高中人教版新课标A第三章 概率综合与测试同步练习题

这是一份高中人教版新课标A第三章 概率综合与测试同步练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．(2011·陕西高考)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )
A.eq \f(1,36) B.eq \f(1,9)
C.eq \f(5,36) D.eq \f(1,6)
解析：若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人选择结果为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率值为eq \f(1,6).
答案：D
2．(2011·湖北高考)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
解析：可知K、A1、A2三类元件正常工作相互独立．所以当A1，A2至少有一个能正常工作的概率为P＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统能正常工作的概率为PK·P＝0.9×0.96＝0.864.
答案：B
3．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3)[ :]
C.eq \f(3,5) D.eq \f(1,2)
解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝eq \f(1,2)；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝eq \f(3,4).
答案：A
4．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)＝( )
A．0.158 8 B．0.158 7
C．0.158 6 D．0.158 5
解析：P (X>4)＝eq \f(1,2)[1－P (2≤X≤4)]
＝eq \f(1,2)×(1－0.682 6)＝0.158 7.
答案：B
5．(2011·深圳模拟)如图，圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是( )
A.eq \f(4,π2) B.eq \f(4,π3)
C.eq \f(2,π2) D.eq \f(2,π3)
解析：依题意得，区域M的面积等于2eq \a\vs4\al(∫)eq \\al(π,0)sinxdx＝－2csxeq \a\vs4\al(|)eq \\al(π,0)＝4，圆O的面积等于π×π2＝π3，因此点A落在区域M内的概率是eq \f(4,π3).
答案：B
6．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝eq \f(5,9)，则P(η≥2)的值为( )
A.eq \f(32,81) B.eq \f(11,27)
C.eq \f(65,81) D.eq \f(16,81)
解析：由P(ξ≥1)＝eq \f(5,9)，得Ceq \\al(1,2)p(1－p)＋Ceq \\al(2,2)p2＝eq \f(5,9)，即9p2－18p＋5＝0，解得p＝eq \f(1,3)或p＝eq \f(5,3)(舍去)，∴P(η≥2)＝Ceq \\al(2,4)p2(1－p)2＋Ceq \\al(3,4)p3(1－p)＋Ceq \\al(4,4)p4＝6×(eq \f(1,3))2×(eq \f(2,3))2＋4×(eq \f(1,3))3×eq \f(2,3)＋(eq \f(1,3))4＝eq \f(11,27).
答案：B
二、填空题
7.(2011·湖南高考)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则
(1)P(A)＝______；(2)P(B|A)＝______.
解析：圆的面积是π，正方形的面积是2，扇形的面积是eq \f(π,4)，根据几何概型的概率计算公式得P(A)＝eq \f(2,π)，根据条件概率的公式得P(B|A)＝eq \f(P(AB),P(A))＝eq \f(\f(\f(1,2),π),\f(2,π))＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(2,π) eq \f(1,4)
8．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
解析：依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋0.1＋0.3＋y＝1，,7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9.))即
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0.6，,7x＋10y＝5.4，))由此解得y＝0.4.
答案：0.4
9．某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．
解析：由题意知，P(ξ＞110)＝eq \f(1－2P(90≤ξ≤100),2)＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.
答案：10
三、解答题
10．(2011·全国高考)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．
解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；
B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；
C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；
D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．
(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，
P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，
X～B(100,0.2)，即X服从二项分布，
所以期望E(X)＝100×0.2＝20.
11．(2011·北京西城区模拟)甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，p，且他们是否破译出密码互不影响．若三人中只有甲破译出密码的概率为eq \f(1,4).
(1)求甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率；[ :]
(2)求p的值；
(3)设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X的分布列和数学期望 E(X)．
解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件A1，A2，A3，依题意有P(A1)＝eq \f(1,2)，P(A2)＝eq \f(1,3)，P(A3)＝p，且A1，A2，A3相互独立．
(1)甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为[ : ]
1－P(eq \x\t(A1)·eq \x\t(A2))＝1－eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3).
(2)设“三人中只有甲破译出密码”为事件B，则有
P(B)＝P(A1·eq \x\t(A2)·eq \x\t(A3))＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×(1－p)＝eq \f(1－p,3)，
所以eq \f(1－p,3)＝eq \f(1,4)，p＝eq \f(1,4).
