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湖南省长沙市2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷(word版含答案)
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这是一份湖南省长沙市2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷(word版含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列防疫的图标中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．2cm，5cm，8cm B．3cm，6cm，9cm
C．6cm，8cm，13cm D．7cm，7cm，15cm
3．下列各方程组中，是二元一次方程组的为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
5．无理数在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
6．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列说法中，表示三角形的重心的是（ ）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三条高所在的直线的交点
C．三角形三条角平分线的交点
D．三角形三条边的垂直平分线的交点
8．下列说法错误的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合
D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
9．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC长为16cm，BE长为12cm，则EC的长为（ ）
A．8cm B．6cm C．4cm D．12cm
10．如图，已知△ABD和△BCE是等边三角形，且A、B、C三点共线，连接AE、CD，交于点H，AE交BD于点G，BE交CD于点F，下列说法中正确的有（ ）
（1）△ABE≌△DBC；（2）AE＝DC；（3）∠DHA＝60°；（4）连接GF，GF∥AC；（5）连接HB，HB平分∠AHC．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．八边形的外角和是 ．
12．﹣5的相反数是 ．
13．一个五边形共有 条对角线．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，已知CD＝3，则D到AB的距离是 ．
15．如图，已知∠A＝∠D＝90°，要使得△ABC≌△DCB，根据“HL”判定方法，需要再添加的一个条件是 ．
16．如图，等边△ABC中，AD是中线，AD＝AE，则∠ADE＝ ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明，、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．如图，∠CAE是△ABC的外角，AB＝AC，AD∥BC．求证：∠1＝∠2．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B（ ），
∠2＝∠C．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（ ），
∴∠1＝∠2（ ）．
19．人教版初中数学教科书八年级上册第35﹣36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：△ABC．
求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．
作法：如图．
（1）画B'C′＝BC；
（2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′；
（3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：
证明：由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，
∴△A'B'C′≌ ．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 ．（填序号）
①AAS
②ASA
③SAS
④SSS
20．已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF＝CE，∠A＝∠D，且AB∥DE，求证：△ABC≌△DEF．
21．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．
请回答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．并写出A1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．
22．若a，b是△ABC的两边且|a﹣3|+（b﹣7）2＝0．
（1）试求a，b的值；
（2）若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝ED，EF垂直平分线段AC．
（1）求证：∠B＝∠AEB；
（2）若△ABE的周长为16，AD＝4，BD＝3，AC＝9，求△ABC的周长和面积．
24．在平面直角坐标系中，若两点关于过原点的一条直线对称，则我们称这两点关于这条直线互为“镜面点”，这条直线叫“镜面直线”．
例如：M（﹣1，2）和M′（1，2）关于y轴对称，则我们称M和M′关于y轴互为“镜面点”，y轴为“镜面直线”．
若已知两点坐标P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则P1、P2之间的距离为．
如M（﹣1，2）和N（3，5）的距离为．
实验与探究：
（1）直线l为∠AOA′角平分线所在的直线，由图观察易知A（0，2）关于直线l的镜面点A′的坐标为（2，0），在图中找出B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点B′、C′的位置，请写出他们的坐标：B′
、C′ ；
归纳与发现：
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于直线l的镜面点P'的坐标为 ；（不必证明）
拓展与应用：
（3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出这个和的最小值．
25．如图1，△ABO为等边三角形，顶点坐标分别为A（0，2），B（﹣，b），O（0，0），动点Q、P分别从点O、B同时出发，点Q运动到B点停止，点P运动到A点停止．
