数码写出相应结果.【详解】解：，从题中所给表示数码知可用算筹表示.故答案为：.【点睛】本题主要考查指数运算，考查运算能力，属于基础题.三、解答题17．已知指数函数（，且），且，求的值.【答案】【解析】【分析】由求出，可确定的解析式，从而计算函数值．【详解】因为，且，则，解得，于是.所以，.【点睛】本题考查指数函数的解析式．属于基础题．18．已知函数，求证：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】直接根据指数的运算性质进行证明．【详解】证明：（1），，；（2），.【点睛】本题主要考查指数的运算性质，属于基础题．19．【答案】或【解析】【分析】将方程变形为，令，则解出，再计算出；【详解】解：因为令，则，解得或（舍去）即则或解得或【点睛】本题考查指数方程的计算，指数的运算，属于中档题.20．求下列各式的值：（1）；   （2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）将带分数化为假分数，小数化为分数，利用根式的运算性质化简计算即可；（2）分和两种情况讨论，利用根式的运算性质化简计算即可；（3）将二次根式中被开方数化为完全平方的形式，利用根式的性质化简计算即可.【详解】（1）原式；（2）原式.当时，原式；当时，原式.因此，原式；（3）原式【点睛】本题考查根式的化简计算，熟练利用根式的性质是关键，考查计算能力，属于中等题.21．已知函数. （1）判断的奇偶性，并证明；（2）利用定义证明在区间上是增函数.【答案】（1）奇函数，证明见解析   （2）证明见解析【解析】【分析】(1)求出，判断与的关系即可.
(2) 根据单调性的定义证明步骤，可证明结论.【详解】解：（1）函数的定义域为，关于原点对称,任取一个，则， 因为，所以，，即是奇函数.（2）任取，，使得，，因为，所以，即，所以在区间上是增函数.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，用定义法证明函数的单调性，属于基础题.22．函数的定义域为．设,求t的取值范围；求函数的值域．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由题意，可先判断函数，单调性，再由单调性求出函数值的取值范围，易得；（2）由于函数是一个复合函数，可由，将此复合函数转化为二次函数，此时定义域为，求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数的值域．【详解】（1）在上单调递增．（2） 函数可化为：，在上单调递减，在上单调递增比较得，，所以函数的值域为．【点睛】本题考查了对数函数的值域的求法，对数函数与一元二次函数组成的复合函数的值域的求法，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质与二次函数的性质，本题的重点在第二小题，将求复合函数的值域转化为求两个基本函数的值域，先求内层函数的值域再求外层函数的值域，即可得到复合函数的值域，求复合函数的值域问题时要注意此技能使用．