(3)X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝P(eq \x\t(A1)·eq \x\t(A2)·eq \x\t(A3))＝eq \f(1,4)，
P(X＝1)＝P(A1·eq \x\t(A2)·eq \x\t(A3))＋P(eq \x\t(A1)·A2·eq \x\t(A3))＋P(eq \x\t(A1)·eq \x\t(A2)·A3)＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(3,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(11,24)，
P(X＝2)＝P(A1·A2·eq \x\t(A3))＋P(A1·eq \x\t(A2)·A3)＋P(eq \x\t(A1)·A2·A3)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(3,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,4)，
P(X＝3)＝P(A1·A2·A3)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,24).
所以X的分布列为：
所以，E(X)＝0×eq \f(1,4)＋1×eq \f(11,24)＋2×eq \f(1,4)＋3×eq \f(1,24)＝eq \f(13,12).
12．(2011·潍坊模拟)2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏．某国际组织计划派出12名心理专家和18名核专家赴日本工作，临行前对这30名专家进行了总分为1000分的综合素质测评，测评成绩用茎叶图进行了记录，如图(单位：分)．规定测评成绩在976分以上(包括976分)为“尖端专家”，测评成绩在976分以下为“高级专家”，且只有核专家中的“尖端专家”才可以独立开展工作．这些专家先飞抵日本的城市E，再分乘三辆汽车到达工作地点福岛县．已知从城市E到福岛县有三条公路，因地震破坏了道路，汽车可能受阻．据了解：汽车走公路Ⅰ或Ⅱ顺利到达的概率都为eq \f(9,10)；走公路Ⅲ顺利到达的概率为eq \f(2,5)，甲、乙、丙三辆车分别走公路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，且三辆汽车是否顺利到达相互之间没有影响．
(1)如果用分层抽样的方法从“尖端专家”和“高级专家”中选取6人，再从这6人中选2人，那么至少有一人是“尖端专家”的概率是多少？
(2)求至少有两辆汽车顺利到达福岛县的概率；
(3)若从所有“尖端专家”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能独立开展工作的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
解：(1)根据茎叶图，有“尖端专家”10人，“高级专家”20人，
每个人被抽中的概率是eq \f(6,30)＝eq \f(1,5)，
所以用分层抽样的方法，选出的“尖端专家”有10×eq \f(1,5)＝2人，
“高级专家”有20×eq \f(1,5)＝4人．
用事件A表示“至少有一名‘尖端专家’被选中”，则它的对立事件eq \x\t(A)表示 “没有一名‘尖端专家’被选中”，
则P(A)＝1－eq \f(C\\al(2,4),C\\al(2,6))＝1－eq \f(6,15)＝eq \f(3,5).
因此，至少有一人是“尖端专家”的概率是eq \f(3,5).
(2)记“汽车甲走公路Ⅰ顺利到达”为事件A，“汽车乙走公路Ⅱ顺利到达”为事件B，“汽车丙走公路Ⅲ顺利到达”为事件C.
则至少有两辆汽车顺利到达福岛县的概率
P＝P(ABeq \x\t(C))＋P(Aeq \x\t(B)C)＋P(eq \x\t(A)BC)＋P(ABC)
＝eq \f(9,10)×eq \f(9,10)×eq \f(3,5)＋eq \f(9,10)×eq \f(1,10)×eq \f(2,5)＋eq \f(1,10)×eq \f(9,10)×eq \f(2,5)＋eq \f(9,10)×eq \f(9,10)×eq \f(2,5)＝eq \f(441,500).
(3)由茎叶图知，心理专家中的“尖端专家”为7人，核专家中的“尖端专家”为3人，
依题意，ξ的取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(3,7),C\\al(3,10))＝eq \f(7,24)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,7),C\\al(3,10))＝eq \f(21,40)，P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(1,7),C\\al(3,10))＝eq \f(7,40)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,10))＝eq \f(1,120).
因此ξ的分布列如下：
E(ξ)＝0×eq \f(7,24)＋1×eq \f(21,40)＋2×eq \f(7,40)＋3×eq \f(1,120)＝eq \f(9,10).
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,4)
eq \f(11,24)
eq \f(1,4)
eq \f(1,24)
心理专家
核专家
9 9 8
96
0 1 1 2 4 5 8 9
8 4 0
97
2 3 3 4 4 4 4
7 4 2 1
98
1
6 1
99
0 6[ :]
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(7,24)
eq \f(21,40)
eq \f(7,40)
eq \f(1,120)