（1）求b＝ ；
（2）若点P，点Q运动速度相同，求证：AQ＝OP；
（3）如图2，动点C从点A开始，沿着y轴正方向运动，以CB为边长作等边△EBC，连接EA并延长，交x轴于点F．请问，当C点运动时，在y轴上是否存在点K，使得△AFK为等腰三角形，若存在，求出K点坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列防疫的图标中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：C．
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．2cm，5cm，8cm B．3cm，6cm，9cm
C．6cm，8cm，13cm D．7cm，7cm，15cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析即可求解．
解：A、2+5＜8，不能组成三角形，不符合题意；
B、3+6＝9，不能组成三角形，不符合题意；
C、6+8＞13，能够组成三角形，符合题意；
D、7+7＜15，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
3．下列各方程组中，是二元一次方程组的为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
解：A、第一个方程是三次方程，故该选项不符合题意；
B、第一个方程与第二个方程所含未知数不同，故该选项不符合题意；
C、符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意；
D、该方程组中第一个方程是分式方程，故该选项不符合题意．
故选：C．
4．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故其所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：A．
5．无理数在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【分析】根据算术平方根估算无理数的大小即可．
解：∵＜＜，
∴1＜＜2，
即在1和2之间，
故选：A．
6．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据概念判断．
解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高AD，
所以画法正确的是B选项．
故选：B．
7．下列说法中，表示三角形的重心的是（ ）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三条高所在的直线的交点
C．三角形三条角平分线的交点
D．三角形三条边的垂直平分线的交点
【分析】根据三角形的重心的概念：三角形的重心是三角形三条中线的交点答题．
解：A、三角形三条中线交于一点，这一点是三角形的重心，符合题意；
B、三角形三条高所在直线交于一点，这一点是三角形的垂心，不符合题意；
C、三角形三条角平分线交于一点，这一点是三角形的内心，不符合题意；
D、三角形三边垂直平分线交于一点，这一点是三角形的外心，不符合题意．
故选：A．
8．下列说法错误的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合
D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
【分析】利用等腰三角形、等边三角形的判定方法判断A、B，利用等腰三角形的性质判断C，利用线段垂直平分线的性质判断D．
解：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，说法正确，故选项A不合题意；
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，说法正确，故选项B不合题意；
等腰三角形顶角的角平分线，中线，高相互重合，而其底角的角平分线，中线，高不相互重合，
所以等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合说法错误，故选项C符合题意．
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，说法正确，故选项D不合题意．
故选：C．
9．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC长为16cm，BE长为12cm，则EC的长为（ ）
A．8cm B．6cm C．4cm D．12cm
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可以得到AE＝BE，进而即可求得EC的长．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵AC＝16cm，BE＝12cm，
∴EC＝AC﹣AE＝AC﹣BE＝16﹣12＝4（cm），
故选：C．
10．如图，已知△ABD和△BCE是等边三角形，且A、B、C三点共线，连接AE、CD，交于点H，AE交BD于点G，BE交CD于点F，下列说法中正确的有（ ）
（1）△ABE≌△DBC；（2）AE＝DC；（3）∠DHA＝60°；（4）连接GF，GF∥AC；（5）连接HB，HB平分∠AHC．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝BD，BC＝CE，∠EBC＝60°，∠ABD＝∠CBE＝60°，求出∠ABE＝∠DBC，根据全等三角形的判定得出△ABE≌△DBC，根据全等三角形的性质得出∠AEB＝∠DCB，AE＝DC，根据三角形的外角性质得出∠DHA＝∠DCB+∠EAB＝∠EBC＝60°，求出∠GBE＝∠EBC，根据全等三角形的判定定理得出△EBG≌△CBF，根据全等三角形的性质得出BF＝BG，求出△GBF是等边三角形，过B作BM⊥AE于M，BN⊥DC于N，根据全等三角形的判定得出△EMB≌△CNB，根据全等三角形的性质得出BM＝BN，根据角平分线性质的逆定理得出HB平分∠AHC，再得出选项即可．
解：∵△ABC和△BCE是等边三角形，
∴AB＝BD，BC＝CE，∠EBC＝60°，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴∠ABD+∠DBE＝∠CBE+∠DBE，
即∠ABE＝∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），故①正确；
∴∠AEB＝∠DCB，AE＝DC，故②正确；
∴∠DHA＝∠DCB+∠EAB＝∠AEB+∠EAB＝∠EBC＝60°，故③正确；
∵∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠GBE＝180°﹣∠ABD﹣∠EBC＝60°＝∠EBC，
