湖南省娄底市2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷（Word版含答案）

湖南省娄底市2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

2. 不改变分式的值，下列各式变形正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 若，则的值为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在等边中，点是上任意一点，，分别于两边垂直，且等边三角形的高为，则的值为

A.    B.
C.    D.

5. 已知两个分式：，，其中，则与的关系是

A. 相等 B. 互为倒数 C. 互为相反数 D. 大于

6. 如图，已知长方形，将沿折叠得到，与交于点，若长方形的周长为，则的周长是

A.     B.
C.     D.

7. 分式，，，中，最简分式有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 赵强同学借了一本书，共页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读页，则下面所列方程中，正确的是

A.  B.
C.  D.

9. 已知一个等腰三角形的两边长分别是和，那么这个等腰三角形的周长为

A.  B.  C. 或 D.

10. 已知，则代数式的值是

A.  B.  C.  D.

11. 对于非零的两个实数、，规定若，则的值为

A.  B.  C.  D.

12. 已知关于的分式方程无解，则的值为

A.  B.  C.  D. 或

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 为使一个四边形木架不变形我们会从中钉一根木条，这是利用了三角形的______．
14. 在等腰中，，，则的大小为______．
15. 甲、乙两个服装厂加工一批校服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的倍，两厂各加工套校服，甲厂比乙厂少用天，则乙厂每天加工______套校服．
16. 在等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为或两个部分，则该等腰三角形的底边长等于______ ．
17. 若，则______．
18. 如图，中，，的垂直平分线交于，的周长是，则 ______ ．
     

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

19. 如图，点在上，点在上，、相交于点．
    若，，，求的度数；
    试猜想与之间的关系，并证明你猜想的正确性．
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共7小题，共58分）

20. 计算：
    ；
    
    
    
    
     
21. 如图，已知保留作图痕迹
    作边上的高交于点；
    作边上的垂直平分线，交于点，交于点；
    作边的中线，交于点．
    
    
    
     
22. 解分式方程：
    ；   ．
    
    
    
    
     
23. 先化简，再求值：，其中、满足方程组．
    
    
    
    
    
     
24. 
    如图，中，，，，
    试说明是等腰三角形，
    探索与四边形的周长关系．
    
     

25. “六一”儿童节前夕，某文具店用元购进种滑板车若干台，用元购进种滑板车若干台，所购种滑板车比种滑板车多台，且种滑板车每台进价是种滑板车每台进价的倍．
    、两种滑板车每台进价分别为多少元？
    第一次所购滑板车全部售完后，第二次购进、两种滑板车共台进价不变，种滑板车的售价是每台元，种滑板车的售价是每台元．两种滑板车各售出一半后，六一假期已过，两种滑板车均打七折销售，全部售出后，第二次所购滑板车的利润为元不考虑其他因素，求第二次购进、两种滑板车各多少台？
    
    
     
26. 如图，在中，平分，平分，求证：；
    如图，在中，平分，平分外角，猜想和有何数量关系，并证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了三角形三边关系的运用，根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】
解：、，不满足三边关系，故错误；
B、，不满足三边关系，故错误；
C、，满足三边关系，故正确；
D、，不满足三边关系，故错误．
故选：．  

2.【答案】
 

【解析】解：、；
B、；
C、；
D、；
故选：．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
 

3.【答案】
 

【解析】解：若，
则，
解得．
故选：．
根据分式值为零的条件可得，据此可得的值．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
 

4.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，

是等边三角形，
，
，，
，
，即，
；
故选：．
三角形的面积等于三角形的面积三角形的面积，根据是等边三角形，所以三角形是等底的三角形，且高高等于三角形的高．
本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等．本题利用面积法解决问题，这也是几何题中常用的方法．
 

5.【答案】
 

【解析】解：．
与互为相反数．
故选C．
此题首先将分式通分、化简，再通过对比得出结果．
此题主要考查分式的运算及两数的关系的判断．
 

6.【答案】
 

【解析】解：矩形的周长为，
，
将沿折叠得到，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
的周长，
故选：．
由折叠的性质可得，由平行线的性质可得，可得，即可求解．
本题考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是牢固掌握矩形的性质、翻折变换的性质，灵活运用来解题．
 

7.【答案】
 

【解析】解：分子分母有公因式，不是最简分式；
，，这三个是最简分式．
故选C．
最简分式的概念是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断一个分式是不是最简分式，关健是看分子、分母中是否有公因式；如果分子、分母是多项式时，可先分解因式，以便于判断是否有公因式，从而确定其是否是最简分式．
 

8.【答案】
 

【解析】解：读前一半用的时间为：，
读后一半用的时间为：．
由题意得，，
故选：．
设读前一半时，平均每天读页，关键描述语为：“在两周借期内读完”；等量关系为：读前一半用的时间读后一半用的时间，据此列方程即可．
本题考查了由实际问题列分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列出分式方程．
 