在△EBG和△CBF中，
，
∴△EBG≌△CBF（ASA），
∴BF＝BG，
∵∠GBE＝60°，
∴△GBF是等边三角形，
∴∠GFB＝60°＝∠EBC，
∴GF∥AC，故④正确；
过B作BM⊥AE于M，BN⊥DC于N，则∠EMB＝∠BNC＝90°，
在△EMB和△CNB中，
，
∴△EMB≌△CNB（AAS），
∴BM＝BN，
∵BM⊥AE，BN⊥CD，
∴HB平分∠AHC，故⑤正确；
即正确的个数是5，
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．八边形的外角和是 360° ．
【分析】任何凸多边形的外角和都是360度．
解：八边形的外角和是360度．
故答案为：360°．
12．﹣5的相反数是 5 ．
【分析】根据相反数的定义直接求得结果．
解：﹣5的相反数是5．
故答案为：5．
13．一个五边形共有 5 条对角线．
【分析】可根据多边形的对角线与边的关系求解．
解：n边形共有条对角线，
∴五边形共有＝5条对角线．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，已知CD＝3，则D到AB的距离是 3 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，即可得解．
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝CD，
∵CD＝3，
∴DE＝3．
故答案为：3．
15．如图，已知∠A＝∠D＝90°，要使得△ABC≌△DCB，根据“HL”判定方法，需要再添加的一个条件是 AB＝DC或AC＝BD ．
【分析】根据两直角三角形全等的判定定理HL得出即可．
解：AB＝DC或AC＝BD，
理由是：①在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
②在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
故答案为：AB＝DC或AC＝BD．
16．如图，等边△ABC中，AD是中线，AD＝AE，则∠ADE＝ 75° ．
【分析】利用等边三角形的性质先求出∠DAC，再利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求出∠ADE．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°．
∵AD是中线，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°．
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝
＝
＝75°．
故答案为：75°．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明，、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
【分析】化简有理数的乘方，算术平方根，绝对值，然后再算加减．
解：原式＝1﹣2+3﹣+﹣1
＝1．
18．如图，∠CAE是△ABC的外角，AB＝AC，AD∥BC．求证：∠1＝∠2．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B（ 两直线平行，同位角相等 ），
∠2＝∠C．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（ 等边对等角 ），
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）．
【分析】先由平行线的性质得∠1＝∠B，∠2＝∠C，再由等腰三角形的性质和等量关系得到∠1＝∠2．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2＝∠C．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；等边对等角；等量代换．
19．人教版初中数学教科书八年级上册第35﹣36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：△ABC．
求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．
作法：如图．
（1）画B'C′＝BC；
（2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′；
（3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：
证明：由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，
∴△A'B'C′≌ △ABC（SSS） ．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 ④ ．（填序号）
①AAS
②ASA
③SAS
④SSS
【分析】（1）根据SSS证明三角形全等即可．
（2）根据SSS证明三角形全等．
解：（1）由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，
，
∴△A'B'C′≌△ABC（SSS）．
故答案为：AB，AC，△ABC（SSS）．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是SSS，
故答案为：④．
20．已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF＝CE，∠A＝∠D，且AB∥DE，求证：△ABC≌△DEF．
【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠E，根据BF＝CE求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理AAS推出即可．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC
即BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
21．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．
请回答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．并写出A1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
解：（1）如图所示
A1的坐标为（0，2）；
（2）＝3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝5．
22．若a，b是△ABC的两边且|a﹣3|+（b﹣7）2＝0．
（1）试求a，b的值；
（2）若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．
【分析】（1）利用非负数的性质可求得a、b的值；
（2）分腰长为3或7两种情况进行计算．
解：（1）∵|a﹣3|+（b﹣7）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣7＝0，
解得a＝3，b＝7；
（2）当腰长为3时，
此时三角形的三边为3、3、7，不满足三角形三边关系；
当腰长为7时，
此时三角形的三边长为7、7、3，满足三角形三边关系，周长为7+7+3＝17；
综上可知，等此三角形的周长为17．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝ED，EF垂直平分线段AC．
（1）求证：∠B＝∠AEB；
（2）若△ABE的周长为16，AD＝4，BD＝3，AC＝9，求△ABC的周长和面积．
【分析】（1）利用SAS即可证明△ADB≌△ADE；
（2）由勾股定理求出AB的长，再利用SAS证出△AFE≌△CFE，得AE＝CE＝AB＝5，即可求出△ABC的周长，再根据三角形的面积计算公式即可求出△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
在△ADB与△ADE中，
，
∴△ADB≌△ADE（SAS），
∴∠B＝∠AEB；
（2）解：由（1）知，△ADB≌△ADE，
∴AB＝AE，
∵AD⊥BC，AD＝4，BD＝3，
∴由勾股定理得：AB＝5，
∵EF垂直平分线段AC，
∴∠AFE＝∠CFE＝90°，AF＝CF，
在△AFE与△CFE中，
，
∴△AFE≌△CFE（SAS），
∴AE＝CE＝AB＝5，
∴C△ABC＝AB+AC+BD+DE+CE
＝5+9+3+3+5
＝25，
S
＝
＝22．
24．在平面直角坐标系中，若两点关于过原点的一条直线对称，则我们称这两点关于这条直线互为“镜面点”，这条直线叫“镜面直线”．
例如：M（﹣1，2）和M′（1，2）关于y轴对称，则我们称M和M′关于y轴互为“镜面点”，y轴为“镜面直线”．
若已知两点坐标P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则P1、P2之间的距离为．
如M（﹣1，2）和N（3，5）的距离为．
实验与探究：
（1）直线l为∠AOA′角平分线所在的直线，由图观察易知A（0，2）关于直线l的镜面点A′的坐标为（2，0），在图中找出B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点B′、C′的位置，请写出他们的坐标：B′
（3，5） 、C′ （5，﹣2） ；
归纳与发现：
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于直线l的镜面点P'的坐标为 （b，a） ；（不必证明）
拓展与应用：
（3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出这个和的最小值．
【分析】（1）求得线段AA′的中点，然后根据待定系数法求得镜面直线，进而即可求得B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点；
（2）结合图形观察以上三组点的坐标即可得出结论；
（3）求得E点关于直线l的镜面点E′，连接DE′，交直线l于点Q，Q点即为所求．
解：（1）设镜面直线的解析式为y＝kx，
∵A（0，2），A′（2，0），
∴线段AA′的中点为（1，1），
∵镜面直线经过原点和（1，1），
∴镜面直线为y＝x，
∵B（5，3）、C（﹣2，5），
∴B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点B′（3，5）、C′（5，﹣2），
故答案为：B′（3，5）、C′（5，﹣2）；
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，会发现：平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于直线l的镜面点P'的坐标为（b，a）；
故答案为：（b，a）；
拓展与应用：
（3）∵E（﹣1，﹣4），
∴E′（﹣4，﹣1），
∵D（1，﹣3），
∴DE′＝＝，
∴点Q到D、E两点的距离之和的最小值为：．
25．如图1，△ABO为等边三角形，顶点坐标分别为A（0，2），B（﹣，b），O（0，0），动点Q、P分别从点O、B同时出发，点Q运动到B点停止，点P运动到A点停止．
（1）求b＝ 1 ；
（2）若点P，点Q运动速度相同，求证：AQ＝OP；
（3）如图2，动点C从点A开始，沿着y轴正方向运动，以CB为边长作等边△EBC，连接EA并延长，交x轴于点F．请问，当C点运动时，在y轴上是否存在点K，使得△AFK为等腰三角形，若存在，求出K点坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过点B作BH⊥y轴于H，根据等边三角形的性质即可求解；
（2）当点P，点O运动速度相同时，可得BP＝OQ，根据等边三角形的性质得∠AOQ＝∠OBP＝∠BAO＝60°，AO＝BO，利用SAS证明△AOQ≌△OBP，即可得出结论；
（3）证明△ABE≌△OBC（SAS），根据全等三角形的性质得∠BAE＝∠BOA＝60°，可得∠OAF＝60°，则∠OFA＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得AF＝2OA＝4，分两种情况，①点K在y轴上点A上方时；②点K在y轴上点A下方时，求出K点坐标即可．
解：（1）过点B作BH⊥y轴于H，
∵△ABO为等边三角形，BH⊥y轴，
∴AH＝OH＝OA，
∵A（0，2），B（﹣，b），
∴OH＝OA＝1，
∴b＝1．
故答案为：1；
（2）证明：当点P，点O运动速度相同时，可得BP＝OQ，
∵△ABO为等边三角形，
∴∠AOQ＝∠OBP＝∠BAO＝60°，AO＝BO，
在△AOQ与△OBP中，
，
∴△AOQ≌△OBP（SAS）；
∴AQ＝OP；
（3）∵△EBC为等边三角形，
∴∠BEC＝∠EBC＝60°，
∵△ABO为等边三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝60°，
∴∠EBC+∠ABC＝∠ABO+∠ABC＝60°+∠ABC，
∴∠ABE＝∠OBC，
∵AB＝OB，BE＝BC，
∴△ABE≌△OBC（SAS），
∴∠BAE＝∠AOB＝60°，
∴∠OAF＝180°﹣∠BAO﹣∠BAE＝60°，
∴∠OFA＝30°，
在Rt△AOF中，OA⊥OF，∠OFA＝30°，
∴AF＝2OA＝4，
①点K在y轴上点A上方时，
∵△AFK为等腰三角形，
∴AK＝AF＝4，
∴OK＝OA+AK＝2+4＝6，
∴K（0，6）；
②点K在y轴上点A下方时，