9.【答案】
 

【解析】解：分两种情况：
当腰为时，，所以不能构成三角形；
当腰为时，，所以能构成三角形，周长是：．
故选：．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用．由得出，即，整体代入原式，计算可得．
【解答】
解：，
，
，
则原式
，
故选D．  

11.【答案】
 

【解析】【解析】
本题考查了解分式方程的方法：解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．根据规定运算，将转化为分式方程，解分式方程即可．
【解析】
解：由规定运算，可化为，，
即，
解得，
经检验：，所以是原方程的根，
故选D．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
方程两边同时乘以，得，
移项、合并同类项，得，
方程无解，
或，
或，
或，
故选：．
先解分式方程得，再由方程无解可得或，求出即可．
本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，注意对方程增根的讨论是解题的关键．
 

13.【答案】稳定性
 

【解析】解：为使一个四边形木架不变形我们会从中钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性．
故答案为：稳定性．
在四边形木架钉一根木条，构成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
根据等腰三角形两底角相等可求，再根据三角形内角和为列式进行计算即可得解．
本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质．
 

15.【答案】
 

【解析】解：设乙厂每天加工套校服，则甲厂每天加工套校服．
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
即乙厂每天加工套校服，
故答案为：．
设乙厂每天加工套校服，则甲厂每天加工套校服，根据“两厂各加工套校服，甲厂比乙厂要少用天”列出分式方程，解之即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．
 

16.【答案】或
 

【解析】解：根据题意，
当是腰长与腰长一半时，，解得，
所以底边长；
当是腰长与腰长一半时，，解得，
所以底边长．
所以底边长等于或．
故填或．
因为已知条件给出的或两个部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，所以分两种情况讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确给出哪一部分长要一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：原式

，
故答案为：．
根据，分别拆项：，，，利用互为相反数相加为，可得答案．
本题考查了有理数的混合运算，数字变化类的规律问题，正确拆项是关键．
 

18.【答案】
 

【解析】【试题解析】

解：，
，
又垂直平分，
，
将代入得：，
即，
又，
．
故答案为：．
由边的垂直平分线与交于点，故AD，于是将的周长转化为与边长的和来解答．
本题考查了垂直平分线的性质；此题将垂直平分线的性质与三角形的周长问题相结合，体现了转化思想在解题时的巨大作用．

19.【答案】解：，，
；
，
；

．
理由：，
．
 

【解析】先利用三角形的外角的性质求出，最后用三角形的内角和定理即可得出结论；
利用三角形的外角的性质即可得出结论．
此题主要考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，用三角形外角的性质解决问题是解本题的关键．
 

20.【答案】解：原式

；
原式

．
 

【解析】分别根据负整数指数幂、零指数幂和有理数的乘方计算，再计算加减即可；
先计算括号内的，再计算除法即可．
本题考查实数和分式的混合运算，熟练掌握运算法则并按照运算顺序计算是解题关键．
 

21.【答案】解：如图，为所作；

如图，为所求；
如图，为所作．
 

【解析】根据基本作图方法即可作边上的高；
根据基本作图方法即可作边上的垂直平分线；
作边的垂直平分线交于点，连接即可．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

22.【答案】解：原方程化为：，
方程两边都乘以得：，
解得：，
检验：当时，，所以是增根，
即原方程无解；

原方程化为：，
方程两边都乘以得：，
解得：，
检验：当时，，所以是原方程的解，
即原方程的解是．
 

【解析】方程两边都乘以得出，求出方程的解，再进行检验即可；
方程两边都乘以得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，注意解分式方程一定要进行检验．
 

23.【答案】解：原式
，
、满足方程组，
，
则，
原式．
 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将方程组中两个方程相加得到的值，继而整体代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

24.【答案】解：
，
，
，
，
，
是等腰三角形；

四边形的周长，
理由：，
，
，
，
，
，
，，
四边形的周长．
 

【解析】由平行线的性质可得，，进而再通过角之间的转化得出结论；
由平行线的性质可得，，由于，得到，于是得到，，即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：设种滑板车每台进价为元，则种滑板车每台进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的根，且符合题意，
此时元，
答：种滑板车每台进价为元，种滑板车每台进价为元；
解：设第二次购进种滑板车台，种滑板车台，
由题意得：，
解得：，
此时台，
答：第二次购进种滑板车台，种滑板车台．
 

【解析】设种滑板车每台进价为元，则种滑板车每台进价为元，根据“所购种滑板车比种滑板车多台”，即可得出关于的分式方程，解之即可得出结论；
设设第二次购进种滑板车台，种滑板车台，根据销售利润每盒的利润销售数量，即可得出关于的一元一次方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程．
 

26.【答案】证明：，
，
平分，平分，
，，



；

猜想：
证明：，
，
，
，
又平分，平分，
，


A.
 

【解析】根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理得出，再求出答案即可；
根据三角形外角性质得出，，根据角平分线的定义得出，再求出答案即可．
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质等知识点，能熟记三角形的内角和等于和角平分线的定义是解此题的关键．