∵OAF＝60°，△AFK为等腰三角形，
∴△AFK为等边三角形，
∴AK＝AF＝4，
∵OA＝2，
∴OK＝AK﹣OA＝4﹣2＝2，
∴K点坐标（0，﹣2）．
综上，K点坐标为（0，6）或（0，﹣2）．
2021-2022学年八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列防疫的图标中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．2cm，5cm，8cm B．3cm，6cm，9cm
C．6cm，8cm，13cm D．7cm，7cm，15cm
3．下列各方程组中，是二元一次方程组的为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
5．无理数在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
6．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列说法中，表示三角形的重心的是（ ）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三条高所在的直线的交点
C．三角形三条角平分线的交点
D．三角形三条边的垂直平分线的交点
8．下列说法错误的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合
D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
9．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC长为16cm，BE长为12cm，则EC的长为（ ）
A．8cm B．6cm C．4cm D．12cm
10．如图，已知△ABD和△BCE是等边三角形，且A、B、C三点共线，连接AE、CD，交于点H，AE交BD于点G，BE交CD于点F，下列说法中正确的有（ ）
（1）△ABE≌△DBC；（2）AE＝DC；（3）∠DHA＝60°；（4）连接GF，GF∥AC；（5）连接HB，HB平分∠AHC．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．八边形的外角和是 ．
12．﹣5的相反数是 ．
13．一个五边形共有 条对角线．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，已知CD＝3，则D到AB的距离是 ．
15．如图，已知∠A＝∠D＝90°，要使得△ABC≌△DCB，根据“HL”判定方法，需要再添加的一个条件是 ．
16．如图，等边△ABC中，AD是中线，AD＝AE，则∠ADE＝ ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明，、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．如图，∠CAE是△ABC的外角，AB＝AC，AD∥BC．求证：∠1＝∠2．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B（ ），
∠2＝∠C．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（ ），
∴∠1＝∠2（ ）．
19．人教版初中数学教科书八年级上册第35﹣36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：△ABC．
求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．
作法：如图．
（1）画B'C′＝BC；
（2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′；
（3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：
证明：由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，
∴△A'B'C′≌ ．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 ．（填序号）
①AAS
②ASA
③SAS
④SSS
20．已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF＝CE，∠A＝∠D，且AB∥DE，求证：△ABC≌△DEF．
21．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．
请回答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．并写出A1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．
22．若a，b是△ABC的两边且|a﹣3|+（b﹣7）2＝0．
（1）试求a，b的值；
（2）若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝ED，EF垂直平分线段AC．
（1）求证：∠B＝∠AEB；
（2）若△ABE的周长为16，AD＝4，BD＝3，AC＝9，求△ABC的周长和面积．
24．在平面直角坐标系中，若两点关于过原点的一条直线对称，则我们称这两点关于这条直线互为“镜面点”，这条直线叫“镜面直线”．
例如：M（﹣1，2）和M′（1，2）关于y轴对称，则我们称M和M′关于y轴互为“镜面点”，y轴为“镜面直线”．
若已知两点坐标P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则P1、P2之间的距离为．
如M（﹣1，2）和N（3，5）的距离为．
实验与探究：
（1）直线l为∠AOA′角平分线所在的直线，由图观察易知A（0，2）关于直线l的镜面点A′的坐标为（2，0），在图中找出B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点B′、C′的位置，请写出他们的坐标：B′
、C′ ；
归纳与发现：
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于直线l的镜面点P'的坐标为 ；（不必证明）
拓展与应用：
（3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出这个和的最小值．
25．如图1，△ABO为等边三角形，顶点坐标分别为A（0，2），B（﹣，b），O（0，0），动点Q、P分别从点O、B同时出发，点Q运动到B点停止，点P运动到A点停止．
（1）求b＝ ；
（2）若点P，点Q运动速度相同，求证：AQ＝OP；
（3）如图2，动点C从点A开始，沿着y轴正方向运动，以CB为边长作等边△EBC，连接EA并延长，交x轴于点F．请问，当C点运动时，在y轴上是否存在点K，使得△AFK为等腰三角形，若存在，求出K点坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列防疫的图标中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：C．
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．2cm，5cm，8cm B．3cm，6cm，9cm
C．6cm，8cm，13cm D．7cm，7cm，15cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析即可求解．
解：A、2+5＜8，不能组成三角形，不符合题意；
B、3+6＝9，不能组成三角形，不符合题意；
C、6+8＞13，能够组成三角形，符合题意；
D、7+7＜15，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
3．下列各方程组中，是二元一次方程组的为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
解：A、第一个方程是三次方程，故该选项不符合题意；
B、第一个方程与第二个方程所含未知数不同，故该选项不符合题意；
C、符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意；
D、该方程组中第一个方程是分式方程，故该选项不符合题意．
故选：C．
4．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故其所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：A．
5．无理数在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【分析】根据算术平方根估算无理数的大小即可．
解：∵＜＜，
∴1＜＜2，
即在1和2之间，
故选：A．
6．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据概念判断．
解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高AD，
所以画法正确的是B选项．
故选：B．
7．下列说法中，表示三角形的重心的是（ ）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三条高所在的直线的交点
C．三角形三条角平分线的交点
D．三角形三条边的垂直平分线的交点
【分析】根据三角形的重心的概念：三角形的重心是三角形三条中线的交点答题．
解：A、三角形三条中线交于一点，这一点是三角形的重心，符合题意；
B、三角形三条高所在直线交于一点，这一点是三角形的垂心，不符合题意；
C、三角形三条角平分线交于一点，这一点是三角形的内心，不符合题意；
D、三角形三边垂直平分线交于一点，这一点是三角形的外心，不符合题意．
故选：A．
8．下列说法错误的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合
D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
【分析】利用等腰三角形、等边三角形的判定方法判断A、B，利用等腰三角形的性质判断C，利用线段垂直平分线的性质判断D．
解：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，说法正确，故选项A不合题意；
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，说法正确，故选项B不合题意；
等腰三角形顶角的角平分线，中线，高相互重合，而其底角的角平分线，中线，高不相互重合，
所以等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合说法错误，故选项C符合题意．
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，说法正确，故选项D不合题意．
故选：C．
9．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC长为16cm，BE长为12cm，则EC的长为（ ）
A．8cm B．6cm C．4cm D．12cm
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可以得到AE＝BE，进而即可求得EC的长．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵AC＝16cm，BE＝12cm，
∴EC＝AC﹣AE＝AC﹣BE＝16﹣12＝4（cm），
故选：C．
10．如图，已知△ABD和△BCE是等边三角形，且A、B、C三点共线，连接AE、CD，交于点H，AE交BD于点G，BE交CD于点F，下列说法中正确的有（ ）
（1）△ABE≌△DBC；（2）AE＝DC；（3）∠DHA＝60°；（4）连接GF，GF∥AC；（5）连接HB，HB平分∠AHC．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝BD，BC＝CE，∠EBC＝60°，∠ABD＝∠CBE＝60°，求出∠ABE＝∠DBC，根据全等三角形的判定得出△ABE≌△DBC，根据全等三角形的性质得出∠AEB＝∠DCB，AE＝DC，根据三角形的外角性质得出∠DHA＝∠DCB+∠EAB＝∠EBC＝60°，求出∠GBE＝∠EBC，根据全等三角形的判定定理得出△EBG≌△CBF，根据全等三角形的性质得出BF＝BG，求出△GBF是等边三角形，过B作BM⊥AE于M，BN⊥DC于N，根据全等三角形的判定得出△EMB≌△CNB，根据全等三角形的性质得出BM＝BN，根据角平分线性质的逆定理得出HB平分∠AHC，再得出选项即可．
解：∵△ABC和△BCE是等边三角形，
∴AB＝BD，BC＝CE，∠EBC＝60°，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴∠ABD+∠DBE＝∠CBE+∠DBE，
即∠ABE＝∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），故①正确；
∴∠AEB＝∠DCB，AE＝DC，故②正确；
∴∠DHA＝∠DCB+∠EAB＝∠AEB+∠EAB＝∠EBC＝60°，故③正确；
∵∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠GBE＝180°﹣∠ABD﹣∠EBC＝60°＝∠EBC，
在△EBG和△CBF中，
，
∴△EBG≌△CBF（ASA），
∴BF＝BG，
∵∠GBE＝60°，
∴△GBF是等边三角形，
∴∠GFB＝60°＝∠EBC，
∴GF∥AC，故④正确；
过B作BM⊥AE于M，BN⊥DC于N，则∠EMB＝∠BNC＝90°，
在△EMB和△CNB中，
，
∴△EMB≌△CNB（AAS），
∴BM＝BN，
∵BM⊥AE，BN⊥CD，
∴HB平分∠AHC，故⑤正确；
即正确的个数是5，
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．八边形的外角和是 360° ．
【分析】任何凸多边形的外角和都是360度．
解：八边形的外角和是360度．
故答案为：360°．
12．﹣5的相反数是 5 ．
【分析】根据相反数的定义直接求得结果．
解：﹣5的相反数是5．
故答案为：5．
13．一个五边形共有 5 条对角线．
【分析】可根据多边形的对角线与边的关系求解．
解：n边形共有条对角线，
∴五边形共有＝5条对角线．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，已知CD＝3，则D到AB的距离是 3 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，即可得解．
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝CD，
∵CD＝3，
∴DE＝3．
故答案为：3．
15．如图，已知∠A＝∠D＝90°，要使得△ABC≌△DCB，根据“HL”判定方法，需要再添加的一个条件是 AB＝DC或AC＝BD ．
【分析】根据两直角三角形全等的判定定理HL得出即可．
解：AB＝DC或AC＝BD，
理由是：①在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
②在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
故答案为：AB＝DC或AC＝BD．
16．如图，等边△ABC中，AD是中线，AD＝AE，则∠ADE＝ 75° ．
【分析】利用等边三角形的性质先求出∠DAC，再利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求出∠ADE．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°．
∵AD是中线，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°．
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝
＝
＝75°．
故答案为：75°．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明，、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
【分析】化简有理数的乘方，算术平方根，绝对值，然后再算加减．
解：原式＝1﹣2+3﹣+﹣1
＝1．
18．如图，∠CAE是△ABC的外角，AB＝AC，AD∥BC．求证：∠1＝∠2．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B（ 两直线平行，同位角相等 ），
∠2＝∠C．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（ 等边对等角 ），
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）．
【分析】先由平行线的性质得∠1＝∠B，∠2＝∠C，再由等腰三角形的性质和等量关系得到∠1＝∠2．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2＝∠C．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；等边对等角；等量代换．
19．人教版初中数学教科书八年级上册第35﹣36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：△ABC．
求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．
作法：如图．
（1）画B'C′＝BC；
（2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′；
（3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：
证明：由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，
∴△A'B'C′≌ △ABC（SSS） ．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 ④ ．（填序号）
①AAS
②ASA
③SAS
④SSS
【分析】（1）根据SSS证明三角形全等即可．
（2）根据SSS证明三角形全等．
解：（1）由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，
，
∴△A'B'C′≌△ABC（SSS）．
故答案为：AB，AC，△ABC（SSS）．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是SSS，
故答案为：④．
20．已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF＝CE，∠A＝∠D，且AB∥DE，求证：△ABC≌△DEF．
【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠E，根据BF＝CE求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理AAS推出即可．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC
即BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
21．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．
请回答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．并写出A1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
解：（1）如图所示
A1的坐标为（0，2）；
（2）＝3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝5．
22．若a，b是△ABC的两边且|a﹣3|+（b﹣7）2＝0．
（1）试求a，b的值；
（2）若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．
【分析】（1）利用非负数的性质可求得a、b的值；
（2）分腰长为3或7两种情况进行计算．
解：（1）∵|a﹣3|+（b﹣7）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣7＝0，
解得a＝3，b＝7；
（2）当腰长为3时，
此时三角形的三边为3、3、7，不满足三角形三边关系；
当腰长为7时，
此时三角形的三边长为7、7、3，满足三角形三边关系，周长为7+7+3＝17；
综上可知，等此三角形的周长为17．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝ED，EF垂直平分线段AC．
（1）求证：∠B＝∠AEB；
（2）若△ABE的周长为16，AD＝4，BD＝3，AC＝9，求△ABC的周长和面积．
【分析】（1）利用SAS即可证明△ADB≌△ADE；
（2）由勾股定理求出AB的长，再利用SAS证出△AFE≌△CFE，得AE＝CE＝AB＝5，即可求出△ABC的周长，再根据三角形的面积计算公式即可求出△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
在△ADB与△ADE中，
，
∴△ADB≌△ADE（SAS），
∴∠B＝∠AEB；
（2）解：由（1）知，△ADB≌△ADE，
∴AB＝AE，
∵AD⊥BC，AD＝4，BD＝3，
∴由勾股定理得：AB＝5，
∵EF垂直平分线段AC，
∴∠AFE＝∠CFE＝90°，AF＝CF，
在△AFE与△CFE中，
，
∴△AFE≌△CFE（SAS），
∴AE＝CE＝AB＝5，
∴C△ABC＝AB+AC+BD+DE+CE
＝5+9+3+3+5
＝25，
S
＝
＝22．
24．在平面直角坐标系中，若两点关于过原点的一条直线对称，则我们称这两点关于这条直线互为“镜面点”，这条直线叫“镜面直线”．
例如：M（﹣1，2）和M′（1，2）关于y轴对称，则我们称M和M′关于y轴互为“镜面点”，y轴为“镜面直线”．
若已知两点坐标P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则P1、P2之间的距离为．
如M（﹣1，2）和N（3，5）的距离为．
实验与探究：
（1）直线l为∠AOA′角平分线所在的直线，由图观察易知A（0，2）关于直线l的镜面点A′的坐标为（2，0），在图中找出B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点B′、C′的位置，请写出他们的坐标：B′
（3，5） 、C′ （5，﹣2） ；
归纳与发现：
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于直线l的镜面点P'的坐标为 （b，a） ；（不必证明）
拓展与应用：
（3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出这个和的最小值．
【分析】（1）求得线段AA′的中点，然后根据待定系数法求得镜面直线，进而即可求得B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点；
（2）结合图形观察以上三组点的坐标即可得出结论；
（3）求得E点关于直线l的镜面点E′，连接DE′，交直线l于点Q，Q点即为所求．
解：（1）设镜面直线的解析式为y＝kx，
∵A（0，2），A′（2，0），
∴线段AA′的中点为（1，1），
∵镜面直线经过原点和（1，1），
∴镜面直线为y＝x，
∵B（5，3）、C（﹣2，5），
∴B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点B′（3，5）、C′（5，﹣2），
故答案为：B′（3，5）、C′（5，﹣2）；
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，会发现：平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于直线l的镜面点P'的坐标为（b，a）；
故答案为：（b，a）；
拓展与应用：
（3）∵E（﹣1，﹣4），
∴E′（﹣4，﹣1），
∵D（1，﹣3），
∴DE′＝＝，
∴点Q到D、E两点的距离之和的最小值为：．
25．如图1，△ABO为等边三角形，顶点坐标分别为A（0，2），B（﹣，b），O（0，0），动点Q、P分别从点O、B同时出发，点Q运动到B点停止，点P运动到A点停止．
（1）求b＝ 1 ；
（2）若点P，点Q运动速度相同，求证：AQ＝OP；
（3）如图2，动点C从点A开始，沿着y轴正方向运动，以CB为边长作等边△EBC，连接EA并延长，交x轴于点F．请问，当C点运动时，在y轴上是否存在点K，使得△AFK为等腰三角形，若存在，求出K点坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过点B作BH⊥y轴于H，根据等边三角形的性质即可求解；
（2）当点P，点O运动速度相同时，可得BP＝OQ，根据等边三角形的性质得∠AOQ＝∠OBP＝∠BAO＝60°，AO＝BO，利用SAS证明△AOQ≌△OBP，即可得出结论；
（3）证明△ABE≌△OBC（SAS），根据全等三角形的性质得∠BAE＝∠BOA＝60°，可得∠OAF＝60°，则∠OFA＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得AF＝2OA＝4，分两种情况，①点K在y轴上点A上方时；②点K在y轴上点A下方时，求出K点坐标即可．
解：（1）过点B作BH⊥y轴于H，
∵△ABO为等边三角形，BH⊥y轴，
∴AH＝OH＝OA，
∵A（0，2），B（﹣，b），
∴OH＝OA＝1，
∴b＝1．
故答案为：1；
（2）证明：当点P，点O运动速度相同时，可得BP＝OQ，
∵△ABO为等边三角形，
∴∠AOQ＝∠OBP＝∠BAO＝60°，AO＝BO，
在△AOQ与△OBP中，
，
∴△AOQ≌△OBP（SAS）；
∴AQ＝OP；
（3）∵△EBC为等边三角形，
∴∠BEC＝∠EBC＝60°，
∵△ABO为等边三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝60°，
∴∠EBC+∠ABC＝∠ABO+∠ABC＝60°+∠ABC，
∴∠ABE＝∠OBC，
∵AB＝OB，BE＝BC，
∴△ABE≌△OBC（SAS），
∴∠BAE＝∠AOB＝60°，
∴∠OAF＝180°﹣∠BAO﹣∠BAE＝60°，
∴∠OFA＝30°，
在Rt△AOF中，OA⊥OF，∠OFA＝30°，
∴AF＝2OA＝4，
①点K在y轴上点A上方时，
∵△AFK为等腰三角形，
∴AK＝AF＝4，
∴OK＝OA+AK＝2+4＝6，
∴K（0，6）；
②点K在y轴上点A下方时，
∵OAF＝60°，△AFK为等腰三角形，
∴△AFK为等边三角形，
∴AK＝AF＝4，
∵OA＝2，
∴OK＝AK﹣OA＝4﹣2＝2，
∴K点坐标（0，﹣2）．
综上，K点坐标为（0，6）或（0，﹣2）．
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